整流子

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

関係式（3）は反可換性と呼ばれ、（4）はヤコビ恒等式である。

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Aが環Rの固定要素である場合、恒等式 (1) は写像に対するライプニッツ規則として解釈できる。${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$によって与えられた${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$言い換えれば、写像 ad _{A は}環R上の導関数を定義します。恒等式 (2)、(3) は 2 つ以上の因子に対するライプニッツ規則を表し、任意の導関数に対して有効です。恒等式 (4)～(6) もライプニッツ規則として解釈できます。恒等式 (7)、(8) はZ双線形性を表します。

式(9)から、環の要素の整数乗の交換子は次のようになることがわかる。

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{M-m-1}A^{N-n-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{m}A^{n}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}}$

上記の恒等式のいくつかは、上記の±添え字表記を用いて反交換子に拡張することができる。^{[ 8 ]} 例えば：

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

指数関数が成り立つ環または代数を考える${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$バナッハ環や形式的冪級数の環のように、意味のある形で定義することができる。

このような環において、入れ子になった交換子にアダマールの補題を適用すると、次の式が得られる。${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$（最後の式については、下記の随伴導出を参照してください。）この式は、log(exp( A ) exp( B )) のBaker–Campbell–Hausdorff 展開の基礎となっています。

同様の展開は、式の群交換子を表す。${\displaystyle e^{A}}$（リー群の要素に類似）入れ子になった交換子（リー括弧）の系列で表すと、 $${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$