理想的なクラスグループ

数学において、代数体Kのイデアル類群（または類群）は 商群J _K  / P _Kであり、ここでJ _KはKの整数環の分数イデアルの群、P _{K は}その主イデアルの部分群である。類群は、 Kの整数環において一意の因数分解が失敗する範囲の尺度である。群の位数は有限であり、 Kの類数と呼ばれる。

この理論はデデキント域とその分数体にまで拡張され、それらの乗法特性は類群の構造と密接に結びついています。たとえば、デデキント域の類群が自明な のは、環が一意の因数分解域である場合のみです。

イデアル類群（あるいは、事実上イデアル類群であったもの）は、イデアルの概念が定式化される以前から研究されていました。これらの群は二次形式の理論に登場しました。カール・フリードリヒ・ガウスによって最終的な形式にまとめられた二元整二次形式の場合、形式の特定の同値類に合成法則が定義されました。これにより、当時認識されていた 有限アーベル群が得られました。

その後、エルンスト・クンマーは円分体理論の研究に取り組んだ。フェルマーの最終定理の一般的な場合の証明を単位根を使った因数分解で完了できなかったのには、十分な理由があることが（おそらく何人かの人々によって）認識されていた。つまり、それらの単位根によって生成される環において、一意的な因数分解（すなわち算術の基本定理）が成り立たないことが大きな障害であったのだ。クンマーの研究から、初めて因数分解の障害に関する研究が生まれた。現在では、これをイデアル類群の一部と認識している。実際、クンマーは、フェルマー問題に対する標準的な攻撃方法が失敗する理由として、任意の素数pに対するp単位根の体に対するその群のp捩れを分離していた（正素数を参照）。

その後しばらくして、リチャード・デデキントがイデアルの概念を定式化したが、クンマーは別の方法で取り組んでいた。この時点で、既存の例を統一することができた。代数的整数の環は必ずしも素因数分解が一意にできるわけではないが（主イデアル域である必要がないため）、すべての適切なイデアルは素イデアルの積として一意に因数分解できる（つまり、すべての代数的整数の環はデデキント域である）という性質があることが示された。イデアル類群のサイズは、環が主イデアル域であることからの逸脱の尺度と見なすことができる。環が主イデアル域であるためには、自明なイデアル類群が必要である。

Rが整域である場合、Rの非零元aおよびb が存在して( a ) I = ( b ) Jとなるときはいつでも、 I ~ JによってRの非零分数イデアル上の関係~を定義します。(ここで、表記 ( a )は、 aのすべての倍数からなるRの主イデアルを意味します。) これは同値関係であることが簡単に示されます。同値類はRのイデアル類と呼ばれます。イデアル類は乗算できます。[ I ] がイデアルIの同値類を表す場合、乗算 [ I ][ J ] = [ IJ ] は明確に定義され、可換です。主イデアルは、この乗算の単位元として機能するイデアル類 [ R ] を形成します。したがって、クラス [ I ] に逆[ J ]があるため、かつその場合に限り、 IJが主イデアルとなるイデアルJが存在することになります。一般に、そのようなJ は存在しない可能性があり、その結果、 Rのイデアルクラスの集合はモノイドのみになる可能性があります。

しかし、R が代数的数体内の代数的整数の環、またはより一般的にはデデキント域である場合、上で定義した乗算により、分数イデアル類の集合はアーベル群、つまりRのイデアル類群に変換されます。逆元が存在するという群の性質は、デデキント域では、すべての非ゼロイデアル（ Rを除く）が素イデアルの積であるという事実から容易に導かれます。

イデアル類群が自明である（つまり、元が 1 つしかない）のは、Rのすべてのイデアルが主イデアルである場合に限ります。この意味で、イデアル類群は、R が主イデアル領域からどれだけ離れているか、したがって一意の素因数分解を満たすことからどれだけ離れているかを測定します（デデキント領域は、主イデアル領域である場合に限り、 一意の因数分解領域です）。

理想的なクラスの数（Rの類数)は一般に無限大になる可能性がある。実際、すべてのアーベル群は、何らかのデデキント域の理想類群と同型で^[1]しかし、R が代数的整数の環である場合、類数は常に有限で代数的整数論の主な結果の1つである。

類群の計算は一般に困難ですが、判別式の小さい代数体における整数環については、ミンコフスキーの境界 を使って手作業で行うことができます。この結果は、環に依存した境界を与え、すべての理想類には境界より小さい理想ノルムが含まれます。一般に、境界は判別式の大きい体に対して計算を実用的にするほど明確ではありませんが、コンピュータはこのタスクに適しています。

整数環Rから対応する類群への写像は関数的であり、類群は代数 K 理論の見出しの下に包含することができ、K ₀ ( R ) はRにその理想類群を割り当てる関数である。より正確には、K ₀ ( R ) = Z × C ( R ) であり、ここでC ( R ) は類群である。より高次の K 群も整数環に関連して算術的に使用および解釈することができる。

上で述べたように、イデアル類群は、デデキント領域のイデアルがどの程度要素のように振る舞うかという疑問に対する答えの一部を提供します。答えのもう 1 つの部分は、デデキント領域の単位群によって提供されます。主イデアルからその生成元への移行には単位の使用が必要なためです(これは、分数イデアルの概念を導入する残りの理由でもあります)。

R ^×からRのすべての非ゼロ分数イデアルの集合への写像を、それが生成する主（分数）イデアルに各要素を送ることによって定義します。これは群準同型であり、その核はRの単位群であり、その余核はRのイデアル類群です。これらの群が自明でないことは、写像が同型でないことを示す尺度です。つまり、イデアルが環要素のように、つまり数のように動作しないということです。

• 環Z、Z [ω]、Z [ i ] （ここで ω は1 の3乗根、iは 1 の 4 乗根（つまり、−1 の平方根））はすべて主イデアル領域（実際はすべてユークリッド領域）であり、したがって類数 1 を持ちます。つまり、これらは自明なイデアル類群を持ちます。
• kが体である場合、多項式環 k [ X ₁ , X ₂ , X ₃ , ...] は整域です。これはイデアル類の可算無限集合を持ちます。

が 1 以外の平方でない整数（異なる素数の積）である場合、 はQの二次拡大です。 である場合、の次の値の場合にのみ、の代数的整数の環の類数は1 に等しくなります。この結果は、ガウスによって最初に推測され、カート・ヒーグナーによって証明されましたが、ヒーグナーの証明は、ハロルド・スタークが1967 年に証明するまで信じられませんでした。（スターク–ヒーグナーの定理を参照してください。）これは、有名な類数問題の特殊なケースです。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle d<0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163}$

一方、d > 0 の場合、クラス番号 1 の体が無限に存在するかどうかは不明です。計算結果は、そのような体が多数存在することを示しています。しかし、クラス番号 1 の数体が無限に存在するかどうかさえわかっていません。^[2]${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$

d < 0の場合、 の理想類群はの判別式に等しいの整二進二次形式の類群と同型である。d > 0 の場合、 の整二進二次形式の類群はの狭義類群と同型であるため、理想類群のサイズは半分になる可能性がある。^[3]${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$

実数 二次整数環の場合、類番号は OEIS A003649 で与えられ、虚数の場合は OEIS A000924 で与えられます。

2次整数環R = Z [ √ −5 ]はQ ( √ −5 )の整数環である。これは一意に因数分解できない。実際、Rの類群は位数2の巡回群である。実際、理想環は

J = (2, 1 + √ −5 )

は主関数ではないが、これは次のように背理法によって証明できる。はノルム関数を持ち、およびを満たす場合、かつ がにおいて単位元である場合に限る。まず、 となるのは、イデアルを法とするの商環がと同型であるため、を法とするの商環はと同型である。J が R の元 x によって生成される場合、xは2と1 + √ −5 の両方を割り切れる。すると、ノルムはと の両方を割り切れるため、N (x) は 2 を割り切れる。すると が単位元であり、 である場合、矛盾が生じる。しかし、 は 2 にもなり得ない。なぜなら、R にはノルム 2 の元がなく、ディオファントス方程式には5 を法とする解がないように、整数に解がないからである。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle N(a+b{\sqrt {-5}})=a^{2}+5b^{2}}$${\displaystyle N(uv)=N(u)N(v)}$${\displaystyle N(u)=1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle R}$${\displaystyle J\neq R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {Z} /3\mathbf {Z} }$${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle N(2)=4}$${\displaystyle N(1+{\sqrt {-5}})=6}$${\displaystyle N(x)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J=R}$${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle b^{2}+5c^{2}=2}$

また、 J ^{2 = (2) も計算されます。これは主なので、理想クラス群の}Jのクラスは順序 2 を持ちます。他の理想クラスが存在しないことを示すには、より多くの努力が必要です。

このJが主要素ではないという事実は、要素 6 が 2 つの異なる因数分解で既約要素になるという事実にも関係しています。

6 = 2 × 3 = (1 + √ −5 ) × (1 − √ −5 )。

類体論は代数的数論の一分野であり、与えられた代数的数体のすべてのアーベル拡大、つまりアーベルガロア群を持つガロア拡大を分類しようとするものである。特に美しい例は、数体のヒルベルト類体に見られる。これは、そのような体の最大非分岐アーベル拡大として定義できる。数体Kのヒルベルト類体L は一意であり、次の特性を持つ。

• Kの整数環のあらゆるイデアルはLの主イデアルになります。つまり、IがKの整イデアルであれば、 Iの像はLの主イデアルになります。
• L はKのガロア拡大であり、ガロア群はKの理想類群と同型です。

どちらの特性も証明するのは特に簡単ではありません。

• クラス番号の計算式
• クラス番号の問題
• ブラウアー・ジーゲル定理—類数の漸近公式
• クラス番号 1 の数値フィールドのリスト
• 主理想領域
• 代数的K理論
• ガロア理論
• フェルマーの最終定理
• 狭いクラスグループ
• ピカール群—代数幾何学に現れる類群の一般化
• アラケロフ級群

• クラボーン、ルーサー（1966）「すべてのアーベル群は類群である」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、18（2）：219-222、doi：10.2140/pjm.1966.18.219
• フレーリッヒ、アルブレヒト、テイラー、マーティン（1993）、代数的数論、ケンブリッジ高等数学研究、第27巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-43834-6、MR  1215934
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.