数学において、二項演算は、被演算数の順序を変更しても結果が変わらない場合に可換であると言います。これは多くの二項演算の基本的な性質であり、多くの数学的証明はこの性質に依存しています。おそらく最もよく知られているのは算術の性質で、例えば「3 + 4 = 4 + 3」や「2 × 5 = 5 × 2」などですが、この性質はより高度な場面でも使用できます。この名前が必要なのは、除算や減算のように、この性質を持たない演算（例えば「3 − 5 ≠ 5 − 3」）があるためです。このような演算は可換ではないため、非可換演算と呼ばれます。
数の乗算や加算といった単純な演算が可換であるという考えは、何世紀にもわたって暗黙のうちに前提とされてきた。そのため、この性質は、新しい代数構造が研究され始めた19世紀まで名前が付けられなかった。
意味
二項演算
集合Sは、次の場合に 可換である。
すべての人々のために
[ 可換でない演算は非可換でと言われる。
x とyは可換である、あるいはxとyは可換であると言う。の場合
したがって、演算は、任意の2つの要素が可換である場合に可換である。演算は、2つの要素が存在して、
これは、一部の要素のペアが可換である可能性を排除するものではない。
例
リンゴの累積は、自然数の加算と見なすことができ、交換法則が成り立つ。可換演算
ベクトルの加算は可換である。なぜなら
可換構造
代数構造の中には、可換性を必要としない演算を含むものがあります。この演算が特定の構造に対して可換である場合、その構造はしばしば可換であると言われます。したがって、
しかし、代数の場合、「可換代数」という用語は、可換乗法を持つ結合代数のみを指します。
歴史と語源
この用語が最初に使われたのは、1814年に発行されたフランスの雑誌である。交換法則の暗黙の使用の記録は古代に遡ります。エジプト人は乗法の交換法則を使用して積の計算を簡略化しました。ユークリッドは著書『原論』で乗法の交換法則を仮定したことが知られています。[ 20 ]交換法則の正式な使用は、数学者が関数の理論に取り組み始めた18世紀後半から19世紀初頭に現れました。今日では、交換法則は数学のほとんどの分野で使用されているよく知られた基本的な性質です。
commutativeという用語が最初に記録されたのは、 1814 年にFrançois Servoisが書いた論文で、現在では可換性と呼ばれる性質を持つ関数を説明する際にcommutativeという言葉が使われた。 commutativeはフランス語の形容詞commutatifの女性形で、フランス語の名詞commutationとフランス語の動詞comerterに由来し、「交換する」または「切り替える」という意味で、to cometの同族語である。この用語はその後、1838 年に英語で、Duncan Gregoryが 1840 年にTransactions of the Royal Society of Edinburghに発表した「記号代数の真の性質について」というタイトルの記事に登場した。
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