恒等関数

数学において、恒等関数は恒等関係、恒等写像、恒等変換とも呼ばれ、引数として使用された値を常に変更せずに返す関数です。つまり、 $f が$ 恒等関数である場合、 $f を$ 適用できるすべての $x$ の値に対して、等式f $($ $x$ $)$ $=$ $x が真になります。$

意味

正式には、 $X$ が集合である場合、 $X$ 上の恒等関数 $fは、$ $Xを$ 定義域、余定義域とし、

X

内のすべての要素

xに対して

f

(

x

)=

xが

成り立つ。^[1]

言い換えれば、共役領域 $Xにおける関数値$ $f (x)$ は、常に定義域 $Xにおける入力要素$ $x$ と同じである。 $X$ 上の恒等関数は明らかに単射関数であると同時に全射関数でもある（共役領域はその値域でもある）ので、単射である。^[2]

$X$ 上の恒等関数 $f は$ $、 id$ $X$ と表記されることが多い。

集合論では、関数が特定の種類の二項関係として定義され、恒等関数は恒等関係、つまり $X$ の対角線によって与えられる。^[3]

代数的性質

$f : X \to Y$ が任意の関数である場合、 $f \circ id X = f = id Y \circ f$ であり、ここで「∘」は関数合成を表す。^[4]特に、 $id X$ $はXから$ $X$ までのすべての関数のモノイドの単位元である（関数合成の下で）。

モノイドの単位元は一意であるため、^[5] $M$ 上の単位元関数をこの単位元として定義することもできます。このような定義は、 $M$ の自己準同型が関数である必要がない、圏論における単位元射の概念に一般化されます。

プロパティ

恒等関数はベクトル空間に適用された場合は線型演算子となる。^[6]
$n$ 次元ベクトル空間では、その空間に選択された基底に関係なく、恒等関数は恒等行列 $I n$ ^{で表される。 [7]}
正の整数上の恒等関数は、数論で考えられている完全な乗法関数（本質的には1の乗算）です。^[8]
距離空間では恒等関数は自明に等長関数である。対称性を持たないオブジェクトは、この等長関数のみを含む自明な群を対称群として持つ（対称型 $C$ $1$ ）。^[9]
位相空間では恒等関数は常に連続である。^[10]
恒等関数はべき等性がある。^[11]

参照

参考文献

^ ナップ、アンソニー W. (2006)、Basic algebra、Springer、ISBN 978-0-8176-3248-9
^ Mapa、Sadhan Kumar (2014年4月7日)。Higher Algebra Abstract and Linear (第11版)。Sarat Book House。p. 36。ISBN 978-93-80663-24-1。
^ 純粋数学シンポジウム議事録。アメリカ数学会。1974年。92ページ。ISBN 978-0-8218-1425-3. ...すると、M によって決定される対角集合は恒等関係になります...
^ ネル、ルイス (2016). 連続性理論. p. 21. doi :10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3。
^ ロザレス、JC;ペンシルバニア州ガルシア・サンチェス (1999)。有限生成された可換モノイド。ノヴァ・パブリッシャーズ。 p. 1.ISBN 978-1-56072-670-8要素0は通常単位元と呼ばれ、存在する場合は一意である。
^ アントン・ハワード（2005年）、初等線形代数（応用版）（第9版）、ワイリー・インターナショナル
^ TS Shores (2007). 応用線形代数と行列解析. 数学の学部テキスト. Springer. ISBN 978-038-733-195-9。
^ D. マーシャル、E. オデル、M. スターバード (2007)。探究による数論。アメリカ数学協会教科書。アメリカ数学協会。ISBN 978-0883857519。
^ ジェームズ・W・アンダーソン『双曲幾何学』、シュプリンガー 2005年、ISBN 1-85233-934-9
^ Conover, Robert A. (2014-05-21). トポロジー入門: 数学的思考入門。Courier Corporation。p. 65。ISBN 978-0-486-78001-6。
^ 会議、ミシガン大学工学夏期 (1968)。情報システム工学の基礎。半群の単位元はべき等であることが分かります。

[1] ナップ、アンソニー W. (2006)、Basic algebra、Springer、ISBN 978-0-8176-3248-9

[2] Mapa、Sadhan Kumar (2014年4月7日)。Higher Algebra Abstract and Linear (第11版)。Sarat Book House。p. 36。ISBN 978-93-80663-24-1。

[3] 純粋数学シンポジウム議事録。アメリカ数学会。1974年。92ページ。ISBN 978-0-8218-1425-3. ...すると、M によって決定される対角集合は恒等関係になります...

[4] ネル、ルイス (2016). 連続性理論. p. 21. doi :10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3。

[5] ロザレス、JC;ペンシルバニア州ガルシア・サンチェス (1999)。有限生成された可換モノイド。ノヴァ・パブリッシャーズ。 p. 1.ISBN 978-1-56072-670-8要素0は通常単位元と呼ばれ、存在する場合は一意である。

[6] アントン・ハワード（2005年）、初等線形代数（応用版）（第9版）、ワイリー・インターナショナル

[7] TS Shores (2007). 応用線形代数と行列解析. 数学の学部テキスト. Springer. ISBN 978-038-733-195-9。

[8] D. マーシャル、E. オデル、M. スターバード (2007)。探究による数論。アメリカ数学協会教科書。アメリカ数学協会。ISBN 978-0883857519。

[9] ジェームズ・W・アンダーソン『双曲幾何学』、シュプリンガー 2005年、ISBN 1-85233-934-9

[10] Conover, Robert A. (2014-05-21). トポロジー入門: 数学的思考入門。Courier Corporation。p. 65。ISBN 978-0-486-78001-6。

[11] 会議、ミシガン大学工学夏期 (1968)。情報システム工学の基礎。半群の単位元はべき等であることが分かります。