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数学において、アーベル群（[注1]可換群とも呼ばれる）とは、 2 つの群要素に群演算を適用した結果が、それらの要素の記述順序に依存しない群のことである。つまり、群演算は可換である。加算を演算とした場合、整数と実数はアーベル群を形成し、アーベル群の概念はこれらの例の一般化と見なすことができる。アーベル群は、ノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルにちなんで名付けられた。[ 1 ]
アーベル群の概念は、体、環、ベクトル空間、代数など、多くの基本的な代数構造の基礎となっている。アーベル群の理論は一般的に非アーベル群の理論よりも単純であり、有限アーベル群は非常によく理解され、完全に分類されている。
アーベル群は集合である2つの要素を組み合わせる演算･とともにそしての別の要素を形成する表記記号 ･ は、具体的な演算を表す一般的なプレースホルダーです。アーベル群として認められるためには、集合と演算が、は、アーベル群の公理として知られる4つの要件を満たさなければならない。
さらに、一部の著者は、演算の定義に属するいくつかの特性を要件として含めています。すなわち、演算がAの任意の順序付き要素ペアに対して定義されていること、結果が適切に定義されていること、そして結果がAに属することです。
群演算が可換でない群は、非アーベル群または非可換群と呼ばれる。[ 2 ]
アーベル群には、加法的表記法と乗法的表記法という2つの主要な表記法がある。
一般的に、群には乗法表記が、加法表記は加群や環には用いられます。加法表記は、アーベル群と非アーベル群の両方を考慮する場合、特定の群がアーベル群であることを強調するためにも使用できます。ただし、近環や半順序群など、非アーベル群であっても演算が加法的に記述される例外がいくつかあります。[ 3 ] [ 4 ]
有限群がアーベル群であることを検証するには、乗算表と同様の方法で、ケイリー表と呼ばれる表（行列）を作成できます。[ 5 ]群がアーベル群である場合、作戦の下で、この表の番目のエントリには製品が含まれています。
この群がアーベル群であるのは、この表が主対角線に関して対称である場合のみであり、つまり、すべての に対して が成り立つ。、テーブルのエントリはエントリー。実際、この等式は、
一般に、行列は、たとえ可逆行列であっても、乗法に関してアーベル群を形成しません。なぜなら、行列の乗法は一般に可換ではないからです。しかし、行列のグループの中には、行列の乗法に関してアーベル群となるものもあります。その一例として、次のグループがあります。回転行列。
カミーユ・ジョルダンは、多項式の群の可換性から多項式の根は根号を用いて計算できることを発見したノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルにちなんでアーベル群と名付けた。[ 7 ] [ 8 ]
もし自然数であり、はアーベル群の要素である加法的に記述すると、定義できる（（命令）および。 このようにして、リング上のモジュールとなる整数のモジュール。実際、アーベル群と同一視することができる。[ 9 ]
アーベル群に関する定理（すなわち、主イデアル領域上の加群）) は、任意の主イデアル整域上の加群に関する定理に一般化できる場合が多い。典型的な例は、有限生成アーベル群の分類であり、これは主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の特殊化である。有限生成アーベル群の場合、この定理は、アーベル群がねじれ群と自由アーベル群の直和として分解することを保証する。前者は、次の形式の有限個の群の直和として表すことができる。のために素数であり、後者は有限個のコピーの直和である。。
もし2 つの群準同型写像がアーベル群間のものである場合、それらの和は定義されるは再び準同型写像である。（これは、（非可換群である。）すべての群準同型からにしたがって、これはそれ自体がアーベル群である。
ベクトル空間の次元にやや似て、すべてのアーベル群にはランクがあります。これは、群の線形独立な（整数上の）要素の集合の最大濃度として定義されます。 [ 10 ]有限アーベル群とねじれ群のランクはゼロであり、ランクゼロのすべてのアーベル群はねじれ群です。整数と有理数はランク 1 を持ち、有理数の非ゼロ加法部分群もランク 1 です。一方、非ゼロ有理数の乗法群は無限ランクを持ちます。これは、素数の集合を基底とする自由アーベル群であるためです（これは算術の基本定理から導かれます）。
センターグループのは、 のすべての要素と可換な要素の集合です。グループアーベル群であるのは、それが中心と等しい場合に限る。グループの中心は常に の特性アーベル部分群である商グループが中心による群の周期性は、アーベル群である。[ 11 ]
整数の巡回群（法を法とする）、は、群の最初の例の一つでした。任意の有限アーベル群は、素数のべき乗位数の有限巡回群の直和と同型であり、これらの位数は一意に決定され、完全な不変量の体系を形成することがわかっています。有限アーベル群の自己同型群は、これらの不変量を用いて直接記述できます。この理論は、1879 年のGeorg FrobeniusとLudwig Stickelbergerの論文で初めて展開され、後に主イデアル領域上の有限生成加群に単純化および一般化され、線形代数の重要な章を形成しました。
位数が素数の任意の群は巡回群と同型であり、したがってアーベル群である。位数が素数の平方である任意の群もアーベル群である。[ 12 ]実際、すべての素数に対して位数が 2 の群が (同型を除いて) 存在する。すなわちそして。
有限アーベル群の基本定理は、すべての有限アーベル群がこれは、素数べき位数の巡回部分群の直和として表現できます。また、有限アーベル群の基底定理としても知られています。さらに、巡回群の自己同型群はアーベル群の例です。[ 13 ]これは、有限生成アーベル群の基本定理によって一般化され、有限群はG のランクがゼロの場合の特殊なケースです。これは、さらに多くの一般化を許容します。
この分類は1870年にレオポルド・クロネッカーによって証明されましたが、現代の群論的な用語で表現されたのは後のことであり、 1801年にはカール・フリードリヒ・ガウスによる二次形式の同様の分類が先行していました。詳細は歴史を参照してください。
環状群順序は、直和と同型である。そしてかつその場合に限りそして互いに素である。したがって、任意の有限アーベル群はは、次の形式の直和と同型である。
以下のいずれかの標準的な方法で：
例えば、これは、位数3と5の2つの巡回部分群の直和として表すことができる。位数15の任意のアーベル群についても同じことが言え、位数15のすべてのアーベル群は同型であるという驚くべき結論に至る。
別の例として、位数 8 のすべてのアーベル群は、以下のいずれかと同型である。（8を法とする加算における0から7までの整数）（1から15までの奇数、16を法とする乗法）、または。
位数30以下の有限アーベル群については、小群のリストも参照してください。
基本定理を適用することで、与えられた有限アーベル群の自己同型写像を数え（場合によっては決定する）ことができる。これを行うには、次の事実を利用します。直接合計として分割する互いに素な位数のサブグループの場合、
このことから、基本定理は、自己同型群を計算するにはシローの自己同型群を計算すれば十分である- 部分群を別々に (つまり、すべての巡回部分群の直和で、各部分の位数は のべき乗))素数を修正するそして指数はシローの循環要因の-サブグループは昇順に並べられています。
一部の人にとって自己同型を見つける必要がある
特別なケースとしては、そのため、シロー方程式には循環素数因子が1つしか存在しない。-サブグループこの場合、有限巡回群の自己同型理論を用いることができる。もう一つの特殊なケースは、恣意的だがのためにここでは、形式
したがって、この部分群の要素は次元のベクトル空間を構成すると見なすことができる。有限体上で要素したがって、この部分群の自己同型写像は可逆線形変換によって与えられ、
どこは適切な一般線形群である。これは容易に位数を持つことが示される。
最も一般的なケースでは、そしてが任意である場合、自己同型群を決定するのはより困難である。しかし、 を定義すれば、
そして
すると特に、、 そして
これにより、前の例の順序が特殊なケースとして得られることが確認できます（Hillar & Rheaを参照）。
アーベル群Aは、有限個の要素（生成元と呼ばれる）を含む場合、有限生成群と呼ばれる。群のすべての要素が、Gの要素の整数係数による線形結合となるようにする。
Lを基底を持つ自由アーベル群とする一意の群準同型 が存在するそのため
この準同型写像は全射であり、その核は有限生成である（整数はネーター環を形成するため）。整数成分を持つ行列Mを考え、そのj番目の列の成分が核のj番目の生成元係数であるとする。すると、アーベル群はMによって定義される線形写像の余核と同型になる。逆に、すべての整数行列は有限生成アーベル群を定義する。
したがって、有限生成アーベル群の研究は、整数行列の研究と完全に等価である。特に、Aの生成集合を変更することは、 Mにユニモジュラー行列（すなわち、逆行列も整数行列である可逆な整数行列）を左から乗じることと等価である。M の核の生成集合を変更することは、Mにユニモジュラー行列を右から乗じることと等価である。
Mのスミス標準形は行列である
ここで、UとVはユニモジュラーであり、Sは非対角成分がすべてゼロであるような行列であり、非ゼロの対角成分はは最初のものであり、はの約数ですi > jの場合。スミス正規形の存在と形状は、有限生成アーベル群Aが直和であることを証明します。
ここで、rはSの最下部にあるゼロ行の数（および群のランク）です。これは有限生成アーベル群の基本定理です。
スミス標準形のアルゴリズムの存在は、有限生成アーベル群の基本定理が抽象的な存在定理であるだけでなく、有限生成アーベル群の表現を直和として計算する方法を提供するものであることを示している。[ 14 ]
最も単純な無限アーベル群は無限巡回群である任意の有限生成アーベル群は、直和と同型である。コピーそして有限アーベル群であり、それはさらに素数の冪位数の有限個の巡回群の直和に分解できる。分解は一意ではないが、その数はのランクと呼ばれる、そして有限巡回項の位数を与える素数のべき乗は一意に決定される。
対照的に、一般の無限生成アーベル群の分類は、まだ完全とは言えない。可除群、すなわちアーベル群方程式解決策を認める任意の自然数に対して要素のは、完全に特徴づけることができる重要な無限アーベル群のクラスを構成する。すべての可除群は直和と同型であり、その和因子は と同型である。およびプリューファーグループさまざまな素数に対して、そして各タイプの加数の集合の濃度は一意に決定される。[ 15 ]さらに、可除群の場合アーベル群の部分群であるそれから直接補集合を許容する：部分群のそのためしたがって、可除群はアーベル群の圏における単射加群であり、逆に、すべての単射アーベル群は可除である（ベアの判定条件）。非零の可除部分群を持たないアーベル群は、縮約アーベル群と呼ばれる。
正反対の性質を持つ無限アーベル群の重要な特殊クラスとして、ねじれ群とねじれのない群があり、これらは群によって例示される。（周期的）そして（ねじれなし）
アーベル群は、すべての要素が有限位数を持つ場合、周期群またはねじれ群と呼ばれます。有限巡回群の直和は周期群です。一般に逆の命題は成り立ちませんが、いくつかの特殊なケースが知られています。第1および第2プリューファー定理は、次のことを述べています。は周期群であり、有界指数、すなわち、ある自然数に対して、または可算名詞で、-要素の高さそれぞれが有限である、 それから有限巡回群の直和と同型である。[ 16 ] 直和因子の集合の濃度は、このような分解では、不変量は[ 17 ]これらの定理は後にクリコフの基準に包含された。別の方向性で、ヘルムート・ウルムは、可算アーベル群への第2プリューファー定理の拡張を発見した。-無限の高さの要素を持つ群: これらの群は、ウルム不変量によって完全に分類されます。[ 18 ]
アーベル群は、すべての非零元が無限位数を持つ場合、ねじれのないアーベル群と呼ばれる。ねじれのないアーベル群のいくつかのクラスが広範に研究されている。
周期性もねじれのないアーベル群は混合群と呼ばれる。はアーベル群であり、がねじれ部分群である場合、因子群 はねじれのない群である。しかし一般に、ねじれ部分群は の直接の項ではない。、 それで は同型ではないしたがって、混合群の理論は、周期群とねじれのない群に関する結果を単純に組み合わせる以上のことを含んでいる。加法群整数のねじれはゼロである-モジュール。[ 20 ]
無限アーベル群の最も基本的な不変量の1つは、そのランクです。 は、最大線形独立部分集合の濃度です。ランク 0 のアーベル群はまさに周期群であり、一方、ランク 1 のねじれのないアーベル群は必然的に の部分群である。そして完全に記述することができる。より一般的には、有限ランクのねじれのないアーベル群は、一方、-進整数無限のねじれのないアーベル群であるランクとグループ異なるこれらは同型ではないため、この不変量は、よく知られているいくつかの群の性質さえも完全に捉えることはできません。
上で説明した有限生成、可除、可算周期、およびランク1のねじれのないアーベル群の分類定理はすべて1950年以前に得られたものであり、より一般的な無限アーベル群の分類の基礎を形成しています。無限アーベル群の分類に用いられる重要な技術的ツールは、純粋部分群と基本部分群です。ねじれのないアーベル群の様々な不変量の導入は、さらなる進歩の道の一つとなっています。より最近の研究成果については、 Irving Kaplansky、László Fuchs、Phillip Griffith、およびDavid Arnoldの著書、ならびにLecture Notes in Mathematicsに掲載されているアーベル群論に関する会議録を参照してください。
環の加法群はアーベル群ですが、すべてのアーベル群が環の加法群（非自明な乗法を持つ環）であるとは限りません。この研究分野における重要なトピックには、以下のようなものがあります。
多くの大きなアーベル群は自然な位相を持ち、それによって位相群となる。
すべてのアーベル群とそれらの間の準同型写像の集合は、圏を形成する。アーベル圏のプロトタイプ。
ワンダ・シュミエレフ（1955 ）は、アーベル群の1階理論は、非アーベル群のそれとは異なり、決定可能であることを証明した。ブール代数以外のほとんどの代数構造は決定不可能である。
現在も研究が進められている分野は数多く存在する。
さらに、無限位数のアーベル群は、驚くべきことに、数学のすべてを支えると一般的に考えられている集合論に関する深い疑問へとつながります。ホワイトヘッド問題を例にとってみましょう。無限位数のホワイトヘッド群はすべて自由アーベル群でもあるのでしょうか？1970年代に、サハロン・シェラはホワイトヘッド問題が次の通りであることを証明しました。
