散発的なグループ

有限単純群の数学的分類では、どの無限族にも当てはまらない群がいくつかあります。これらは散在単純群、散在有限群、または単に散在群と呼ばれます。

単純群とは、自明群とG自身以外に正規部分群を持たない群Gのことである。前述の分類定理によれば、有限単純群のリストは18 個の可算無限族^[a]と、そのような体系的なパターンに従わない 26 個の例外から構成される。この 26 個の例外が散在群である。ティッツ群は厳密にはリー型の群ではないため散在群と見なされることがある^[1]。その場合、散在群は 27 個になる。

モンスターグループ、またはフレンドリージャイアントは、散発グループの中で最大のグループであり、他の散発グループのうち6つを除くすべてがその部分商です。 ^[2]

名前

散在群のうち5つは1860年代にエミール・マチューによって発見され、他の21は1965年から1975年の間に発見されました。これらの群のいくつかは、構築される前から存在が予測されていました。ほとんどの群は、その存在を最初に予測した数学者にちなんで名付けられています。完全なリストは次のとおりです。^[1]^[3]^[4]

この図は、26 の**散在グループ間の**部分商関係を示しています。接続線は、下のグループが上のグループの部分商であり、その間に散在部分商がないことを意味します。ロバートグリースの世代:
1番目、2番目、3番目、パリア

これらの群のさまざまな構成は、最初に Conway ら (1985) でまとめられ、特徴表、個々の共役類、最大部分群のリスト、およびそれらの外部自己同型のシューア乗数と順序が含まれています。これらは、グループの表示と半表示で更新された、Wilson ら (1999) のオンラインリストにも掲載されています。すべての散在群と、それらの被覆群のいくつかについて、特性p ≥ 0の体上の最小忠実表現またはBrauer 特徴の次数も計算されています。これらについては、Jansen (2005) で詳しく説明されています。

有限単純群の分類におけるさらなる例外は、ティッツ群Tである。これはリー型^[5]または散在型であると考えられることがある。これは、厳密にはリー型の群に近いが、そうではない^[6]。そのため、いくつかの資料では散在型群の数は 26 ではなく 27 とされている。^[7]^[8]他のいくつかの資料では、ティッツ群は散在型でもリー型でもない、またはその両方であるとみなされている。^[9]^[^要出典^]ティッツ群は、交換子群の無限族²F ₄ ( 2 ²ⁿ⁺¹ ) ′ の( n = 0) 元²F ₄ (2) ′ である。したがって、厳密な意味では散在型でもリー型でもない。n > 0 の場合、これらの有限単純群は、リー型²F ₄ (2 ²ⁿ⁺¹ )の群と一致し、これは² F ₄ 型のリー群としても知られている。

散在群という用語が最初に使われたのは、バーンサイド (1911、p. 504) で、彼はマシュー群について次のようにコメントしています。「これらの一見散在的な単純群は、おそらくこれまで以上に綿密な調査に値するだろう。」(当時、他の散在群は発見されていませんでした。)

右の図は Ronan (2006、p. 247) に基づいています。散在群の多数の非散在単純部分商は示されていません。

組織

幸せな家族

26の散在群のうち20はモンスター群の中にサブグループまたはサブグループの商（セクション）として見ることができます。これら20はロバート・グリースによって幸せな家族と呼ばれ、3世代に分けることができます。^[10]^[b]

第一世代（5グループ）：マシューグループ

Mn （n = 11、12、22、23、24）はn点上の多重推移的置換群である_。これらはすべて24点上の置換群であるM24の部分群である。_[ 11 ^]

第2世代（7グループ）：リーチ格子

リーチ格子と呼ばれる 24次元の格子の自己同型群のすべての部分商：^[12]

Co _1は自己同型群をその中心で割った商である{±1}
Co _2はタイプ2（長さ2）ベクトルの安定因子である。
Co _3はタイプ3（つまり長さ√6）ベクトルの安定子である。
Suzは、複素構造を保存する自己同型群である（中心を法として）。
McLは2-2-3型三角形の安定因子である
HSは2-3-3三角形の安定因子である
J ₂は、四元数構造を保存する自己同型群です（中心を法として）。

第3世代（8グループ）：モンスターの他のサブグループ

モンスターグループMと密接に関連するサブグループで構成されています：^[13]

BまたはF _2は、Mの位数2の元の中心化である二重被覆を持つ。
Fi _{24 ′ は、}Mの 3 次元（共役類「3A」）の中心化となる三重被覆を持つ。
Fi _23はFi 24_のサブグループである
Fi _22はFi ₂₃のサブグループである二重被覆を持つ。
Th = F ₃と位数 3 の群の積は、Mの位数 3 の元の中心化子です(共役類 "3C")
HN = F ₅と位数5の群の積は、M の位数5の元の中心化子である。
He = F ₇と位数 7 の群の積は、Mの位数 7 の元の中心化子です。
最後に、モンスターグループ自体はこの世代にあると考えられます。

(この級数はさらに続きます: M _{12と位数 11 の群の積は}、 Mの位数 11 の元の中心化子です。)

ティッツ群は、散在群とみなされる場合、この世代に属するであろう。Bの2C ^{2部分群を正規化する部分群}S ₄ × ² F _{4 (2)′ があり、モンスターの特定の Q}₈部分群を正規化する部分群 2·S ₄ × ² F ₄ (2)′を生じる。² F _{4 (2)′ は、フィッシャー群}Fi ₂₂の部分商でもあり、したがってFi ₂₃とFi ₂₄ ′、およびベイビーモンスターBの部分商でもある。² F _{4 (2)′ は、（パーリア）ルドヴァリ群}Ruの部分商でもあり、すでに述べたものを除いて散在単純群には関与しない。

のけ者

_6つの例外はJ1、J3、J4、O'N、Ru、Ly_であり、パリアと呼ばれることもあります。^[14]_[^15]

散在群順序表（Tits 群を含む）

注記

^ 素数位数の群、次数5以上の交代群、リー型群の無限交換子群族² F ₄ (2 ^{2 n +1} )′（ティッツ群を含む）、およびリー型群の15族。
^ Conway et al. (1985, p. viii) は、26 の散発的なグループを次のように分類しています。
「散在単純群は、マシュー群、リーチ格子群、フィッシャーの 3 転置群、その他のモンスター中心化群、およびその他半ダースの奇数群として大まかに分類できます。」
^ここでは、各散発的グループの標準ジェネレータからの 半プレゼンテーションがリストされています。ほとんどの散発的グループには複数のプレゼンテーションと半プレゼンテーションがあり、より顕著な例がリストされています。
^ どこで、と。 $u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}$ $v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}$ $t=abab^{3}a^{2}$

参考文献

^ abc コンウェイら (1985, p. viii)
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^ ハウレット、ライランズ、テイラー（2001、p.429）
「これで、スタインバーグ、スズキ、リー（およびティッツ群）のツイスト群を含む、リー型のすべての群の行列生成子の決定が完了しました。」
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^ コンウェイら。 (1985 年、p.viii)
^ ハートリー＆ハルプケ（2010年、106ページ）
「有限単純群は有限群論の構成要素です。ほとんどは少数の無限群族に属しますが、これらの無限群に含まれない群が 26 個あります (Tits 群²F ₄ (2)′も含めると 27 個になります)。」
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引用文献

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外部リンク

Weisstein、Eric W.「散発的群」。MathWorld。
有限群表現のアトラス: 散在群

[1] 素数位数の群、次数5以上の交代群、リー型群の無限交換子群族² F ₄ (2 ^{2 n +1} )′（ティッツ群を含む）、およびリー型群の15族。

[12] Conway et al. (1985, p. viii) は、26 の散発的なグループを次のように分類しています。
「散在単純群は、マシュー群、リーチ格子群、フィッシャーの 3 転置群、その他のモンスター中心化群、およびその他半ダースの奇数群として大まかに分類できます。」

[23] ^ここでは、各散発的グループの標準ジェネレータからの 半プレゼンテーションがリストされています。ほとんどの散発的グループには複数のプレゼンテーションと半プレゼンテーションがあり、より顕著な例がリストされています。

[24] どこで、と。 $u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}$ $v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}$ $t=abab^{3}a^{2}$

[Conway-2] コンウェイら (1985, p. viii)

[3] グリース・ジュニア（1998年、146ページ）

[4] ゴレンスタイン、ライオンズ、ソロモン（1998年、262～302ページ）

[Ronan-5] ロナン（2006年、244～246ページ）

[6] ハウレット、ライランズ、テイラー（2001、p.429）
「これで、スタインバーグ、スズキ、リー（およびティッツ群）のツイスト群を含む、リー型のすべての群の行列生成子の決定が完了しました。」

[7] ゴレンスタイン（1979年、111ページ）

[Conway2-8] コンウェイら。 (1985 年、p.viii)

[9] ハートリー＆ハルプケ（2010年、106ページ）
「有限単純群は有限群論の構成要素です。ほとんどは少数の無限群族に属しますが、これらの無限群に含まれない群が 26 個あります (Tits 群²F ₄ (2)′も含めると 27 個になります)。」

[10] Wilson et al. (1999, 散発群とリー型の例外群)

[11] グリース・ジュニア（1982年、91ページ）

[13] グリース・ジュニア (1998, pp. 54–79)

[14] グリース・ジュニア (1998、pp. 104–145)

[15] グリース・ジュニア (1998、pp. 146−150)

[16] グリース・ジュニア (1982、pp. 91−96)

[17] グリースジュニア (1998、pp. 146、150−152)

[18] ヒス（2003年、172ページ）
表 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (表 2. 散発的グループの発見)

[19] スローン（1996）

[20] ヤンセン (2005、pp. 122–123)

[21] ニッカーソン＆ウィルソン（2011年、365ページ）

[Wilsonetal-22] ウィルソンら (1999)

[25] リューベック（2001年、2151ページ）

散発的なグループ

名前

組織

幸せな家族

第一世代（5グループ）：マシューグループ

第2世代（7グループ）：リーチ格子

第3世代（8グループ）：モンスターの他のサブグループ

のけ者

散在群順序表（Tits 群を含む）

注記

参考文献

引用文献

外部リンク

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サブグループ

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