ローカルフィールド

数学において、局所体とは、局所的にコンパクトなハウスドルフ非離散位相体のことである。^{[ 1 ]}局所体は代数的整数論において多くの応用例があり、大域体の完備化として自然に現れる。^{[ 2 ]}さらに、局所体上で定義された関数に対しては、積分やフーリエ解析などのツールが利用可能である。

局所体が存在する場合、その上に絶対値を定義することで、その位相を生成する完備な計量が得られます。局所体には大きく分けて2種類あります。絶対値がアルキメデス的である「アルキメデス的局所体」と呼ばれるものと、絶対値がアルキメデス的ではない「非アルキメデス的局所体」と呼ばれるものです。非アルキメデス的局所体は、剰余体が有限である離散付値によって誘導される計量に関して完備な体としても定義できます。^{[ 3 ]}

すべての局所体は、（位相体として）以下のいずれかと同型である。 ^{[ 4 ]}

• アルキメデス局所体（標数ゼロ）：実数${\displaystyle \mathbb {R} }$複素数​${\displaystyle \mathbb {C} }$。
• 特性ゼロの非アルキメデス的局所体：p進数の有限拡張$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$（どこ${\displaystyle p}$は任意の素数です。
• 非アルキメデス的な特性の局所場${\displaystyle p}$: その分野${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$変数の形式的ローラン級数の${\displaystyle t}$有限体上$\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$、 どこ${\displaystyle q}$は​​${\displaystyle p}$。

局所場が与えられた場合${\displaystyle F}$、モジュール関数${\displaystyle F}$は次のように定義できます。まず、体の加法群を考えます。局所的にコンパクトな位相群として、一意の（正のスカラー倍を除いて）ハール測度を持ちます。${\displaystyle \mu }$要素のモジュール${\displaystyle a}$の${\displaystyle F}$ は、セットのサイズを で乗算した後の変化を測定するように定義されます。${\displaystyle a}$具体的には、定義する${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}:F\to \mathbb {R} }$[ ^{5 ]​}

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a)={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}}$

任意の測定可能な部分集合に対して${\displaystyle X}$の${\displaystyle F}$（と${\displaystyle 0<\mu (X)<\infty }$このモジュールは${\displaystyle X}$また、ハール尺度の選択にも関係ありません。${\displaystyle \mu }$（分子と分母の両方で同じスカラー倍数の曖昧さが発生するため）。関数$\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}$連続であり、

${\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(ab)=\operatorname {mod} _{K}(a)\operatorname {mod} _{K}(b),}$

$\displaystyle \operatorname {mod} _{K}(a+b)\leq A\sup \left(\operatorname {mod} _{K}(a),\operatorname {mod} _{K}(b)\right)}$

ある定数に対して${\displaystyle A}$それは${\displaystyle F}$。

使用$\displaystyle \operatorname {mod} _{K}}$そうすれば絶対値を定義できる${\displaystyle |\cdot |}$の上${\displaystyle F}$それは指標を誘導する${\displaystyle d}$の上${\displaystyle F}$(設定により)${\displaystyle d(x,y)=|xy|}$)、${\displaystyle F}$このメトリックに関して完全であり、メトリックは与えられたトポロジを誘導する${\displaystyle F}$。

非アルキメデス型局所体の場合${\displaystyle F}$絶対値付き${\displaystyle |\cdot |}$以下のオブジェクトが重要です。

• その整数環${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$これは離散評価環であり、閉じた単位球である。${\displaystyle F}$、コンパクトです。

• その整数環の単位$\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$これらはグループを形成し、単位球である。${\displaystyle F}$;

• 唯一の非ゼロ素イデアル${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in F:|a|<1\}}$その整数環において、それは開いた単位球である${\displaystyle F}$;

• 発電機${\displaystyle \varpi }$の${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$均一化装置と呼ばれる${\displaystyle F}$; そして

• その残余場${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$これは有限である（コンパクトかつ離散的であるため ）。

すべての非ゼロ要素${\displaystyle a}$の${\displaystyle F}$次のように書くことができます${\displaystyle a=\varpi ^{n}u}$と${\displaystyle u}$ユニット${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$、 そして${\displaystyle n}$一意の整数。正規化された評価値${\displaystyle F}$は全射関数です${\displaystyle v:F\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ゼロ以外の値を送信することによって定義されます${\displaystyle a}$一意の整数へ${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle a=\varpi ^{n}u}$と${\displaystyle u}$ユニット、そして0を送信して${\displaystyle \infty }$。 もし${\displaystyle q}$は剰余体の濃度、絶対値は${\displaystyle F}$局所場としての構造によって誘導されるものは、次のように与えられる。^{[ 6 ]}

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

非アルキメデス的局所体の同等かつ非常に重要な定義は、離散付値に関して完備であり、かつ剰余体が有限である体であるということである。

この理論には、局所体のタイプの研究、ヘンゼルの補題を用いた局所体の拡張、局所体のガロア拡張、分岐群、局所体のガロア群のフィルター、局所体上のノルム写像の挙動、局所クラス体理論における局所相互準同型と存在定理、局所ラングランズ対応、ホッジ・テイト理論（ p進ホッジ理論とも呼ばれる）、局所クラス体理論におけるヒルベルト記号の明示的な公式が含まれる。 ^{[ 9 ]}

本稿で採用した「局所体」の定義、すなわち局所的にコンパクトなハウスドルフ非離散位相体の定義は、今日では一般的である。しかしながら、一部の著者は、「局所体」という用語を、我々が「非アルキメデス的局所体」と呼んだものに限定して用いる。

現代の数論の研究論文では、非アルキメデス局所体というより一般的な概念がしばしば検討され、離散付値に関して完全であることと、剰余体が必ずしも有限ではなく正標数の完全体であることのみを要求する。^{[ 10 ]}

セールは著書『局所体』の中で、「局所体」を、剰余体に関する制約なしに離散付値に関して完備な体と定義し、さらに一般的な概念へと導いている。^{[ 11 ]}

局所場は、一次元局所場と呼ばれることもある。

非アルキメデス的な局所体は、階数1の1次元算術スキームの局所環の非特異点における完備化の分数体と見なすことができる。

For a non-negative integer${\displaystyle n}$, an ${\displaystyle n}$-dimensional local field is a complete discrete valuation field whose residue field is an ${\displaystyle (n-1)}$-dimensional local field.^[10] Depending on the definition of local field, a zero-dimensional local field is then either a finite field (with the definition used in this article), or a perfect field of positive characteristic.

From the geometric point of view, ${\displaystyle n}$-dimensional local fields with last finite residue field are naturally associated to a complete flag of subschemes of an ${\displaystyle n}$-dimensional arithmetic scheme.

• Hensel's lemma
• Ramification group
• Local class field theory
• Higher local field

• 「局所場」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]