グループのカテゴリ

数学において、カテゴリ Grp（またはGp ^[1]）は、オブジェクトに対するすべての群と射に対する群準同型性のクラスを持ちます。そのため、これは具体的なカテゴリです。このカテゴリの研究は群論として知られています。

Grpからの忘却関手は 2 つあり、群からモノイドへのM: Grp → Monと群から集合へのU: Grp → Set です。 M には 2 つの随伴関数があります。1 つは右の I: Mon → Grp で、もう 1 つは左の K: Mon → Grpです。 I: Mon → Grpはすべてのモノイドを可逆な元のサブモノイドに送る関手であり、 K: Mon → GrpはすべてのモノイドをそのモノイドのGrothendieck 群に送る関手です。忘却関手 U: Grp → Set には合成 KF: Set → Mon → Grpによって与えられる左随伴関数があります。ここで F は自由関手です。この関手はすべての集合SにS上の自由群を割り当てます。

Grpの単射はまさに入射準同型であり、エピモーフィズムはまさに射影準同型であり、同型はまさに全単射準同型です。

カテゴリGrpは完全かつ共完全です。Grpのカテゴリ理論的積はグループの直積に過ぎず、Grpのカテゴリ理論的共積はグループの自由積です。Grpのゼロ オブジェクトは、自明なグループです(単位元のみで構成されます)。

Grp内のすべての射f  : G → Hには、圏論的核（代数ker f = { x in G | f ( x ) = e }の通常の核によって与えられる）と、圏論的余核（ H内のf ( G )の通常の閉包によるHの因子群によって与えられる）があります。アーベル圏とは異なり、 Grp内のすべての単射がその余核の核である とは限りません。

アーベル群のカテゴリAbは、Grpの完全なサブカテゴリです。Abはアーベルカテゴリですが、Grp はそうではありません。実際、Grp は加法カテゴリでさえありません。2 つの群準同型の「和」を定義する自然な方法が存在しないためです。この証明は次のとおりです。位数 3 の対称群S ₃からそれ自身への射影の集合には、 10 個の要素があります。つまり、両側のEのすべての要素との積がzである要素z (すべての要素を恒等写像に送る準同型)、一方の固定された側での積が常にそれ自身である 3 つの要素 (位数 2 の 3 つの部分群への射影)、および 6 つの自己同型です。Grp が加法カテゴリであれば、この 10 個の要素の集合E はリングになります。どのリングでも、リング内のすべてのxに対して 0 x = x 0=0という特性によってゼロ元が特定されるため、 z はEのゼロでなければなりません。しかし、積がzとなるEの 2 つの非ゼロ元は存在しないため、この有限環にはゼロ因子が存在しません。ゼロ因子を持たない有限環は、ウェダーバーンの小定理により体ですが、すべての有限体の位数は素数のべき乗である ため、10 個の元を持つ体は存在しません。 ${\displaystyle E=\operatorname {Hom} (S_{3},S_{3})}$

正確なシーケンスの概念はGrpでは意味があり、 9 つの補題、5 つの補題、およびそれらの帰結など、アーベル圏の理論からのいくつかの結果はGrpで成り立ちます。ただし、スネーク補題はGrpでは成り立ちません。^{[疑わしい–議論が必要] [引用が必要]}

Grp は通常のカテゴリです。

• ゴールドブラット、ロバート (2006) [1984]. トポイ、論理のカテゴリー分析 (改訂版)。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45026-1. 2009年11月25日閲覧。