表記の乱用

数学において、表記法の乱用は、著者が数学表記法を、完全に形式的には正しくないが、説明を簡素化したり正しい直感を示唆したりする（おそらく同時に誤りや混乱を最小限に抑える）方法で使用する場合に発生します。ただし、形式的/統語的な正しさの概念は時間とコンテキストの両方に依存するため、あるコンテキストで乱用としてフラグが立てられた数学の特定の表記法が、1つ以上の他のコンテキストでは形式的に正しい場合があります。時間に依存する表記法の乱用は、理論が最初に形式化される前に新しい表記法が理論に導入された場合に発生する可能性があります。これらは、理論を固めたり、その他の方法で改善したりすることで形式的に修正できます。表記法の乱用は表記法の誤用とは対照的であるべきであり、表記法の誤用には表記法の誤用のような表現上の利点がないため、避けるべきです（積分定数の誤用など^[1]）。

関連する概念として、言語の乱用または用語の乱用があり、これは表記法ではなく用語が誤用されるものである。言語の乱用は、本質的に表記法によらない乱用のほぼ同義語である。たとえば、表現という語は、グループGからGL( V )へのグループ準同型を適切に指すが、ここでV はベクトル空間であるが、 V を「 Gの表現」と呼ぶのが一般的である。別の一般的な言語の乱用は、異なるが正準同型である 2 つの数学的オブジェクトを同一視することである。^[2]その他の例としては、定数関数をその値と同一視すること、二項演算を持つグループをその基礎となる集合の名前と同一視すること、または直交座標系を備えた 3 次元のユークリッド空間と同一視することなどがある。^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

多くの数学的対象は、数学的演算や位相などの追加の構造を備えた集合（しばしば基礎集合と呼ばれる）で構成されています。基礎集合と構造化対象に同じ表記法を使用することは、一般的な表記法の乱用です（パラメータの抑制^[3]と呼ばれる現象）。たとえば、 は、整数の集合、加算を伴う整数のグループ、または加算と乗算を伴う整数の環を表すことができます。一般に、参照されている対象がよく理解されている場合はこれで問題はなく、このような表記法の乱用を避けると、数学のテキストがより衒学的で読みにくくなる可能性もあります。この表記法の乱用が混乱を招く可能性がある場合は、加算を伴う整数のグループと整数の環を表すことで、これらの構造を区別することができます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$

同様に、位相空間は集合X (基底集合) と、Xの部分集合の集合(開集合) によって特徴付けられる位相から構成されます。ほとんどの場合、X上の位相は 1 つだけ考慮されるため、 X を基底集合とみなすことも、 Xとその位相からなるペアとみなすことも通常は問題ありません(これらは技術的には異なる数学的対象です)。ただし、場合によっては、同じ集合上で 2 つの異なる位相が同時に考慮されることがあります。その場合は注意が必要で、やなどの表記法を使用して異なる位相空間を区別する必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {T}},}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}')}$

多くの教科書で、「関数を ... とします」のような文に出会うことがあるでしょう。これは表記法の乱用です。関数の名前はであり、その定義域の要素のの値を表します。より正確には、「変数の関数を... とします」または「関数を ... とします」が正しい言い回しです。この表記法の乱用は、定式化を簡素化するため広く使用されており、正しい表記法を体系的に使用するとすぐに衒学的になります。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\mapsto f(x)}$

同様の表記法の乱用は、「関数を考えてみましょう...」のような文でも発生しますが、 は実際には多項式であり、関数そのものではありません。に関連付けられている関数はと表記できます。ただし、この表記法の乱用は、より簡潔でありながら一般に混乱を招かないため、広く使用されています。 ${\displaystyle x^{2}+x+1}$${\displaystyle x^{2}+x+1}$${\displaystyle x^{2}+x+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\mapsto x^{2}+x+1.}$

多くの数学的構造は、特徴づける性質（多くの場合、普遍的性質）によって定義されます。この望ましい性質が定義されると、構造を構築するさまざまな方法が存在する可能性があり、対応する結果は形式的には異なるオブジェクトですが、まったく同じ性質（つまり、同型）を持ちます。これらの同型オブジェクトをその性質によって区別する方法がないため、形式的には間違っていても、それらを等しいと見なすのが標準です。^[2]

一例として、結合的であるとよく見られるデカルト積が挙げられます。

${\displaystyle (E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G}$。

しかし、厳密に言えばこれは正しくありません。、およびの場合、恒等式はおよび を意味し、したがって何も意味しません。ただし、これらの等式は、自然同型の考え方を使用して、圏論で正当化され、厳密になります。 ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle y\in F}$${\displaystyle z\in G}$${\displaystyle ((x,y),z)=(x,(y,z))}$${\displaystyle (x,y)=x}$${\displaystyle z=(y,z)}$${\displaystyle ((x,y),z)=(x,y,z)}$

同様の乱用の別の例としては、「位数 8 の非アーベル群が 2 つある」という文が挙げられますが、これはより厳密に言えば、「位数 8 の非アーベル群の同型類が 2 つある」という意味になります。

同値関係の同値類を [ x ]ではなくxで参照するのは表記法の乱用です。形式的には、集合Xが同値関係 ~ によって分割されている場合、各x ∈ Xに対して同値類 { y ∈ X | y ~ x } は [ x ]と表記されます。しかし実際には、議論の残りの部分が基礎となる集合の個々の要素ではなく同値類に焦点を合わせている場合は、議論の中で角括弧を省略するのが一般的です。

たとえば、モジュラー算術では、整数を「x ≡ y (mod n )の場合に限りx ~ yとなる」という同値関係で分割することで、位数nの有限群を形成できます。その群の要素は [0]、[1]、...、[ n − 1] となりますが、実際には単に 0、1、...、n − 1 と表記されることが多いです。

もう 1 つの例は、測度空間上の測定可能関数 (のクラス) の空間、またはルベーグ積分可能関数のクラスです。ここで、同値関係は「ほぼどこでも」等式です。

「言語の乱用」と「表記の乱用」という用語は、文脈によって異なります。AからBへの部分関数を「 f  : A → B」と書くことは、ほとんどの場合、表記の乱用ですが、集合と部分関数のカテゴリ内の 射としてf を見ることができるカテゴリ理論のコンテキストではそうではありません。

• 数学表記
• 誤称