微分ガロア理論

数学において、微分ガロア理論は微分体の拡張を研究する分野である。

代数ガロア理論は代数体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体の拡大、すなわち微分を備えた体を研究する。微分は次の性質を満たす。

D ( xy ) = (Dx)y + xDy

そして

D ( x + y ) = Dx + Dy

任意の体要素xとyに対して。（これらの恒等式は、ライプニッツの積の法則と導関数の線形性に対応します。）微分ガロア理論の理論の多くは、代数ガロア理論と類似しています。2 つの構成の違いの 1 つは、代数ガロア理論でよく見られる有限群と比較して、微分ガロア理論のガロア群は行列リー群になる傾向があることです。

微分ガロア理論の大部分は、代数ガロア理論と類似している。構造上の大きな違いは、微分ガロア理論におけるガロア群は代数群であるのに対し、代数ガロア理論におけるガロア群はクルル位相を備えたプロ有限群であるという点である。

数学では、初等関数の不定積分は非初等関数になることがあります。よく知られた例として、初等関数の不定積分があります。${\displaystyle e^{-x^{2}}}$は非初等関数、誤差関数です${\displaystyle \operatorname {erf} x}$統計学ではよく知られている。初等関数の不定積分sinc 関数${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$そして${\displaystyle x^{x}}$それらは初等関数ではない。

初等関数の概念は単なる慣習的なものであることに注意することが重要です。誤差関数を含めるように初等関数を再定義すると、この定義の下では、不定積分は${\displaystyle e^{-x^{2}}}$これは初等関数とみなされるだろう。しかし、標準的な「初等関数」の集合を拡張する有限個の「初等関数」の集合には、不定積分が初等関数ではない関数が存在する。

微分ガロア理論を用いることで、どの初等関数の不定積分が初等関数として表現できないかを判断することが可能です。微分ガロア理論はガロア理論の枠組みに基づいています。代数ガロア理論が体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体（微分Dを持つ体）の拡大を研究します。

微分Dを持つ任意の微分体Fに対して、 Fの定数体と呼ばれる部分体が存在し、それは次のように定義される。

Con( F ) = { f ∈ F | Df = 0}。

定数の体には、 Fの素体が含まれる。

2 つの微分体FとGが与えられたとき、G は^{[ 1 ]}を満たし 、Fの単純微分拡張と呼ばれる。

∃ s ∈ F ; Dt = Ds / s、

このとき、GはFの対数拡張と呼ばれる。

これは対数微分の形をとります。直感的には、t はFの要素sの対数と考えることができ、これは通常の連鎖律に対応します。Fは必ずしも一意に定義された対数を持つとは限りません。F のさまざまな対数拡張を考えることができます。同様に、指数拡張は以下 を満たします。

∃ s ∈ F ; Dt = tDs、

そして微分拡張は以下を満たす

∃ s ∈ F ; Dt = s。

微分拡張または指数拡張は、その場の特性がゼロであり、拡張された場の定数場が一致する場合に、ピカール・ヴェシオ拡張となる。

上記の注意点を念頭に置くと、この要素はFの要素sの指数関数とみなすことができます。最後に、 FからGへの中間体の有限列があり、Con( F ) = Con( G ) であり、その列の各拡大が有限代数拡大、対数拡大、または指数拡大のいずれかである場合、Gは初等微分拡大と呼ばれます。

次の同次線形微分方程式を考える${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in F}$:

${\displaystyle D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+\cdots +a_{n-1}Dy+a_{n}y=0}$ …（１）

定数体上には、最大でn個の線形独立な解が存在する。Fの拡張Gは、Gが微分方程式 (1) のすべての解によって生成され、Con( F ) = Con( G )を満たす場合、微分方程式 (1) のPicard-Vessiot 拡張である。

Fの拡大体Gは、 Con( F ) = Con( G ) が代数的に閉じた体であり、部分体の増加列が存在する場合に、リウヴィル拡大体と呼ばれる。

F = F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n = G

各拡張F _{k +1}  : F _kは、有限代数拡張、微分拡張、または指数拡張のいずれかである。有理関数体C ( x ) のリウヴィル拡張は、有理関数、指数関数、代数方程式の根、およびそれらの不定積分の有限組み合わせによって得られる関数から構成される。明らかに、対数関数、三角関数、およびそれらの逆関数はC ( x )上のリウヴィル関数であり、特に初等微分拡張はリウヴィル拡張である。

C ( x ) 上の初等拡張に含まれるが、リウヴィル拡張には含まれない関数の例としては、次の不定積分がある。${\displaystyle e^{-x^{2}}}$。

微分体Fに対して、G がFの分離可能な代数的拡大である場合、 Fの微分は一意的にGの微分に拡張される。したがって、G は一意的にFの微分構造を継承する。

FとGを Con( F ) = Con( G )を満たす微分体とし、GをFの初等微分拡大とする。a ∈ Fおよびy ∈ GであってDy = aとなるもの(すなわち、G はaの不定積分を含む) とする。このとき、 c ₁ , …, c _n ∈ Con( F ) およびu ₁ , …, u _n , v ∈ Fが存在し、

${\displaystyle a=c_{1}{\frac {Du_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Du_{n}}{u_{n}}}+Dv}$

（リウヴィルの定理）。言い換えれば、不定積分が初等関数（つまり、最悪の場合でもFの初等微分拡張に含まれる関数）である関数のみが、この定理で述べられている形式を持つ。直感的に言えば、初等不定積分のみが、単純な関数の有限個の対数の和として表すことができる。

G / Fがピカール・ヴェシオ拡大である場合、 GがFのリウヴィル拡大であることは、微分ガロア群が可解な単位元を持つことと同値である。^{[ 2 ]}さらに、GがFのリウヴィル拡大であることは、G がFの何らかのリウヴィル拡大体に埋め込むことができることと同値である。

• 1つの複素変数の有理関数の領域${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$変数に関して通常の微分をとると、微分場となる。${\displaystyle x}$導出として。この体の定数体は複素数体である。${\displaystyle \mathbb {C} }$。

• 上記のリウヴィルの定理によれば、${\displaystyle f(z)}$そして${\displaystyle g(z)}$は有理関数である${\displaystyle z}$、${\displaystyle f(z)}$はゼロではなく、${\displaystyle g(z)}$定数でない場合、${\displaystyle \textstyle \int f(z)e^{g(z)}\,dz}$が初等関数であるのは、有理関数が存在する場合に限る。${\displaystyle h(z)}$そのため${\displaystyle f(z)=h'(z)+h(z)g'(z)\,}$誤差関数と正弦積分（sinc関数の不定積分）が初等関数として表現できないという事実は、この性質から直ちに導かれる。

• 微分方程式の場合${\displaystyle y''+y=0}$ガロア群は絶対値を持つ複素数の乗法群である${\displaystyle 1}$円群とも呼ばれる。これは可解群の一例であり、実際、この微分方程式の解は初等関数（この場合は三角関数）である。

• エアリー方程式の微分ガロア群、${\displaystyle y''-xy=0}$複素数上の は、次数 2 の特別な線形群である。${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$この群は解くことができない、つまりその解は初等関数では表現できない。その代わりに、その解はエアリー関数と呼ばれる。

微分ガロア理論は、数学や物理学において数多くの応用例がある。例えば、与えられた微分方程式が求積法（積分法）で解けるかどうかを判定する際に用いられる。また、古典力学におけるハミルトン系の積分可能性など、動的システムの研究にも応用されている。

重要な応用例の一つは、微分方程式の積分可能性条件の解析であり、これは物理学における対称性や保存則の研究に重要な意味を持つ。

• ピカール＝ヴェシオ理論

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