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群論として知られる抽象代数学の分野において、モンスター群M（フィッシャー・グリースモンスター、またはフレンドリージャイアントとも呼ばれる）は、最大の散在単純群であり、その位数は
- 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000
- = 2 46 · 3 20 · 5 9 · 7 6 · 11 2 · 13 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
- ≈ 8 × 1053 .
有限単純群は完全に分類されている。そのような群はどれも、18 の可算無限族のいずれかに属するか、 またはそのような体系的なパターンに従わない 26 の散在群のいずれかである。モンスター群には、部分商として 20 の散在群 (それ自体を含む) が含まれる。1982年にモンスターの存在を証明したロバート グリースは、それら 20 の群を幸福な族と呼び、残りの 6 つの例外をパーリアと呼んだ。
モンスター群は複雑なため、適切な定義を与えることは困難です。マーティン・ガードナーは、 1980年6月にサイエンティフィック・アメリカン誌の「数学ゲーム」コラムでモンスター群に関する一般的な説明を書きました。[1]
歴史
このモンスターは、ベルント・フィッシャー（未発表、1973年頃）とロバート・グリース[2]によって、フィッシャーのベビーモンスター群の二重被覆を反転の中心化として含む単純群として予測されました。数か月以内に、グリースはトンプソン順序公式を使用してMの順序を発見し、フィッシャー、 コンウェイ、ノートン、トンプソンは、既知の散在群の多くと、トンプソン群とハラダ・ノートン群という2つの新しい群を含む他の群を部分商として発見しました。194行194列の配列であるモンスターの指標表は、1979年にフィッシャーとドナルド・リヴィングストンがマイケル・ソーンによって書かれたコンピュータプログラムを使用して計算しました。1970年代には、モンスターが実際に存在するかどうかは明らかではありませんでした。グリース[3]は、実数上の196,883次元の可換非結合代数であるグリース代数の自己同型群としてMを構築した。彼は1980年1月14日にアナーバーで初めてその構築を発表した。彼は1982年の論文でこの怪物をフレンドリージャイアントと呼んだが、この名前は一般には採用されなかった。その後、ジョンコンウェイ[4]とジャックティッツ[5] [6]がこの構築を簡略化した。
グリースの構成は、怪物が存在することを示した。トンプソン[7]は、その一意性（有限単純群の分類から導かれる特定の条件を満たす単純群として）は、196,883次元の忠実な表現の存在から導かれることを示した。そのような表現の存在の証明はノートン[8]によって発表されたが、彼は詳細を公表することはなかった。グリース、マイヤーフランケンフェルト、セゲフは、怪物の一意性の完全な証明を初めて公表した（より正確には、彼らは、怪物と同じ反転の中心化子を持つ群は怪物と同型であることを示した）。[9]
モンスターは散在単純群の発展の集大成であり、フィッシャー群Fi 24、ベビーモンスター、コンウェイ群Co 1の 3 つの部分商のうちの任意の 2 つから構築できます。
シュアー乗数とモンスターの外部自己同型群は両方とも自明です。
表現
忠実な複素表現の最小次数は 47 × 59 × 71 = 196,883 であり、したがって M の位数の 3 つの最大の素因数の積です。任意の体上の最小の忠実な線型表現は、2 つの要素を持つ体上で次元 196,882 を持ち、最小の忠実な複素表現の次元より 1 つだけ小さくなります。
モンスターの最小の忠実な順列表現は
- 97,239,461,142,009,186,000
- = 2 4 ·3 7 ·5 3 ·7 4 ·11 · 13 2 ·29 · 41 · 59 · 71 ≈ 10 20
ポイント。
モンスターは有理数上のガロア群として実現できる[10]。また、フルヴィッツ群としても実現できる[11] 。
モンスターは、その要素を表現する簡単な方法が知られていないという点で、単純群の中では珍しいものです。これは、そのサイズによるものではなく、「小さな」表現が存在しないことに起因しています。たとえば、単純群 A 100と SL 20 (2) ははるかに大きいですが、「小さな」順列表現または線形表現を持っているため、計算が簡単です。 A 100などの交代群は、グループのサイズと比較して「小さい」順列表現を持ち、 SL 20 (2)などのリー型のすべての有限単純群は、グループのサイズと比較して「小さい」線形表現を持っています。モンスター以外のすべての散在群も、コンピュータで簡単に処理できるほど十分に小さい線形表現を持っています (モンスターの次に難しいケースは、次元 4370 の表現を持つベビーモンスターです)。
コンピュータ構築
Martin Seysen は、任意の演算を効果的に実行できるモンスター群の最初の実装であると主張する、mmgroup という高速Pythonパッケージを実装しました。ドキュメントには、群の要素の乗算は、一般的な最新の PC で 40 ミリ秒未満で完了すると記載されています。これは、 2013 年にRobert A. Wilsonが推定した値よりも 5 桁高速です。 [12] [13] [14] [15] mmgroup ソフトウェア パッケージは、モンスター群の 2 つの新しい最大部分群を見つけるために使用されました。[16]
以前、ロバート・A・ウィルソンは、（コンピュータの助けを借りて）2つの可逆な196,882×196,882行列（2次の体にある要素を持つ）を明示的に発見し、これらを合わせて行列の乗算によってモンスター群を生成することを発見した。これは、特性0の196,883次元表現よりも1次元低い。これらの行列で計算を行うことは可能であったが、各行列が4.5ギガバイト以上を占めるため、時間と記憶領域の点で高価すぎて実用的ではなかった。[17]
ウィルソンは、モンスターの最も適切な説明は「モンスター頂点代数の自己同型群である」と言うことだと主張している。しかし、これはあまり役に立たない。なぜなら、誰も「モンスター頂点代数の本当に単純で自然な構成」を見つけていないからだ。[18]
ウィルソンは共同研究者とともに、モンスターの計算を実行するかなり高速な方法を発見したが、現在では前述のセイセンの研究に取って代わられている。V を2 つの要素を持つ体上の 196,882 次元のベクトル空間とする。計算が簡単に実行できるモンスターの大きなサブグループH (できれば最大サブグループ) を選択する。選択されたサブグループHは 3 1+12 .2.Suz.2 であり、 Suz は鈴木群である。モンスターの要素は、Hの要素と追加の生成元Tにワードとして格納される。これらのワードの 1 つがVのベクトルに作用すると、かなり高速に計算できる。この作用を使用して、計算 (モンスターの要素の順序など) を実行できる。ウィルソンは、ジョイント スタビライザーが自明群であるベクトルuとv を示した。したがって、（たとえば）g i u = uかつg i v = vとなる最小のi > 0 を見つけることによって、モンスターの元gの位数を計算することができます。これと同様の構成（異なる特性）は、モンスター群の非局所最大部分群のいくつかを見つけるために使用されました。
部分商
モンスターには、26 個の散在群のうち 20 個が部分商として含まれています。この図は、マーク・ローナン著の「Symmetry and the Monster」に掲載されている図を基にしており、それらがどのように組み合わさるかを示しています。[19]線は、下部のグループが上部のグループに部分商として含められることを示しています。丸で囲まれた記号は、より大きな散在群に含まれないグループを示しています。わかりやすくするために、冗長な含め方は示されていません。
最大サブグループ
モンスターには最大部分群の共役類が46個ある。[16]約60種の同型非可換単純群が部分群または部分群の商として見つかる。表される最大の交代群はA12である。
モンスターの最大部分群の 46 クラスは、次の表で与えられます。ウィルソンらによる以前の未発表の研究では、U 3 (4)、L 2 (8)、および L 2 (16) の形の非可換単純底を持つほぼ単純な部分群は排除されるとされていました。[20] [21] [22] しかし、後者は、U 3 (4)の形の新しい最大部分群を発見したディートリッヒらによって否定されました。同じ著者は以前に、L 2 (13) の形の新しい最大部分群を発見し、底 L 2 (8) または L 2 (16)を持つ最大部分群は存在しないことを確認し、文献の分類を完了しました。[16]
最大サブグループの表には微妙な誤りが含まれていることがしばしばあることに注意してください。特に、この表のサブグループのうち少なくとも 2 つは以前のリストから誤って省略されていました。
マッケイのE8観察
モンスターと拡張ディンキン図 の間にも接続があり、具体的には図のノードとモンスターの特定の共役類の間に接続があり、これはマッケイのE 8観察として知られています。[26] [27] [28]これは、拡張された図とグループ 3.Fi 24 ′ 、2.B、および M との関係に拡張され、これらはフィッシャー群、ベビーモンスターグループ、およびモンスターの (3/2/1 倍の中心拡張) です。これらは、モンスター内のタイプ 1A、2A、および 3A の要素の中心化に関連付けられた散在群であり、拡張の順序は図の対称性に対応します。マッケイ対応型のさらなる接続については、 ADE分類:三元性を参照してください。これには、(モンスターの場合)かなり小さな単純群PSL (2,11)や、ブリング曲線として知られる種数4の標準六次曲線の120個の三接平面が含まれます。
密造酒
モンスター群は、コンウェイとノートンによるモンスタームーンシャイン予想[29]の2つの主要な構成要素のうちの1つであり、離散数学と非離散数学を関連付け、 1992年にリチャード・ボルチャーズによって最終的に証明されました。
この設定では、モンスター群は、モンスター加群、頂点作用素代数、グリース代数を含む無限次元代数、の自己同型群として見え、一般化されたカッツ・ムーディ代数であるモンスター・リー代数に作用します。
コンウェイを含む多くの数学者は、モンスターを美しくも謎めいた物体とみなしてきた。[30]コンウェイはモンスター群について次のように述べている。「なぜそれがそこにあるのかについての説明はこれまで一切なく、偶然そこに存在しているわけでもないことは明らかだ。偶然とは考えられないほど興味深い特性が多すぎる」。[31]モンスター群の特性の専門家である サイモン・P・ノートンは、「モンスター・ムーンシャインが何であるかは一文で説明できる。それは神の声だ」と述べている。[32]
参照
- 超特異素数、モンスターの順序を分割する素数
- ビモンスターグループ、モンスターグループの花輪広場、驚くほどシンプルなプレゼンテーション
引用
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さらに読む
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外部リンク
- モンスターとは何か？リチャード・E・ボルチャーズ著、アメリカ数学会誌、2002年10月1077
- MathWorld: モンスターグループ
- 有限群表現のアトラス: モンスター群
- サイエンティフィック・アメリカン 1980 年 6 月号: モンスターの捕獲: 途方もない数の要素を持つ数学的群