サブフィールドとサブグループの対応
数学 において 、 ガロア理論の基本定理は、 群 に関連して特定のタイプの 体の拡大 の構造を記述する結果であり、 エヴァリスト・ガロアが ガロア理論 の発展の中で 証明しました 。
最も基本的な形式では、定理は、 有限 かつ ガロア である体拡大 E / F が 与えられた場合、その中間体と その ガロア群の 部分群の間に 1 対 1 の対応が 存在することを主張します 。 ( 中間体とは、 F ⊆ K ⊆ E を満たす 体 K です。これらは E / F の 部分拡大 とも呼ばれます 。)
通信の明確な説明 有限拡張の場合、対応は次のように明示的に記述できます。
Gal( E / F )の 任意の 部分群 Hに対して、対応する 固定体 EH は 、 H のすべての 自己同型 によって固定される E の元の 集合 である。 E / F の 任意の中間体 K に対して、対応する部分群は Aut( E / K )、つまり K のすべての元を固定するGal( E / F )の自己同型の集合です 。 基本定理によれば、この対応は、 E / Fが ガロア拡大 である 場合に限り、1対1対応となります 。たとえば、最上位の体 E は Gal( E / F ) の 自明な部分群 に対応し 、基本体 F は Gal( E / F ) の全体 群 に対応します。
Gal( E / F )という 表記は、 ガロア拡大 にのみ使用されます 。E / F がガロアの場合、 Gal( E / F ) = Aut( E / F ) です。E / F がガロアでない場合 、 「 対応」は から への単射 (ただし射影ではない) 写像と、逆方向への射影 (ただし射影ではない) 写像のみを与えます 。 特に 、 E / F がガロアでない場合 、 F は Aut ( E / F )のどの部分群の固定体でもありません 。
{
Autのサブグループ
（ え
/
ふ ） }
{\displaystyle \{{\text{Aut のサブグループ}}(E/F)\}}
{
のサブフィールド
え
/
ふ }
{\displaystyle \{{\text{}}E/F のサブフィールド\}}
対応関係の特性 この対応には、次のような便利な特性があります。
これは包含反転 です。部分群 H 1 ⊆ H 2 の包含が成り立つのは、体 E H 1 ⊇ E H 2 の包含が成り立つ場合のみです 。 拡張の次数は、包含反転特性と一致する方法で、群の順序と関連しています。具体的には、 H がGal( E / F ) のサブグループである場合、| H | = [ E : E H ] かつ |Gal( E / F )|/| H | = [ E H : F ] です。 体 E H が F の 正規拡大 （または、それと同値なガロア拡大、分離拡大の任意の部分拡大は分離可能であるため）であるのは、 H が Gal( E / F ) の 正規部分群 である場合に限ります。 この場合、 Gal( E / F )の元を E H に制限すると、 Gal( E H / F ) と 商群 Gal( E / F )/ Hの間に 同型性 が誘導されます 。
例1 部分群と部分体 の格子 フィールドを検討する
け =
質問
（
2
、
3
）
=
[
質問
（
2
）
]
（
3
） 。
{\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)=\left[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right]\!({\sqrt {3}}).}
K は 基本体から √ 2 、次に √ 3 を付加して構成される ため、 K の各要素は 次のように表すことができます。
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
（ 1つの + b
2
） + （ c + d
2
）
3
、 1つの 、 b 、 c 、 d ∈
質問
。
{\displaystyle (a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}},\qquad a,b,c,d\in \mathbb {Q} .}
そのガロア群は、 a を 固定する K の自己同型から構成される 。そのような自己同型は、√2を√2または-√2に、√3を√3または-√3に送らなければならない 。 なぜなら 、 それら は 任意 の 既 約 多項式 の 根 を 置換 する からである。f が √2 と -√2 を 交換 する と 仮定 する と 、
グ =
ギャル
（ け
/
質問
）
{\displaystyle G={\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )}
ふ
（
（ 1つの + b
2
） + （ c + d
2
）
3
）
= （ 1つの − b
2
） + （ c − d
2
）
3
= 1つの − b
2
+ c
3
− d
6
、
{\displaystyle f\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(ab{\sqrt {2}})+(cd{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=ab{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}},}
そして gは √3 と –√3 を 交換 する ので 、
グ
（
（ 1つの + b
2
） + （ c + d
2
）
3
）
= （ 1つの + b
2
） − （ c + d
2
）
3
= 1つの + b
2
− c
3
− d
6
。
{\displaystyle g\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a+b{\sqrt {2}})-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.}
これらは明らかに、加算と乗算に関するK の自己同型です 。また、各要素を固定する恒等自己同型 e と、両方の 根号の符号を変更する f と g の合成もあります 。
（ ふ グ ）
（
（ 1つの + b
2
） + （ c + d
2
）
3
）
= （ 1つの − b
2
） − （ c − d
2
）
3
= 1つの − b
2
− c
3
+ d
6
。
{\displaystyle (fg)\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(ab{\sqrt {2}})-(cd{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=ab{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}.}
ガロア群の位数は体拡大の次数に等しいので、 これ以上の自己同型は存在しない。
|
グ
|
= [ け :
質問
] = 4
{\displaystyle |G|=[K:\mathbb {Q} ]=4}
グ =
{
1 、 ふ 、 グ 、 ふ グ
}
、
{\displaystyle G=\left\{1,f,g,fg\right\},}
これはクラインの4元群 と同型である 。その5つの部分群は基底 と拡大 K の中間の体に対応する。
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
自明な部分群 {1} は拡大体 K 全体に対応する。 グループ G 全体は基底体に対応する。
質問
。
{\displaystyle \mathbb {Q} .}
f は √3 を 固定する ので、 サブグループ {1, f } はサブフィールドに対応します 。
質問
（
3
） 、
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}}),}
gは √2 を 固定する ので、 サブグループ {1, g } はサブフィールドに対応します 。
質問
（
2
） 、
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),}
fgは √6 を 固定する ので、 サブグループ {1, fg } はサブフィールドに対応します 。
質問
（
6
） 、
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}}),}
例2 部分群と部分体 の格子 以下は、ガロア群がアーベル群ではない最も単純なケースです。
上の 既約多項式 の 分解体 K について考えます 。つまり、 θ は 2 の 3 乗根、 ω は 1 の 3 乗根 (1 自体ではない) です。K を複素数内部で考えると 、 、2 の実数 3 乗根、 を取ることができます 。ω は 最小 多項式 を持つ ため 、 拡張の次数は で、前の例と同様
に - 基底を持ちます
。したがって、ガロア群には の 3 つの根のすべての順列によって決定される 6 つの要素があります 。
x
3
− 2
{\displaystyle x^{3}-2}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
け =
質問
（ θ 、 ω ）
{\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}
θ =
2
3
{\displaystyle \theta ={\sqrt[{3}]{2}}}
ω = −
1 2
+ 私
3
2
。
{\displaystyle \omega =-{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}
x
2
+ x + 1
{\displaystyle x^{2}+x+1}
質問
⊂ け
{\displaystyle \mathbb {Q} \subset K}
[ け :
質問
] = [ け :
質問
（ θ ） ] ⋅ [
質問
（ θ ） :
質問
] = 2 ⋅ 3 = 6 、
{\displaystyle [\,K:\mathbb {Q} \,]=[\,K:\mathbb {Q} (\,\theta \,)\,]\cdot [\,\mathbb {Q} (\,\theta \,):\mathbb {Q} \,]=2\cdot 3=6,}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
{ 1 、 θ 、
θ
2
、 ω 、 ω θ 、 ω
θ
2
}
{\displaystyle \{1,\theta ,\theta ^{2},\omega ,\omega \theta ,\omega \theta ^{2}\}}
グ =
グ 1つの l
（ け
/
質問
）
{\displaystyle G=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}
x
3
− 2
{\displaystyle x^{3}-2}
α
1
= θ 、
α
2
= ω θ 、
α
3
=
ω
2
θ 。
{\displaystyle \alpha _{1}=\theta ,\ \alpha _{2}=\omega \theta ,\ \alpha _{3}=\omega ^{2}\theta .}
このような順列は 3! = 6 通りしかないため、 G は3 つのオブジェクトのすべての順列の 対称群 と同型でなければなりません 。この群は、次のように定義される 2 つの自己同型 f と g によって生成できます。
ふ （ θ ） = ω θ 、 ふ （ ω ） = ω 、
{\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\quad f(\omega )=\omega ,}
グ （ θ ） = θ 、 グ （ ω ） =
ω
2
、
{\displaystyle g(\theta )=\theta ,\quad g(\omega )=\omega ^{2},}
および であり 、関係 に従います 。 の順列としての効果は( 循環記法 で ) です。 また、 g は 複素共役 写像と見なすことができます 。
グ =
{
1 、 ふ 、
ふ
2
、 グ 、 グ ふ 、 グ
ふ
2
}
{\displaystyle G=\left\{1,f,f^{2},g,gf,gf^{2}\right\}}
ふ
3
=
グ
2
= （ グ ふ
）
2
= 1
{\displaystyle f^{3}=g^{2}=(gf)^{2}=1}
α
1
、
α
2
、
α
3
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}
ふ = （ 123 ） 、 グ = （ 23 ）
{\displaystyle f=(123),g=(23)}
G のサブグループ と対応するサブフィールドは次のとおりです。
いつものように、自明な群 {1} は体 K 全体に対応し、群 G 全体は基底体 に対応します 。
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
位数 3 の唯一の部分群 は 、次数 2 の部分体に対応します 。これは、部分群が G で 指数 2 を持つためです。つまり、 です 。また、この部分群は正規なので、部分体 は の分解体である上で正規です 。その基底体上のガロア群は商群 です 。 ここで、[ g ] は H を法とする g の剰余類を表します 。つまり、その唯一の非自明な自己同型は複素共役 g です。
H = { 1 、 ふ 、
ふ
2
}
{\displaystyle H=\{1,f,f^{2}\}}
質問
（ ω ）
{\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}
[
質問
（ ω ） :
質問
] =
|
グ
|
|
H
|
= 2
{\displaystyle [\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]={\tfrac {|G|}{|H|}}=2}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
x
2
+ x + 1
{\displaystyle x^{2}+x+1}
グ
/
H = { [ 1 ] 、 [ グ ] }
{\displaystyle G/H=\{[1],[g]\}}
位数 2 の 3 つの部分群、および があり 、 それぞれ部分体 に対応します。 これらの部分体は 上で次数 3 を持ちます。これは、部分群が Gで 指数 3 を 持つためです 。部分群は G で 正規では ない ため、部分体は 上で ガロアでも 正規でも ありません 。実際、各部分体には根 が 1 つだけ含まれている ため、非自明な自己同型は存在しません。
{
1
,
g
}
,
{
1
,
g
f
}
{\displaystyle \{1,g\},\{1,gf\}}
{
1
,
g
f
2
}
,
{\displaystyle \{1,gf^{2}\},}
Q
(
θ
)
,
Q
(
ω
θ
)
,
Q
(
ω
2
θ
)
.
{\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ),\mathbb {Q} (\omega \theta ),\mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta ).}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
α
1
,
α
2
,
α
3
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}
例3 を不定 λの 有理関数体 とし 、 自己同型群を考える。
E
=
Q
(
λ
)
{\displaystyle E=\mathbb {Q} (\lambda )}
G
=
{
λ
,
1
1
−
λ
,
λ
−
1
λ
,
1
λ
,
λ
λ
−
1
,
1
−
λ
}
⊂
A
u
t
(
E
)
;
{\displaystyle G=\left\{\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\}\subset \mathrm {Aut} (E);}
ここで、自己同型を その値 で表すと 、 となります 。この群は と同型です ( 6 つの交差比 を参照)。 を の固定体とすると 、 となります 。
ϕ
:
E
→
E
{\displaystyle \phi :E\to E}
ϕ
(
λ
)
{\displaystyle \phi (\lambda )}
f
(
λ
)
↦
f
(
ϕ
(
λ
)
)
{\displaystyle f(\lambda )\mapsto f(\phi (\lambda ))}
S
3
{\displaystyle S_{3}}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
G
a
l
(
E
/
F
)
=
G
{\displaystyle {\rm {Gal}}(E/F)=G}
が の部分群である 場合 、多項式の係数は
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
P
(
T
)
:=
∏
h
∈
H
(
T
−
h
)
∈
E
[
T
]
{\displaystyle P(T):=\prod _{h\in H}(T-h)\in E[T]}
の固定体を生成します 。ガロア対応は、 のすべての部分体が このように構築できることを意味します。たとえば、 の場合 、固定体は で あり、 の 場合、固定体は です 。 の固定体は、 jが モジュラーラムダ関数 で記述された j 不変量 である 基本体 です 。
H
{\displaystyle H}
E
/
F
{\displaystyle E/F}
H
=
{
λ
,
1
−
λ
}
{\displaystyle H=\{\lambda ,1-\lambda \}}
Q
(
λ
(
1
−
λ
)
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda (1-\lambda ))}
H
=
{
λ
,
1
λ
}
{\displaystyle H=\{\lambda ,{\tfrac {1}{\lambda }}\}}
Q
(
λ
+
1
λ
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda +{\tfrac {1}{\lambda }})}
G
{\displaystyle G}
F
=
Q
(
j
)
,
{\displaystyle F=\mathbb {Q} (j),}
j
=
256
(
1
−
λ
(
1
−
λ
)
)
3
(
λ
(
1
−
λ
)
)
2
=
256
(
1
−
λ
+
λ
2
)
3
λ
2
(
1
−
λ
)
2
.
{\displaystyle j={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}
プラトン立体の対称群 のそれぞれについても、 射影直線 上、したがって 上に忠実な作用を持つため 、同様の例を構築できます 。
P
1
(
C
)
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}
C
(
x
)
{\displaystyle \mathbb {C} (x)}
例4 ここでは、ガロアではない 有限拡張の例を示し、これによって、 がガロアではない場合にはガロア理論（の基本定理）が機能しなくなることを示します。
E
/
F
{\displaystyle E/F}
E
/
F
{\displaystyle E/F}
およびと します 。すると は 有限拡大ですが、 上の分解体ではありません ( の極小多項式には に属さない 2 つの複素根があるため )。任意の は によって完全に決定され 、 は です。 したがって、 は自明群です。特に です。これは が ガロアではない
ことを示しています。
E
=
Q
(
2
3
)
{\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}
F
=
Q
{\displaystyle F=\mathbb {Q} }
E
/
F
{\displaystyle E/F}
F
{\displaystyle F}
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
E
{\displaystyle E}
f
∈
G
=
G
a
l
(
E
/
F
)
{\displaystyle f\in G=\mathrm {Gal} (E/F)}
f
(
2
3
)
{\displaystyle f({\sqrt[{3}]{2}})}
2
=
f
(
2
3
)
3
⟹
f
=
1
{\displaystyle 2=f({\sqrt[{3}]{2}})^{3}\implies f=1}
G
=
{
1
}
{\displaystyle G=\{1\}}
|
G
|
=
1
<
3
=
[
E
:
F
]
{\displaystyle |G|=1<3=[E:F]}
E
/
F
{\displaystyle E/F}
ここで、 に は 1 つの部分群、つまり 自身しかありません。 を含む唯一の中間体は です 。したがって、ガロア対応は成立しません。
G
{\displaystyle G}
F
=
Q
{\displaystyle F=\mathbb {Q} }
E
=
Q
(
2
3
)
{\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}
アプリケーション 定理は、 E / Fの中間体を 群論の 観点から分類します 。中間体と部分群の間のこの変換は、 一般の五次方程式 が根号によって解け ないことを示す鍵となります ( アーベル-ルフィニの定理 を参照)。まず、 根号拡大(α が F の何らかの元の n 乗根であるときの形式 F (α ) の拡大) のガロア群を決定し、次に基本定理を使用して、解ける拡大が 解ける群 に対応することを示します 。
クンマー理論 や 類体理論 などの理論は、 基本定理に基づいています。
無限の場合 無限代数拡張が与えられた場合、それが正規かつ分離可能であれば、それをガロアとして定義することができます。無限の場合に遭遇する問題は、一般的にサブグループが多すぎるため、基本定理の一対一性が成立しないことです。より正確に言えば、すべてのサブグループを単に取ると、一般に同じ中間体を固定する 2 つの異なるサブグループを見つけることができます。したがって、 ガロア群に
トポロジーを導入することでこれを修正します。
をガロア拡大（無限でもよい）とし、拡大のガロア群をとする 。 を すべての有限中間ガロア拡大のガロア群の集合とする。すべてに対して、 写像を によって定義できることに注意してください 。次に、 上の クルル位相を、 すべての写像が連続である ような最も弱い位相として 定義します。ここで、それぞれに 離散位相が 与えられます。別の言い方をすると、 位相群 の 逆極限 です （ここでも、それぞれに 離散位相が与えられます）。これにより、 原有限群が 作成されます （実際、すべての原有限群は、ガロア拡大のガロア群として実現できます。たとえば、 [1] を参照してください）。が有限のとき、クルル位相は離散位相であることに注意してください 。
E
/
F
{\displaystyle E/F}
G
=
Gal
(
E
/
F
)
{\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}
Int
F
(
E
/
F
)
=
{
G
i
=
Gal
(
L
i
/
F
)
|
L
i
/
F
is a finite Galois extension and
L
i
⊆
E
}
{\displaystyle {\text{Int}}_{\text{F}}(E/F)=\{G_{i}={\text{Gal}}(L_{i}/F)~|~L_{i}/F{\text{ is a finite Galois extension and }}L_{i}\subseteq E\}}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
φ
i
:
G
→
G
i
{\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}
σ
↦
σ
|
L
i
{\displaystyle \sigma \mapsto \sigma _{|L_{i}}}
G
{\displaystyle G}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
φ
i
:
G
→
G
i
{\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}
G
i
{\displaystyle G_{i}}
G
≅
lim
←
G
i
{\displaystyle G\cong \varprojlim G_{i}}
G
i
{\displaystyle G_{i}}
G
{\displaystyle G}
E
/
F
{\displaystyle E/F}
ガロア群上のトポロジーを定義したら、無限ガロア拡大の基本定理を言い直すことができます。
のすべての中間体拡大の集合を とし 、 クルル 位相を持つ の すべての閉部分群の集合を とします。すると、 と の間には、 写像によって与えられる
一対一写像が存在し、
F
(
E
/
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(E/F)}
E
/
F
{\displaystyle E/F}
C
(
G
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}
G
=
Gal
(
E
/
F
)
{\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}
F
(
E
/
F
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(E/F)}
C
(
G
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}
Φ
:
F
(
E
/
F
)
→
C
(
G
)
{\displaystyle \Phi :{\mathcal {F}}(E/F)\rightarrow {\mathcal {C}}(G)}
によって定義され 、地図
L
↦
Gal
(
E
/
L
)
{\displaystyle L\mapsto {\text{Gal}}(E/L)}
Γ
:
C
(
G
)
→
F
(
E
/
F
)
{\displaystyle \Gamma :{\mathcal {C}}(G)\rightarrow {\mathcal {F}}(E/F)}
によって定義されます 。確認する必要がある重要なことは、 が 明確に定義された写像であること、つまり が すべての中間体 に対して の閉じた部分群であることです 。これは Ribes–Zalesskii の定理 2.11.3 で証明されています。 [1]
N
↦
Fix
E
(
N
)
:=
{
a
∈
E
|
σ
(
a
)
=
a
for all
σ
∈
N
}
{\displaystyle N\mapsto {\text{Fix}}_{E}(N):=\{a\in E~|~\sigma (a)=a{\text{ for all }}\sigma \in N\}}
Φ
{\displaystyle \Phi }
Φ
(
L
)
{\displaystyle \Phi (L)}
G
{\displaystyle G}
L
{\displaystyle L}
参照
参考文献
^ ab Ribes, Zalesskii (2010). Profinite groups . Springer. ISBN 978-3-642-01641-7 。
さらに読む ミルン、JS (2022)。フィールドとガロア理論。Kea Books、ミシガン州アナーバー 。ISBN 979-8-218-07399-2 。
外部リンク ウィキメディア・コモンズのガロア理論の基本定理に関連するメディア PlanetMath におけるガロア理論の基本定理の証明 。 Stacks Project の著者。「定理 9.21.7 (ガロア理論の基本定理)」。 Stacks Project の著者。「定理 9.22.4 (無限ガロア理論の基本定理)」。 
![{\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)=\left[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right]\!({\sqrt {3}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160266fc1c18ac293ec2be0dc7e2f2ed292c5f3d)
![{\displaystyle |G|=[K:\mathbb {Q} ]=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99684876389fb867c9a81969692ee7a14c3b8f82)
![{\displaystyle \theta ={\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a9b450bd8682a73570e223a5ddcfaf723347ef)
![{\displaystyle [\,K:\mathbb {Q} \,]=[\,K:\mathbb {Q} (\,\theta \,)\,]\cdot [\,\mathbb {Q} (\,\theta \,):\mathbb {Q} \,]=2\cdot 3=6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2922c853125ead7877f7ee62ff540679aca85ac5)
![{\displaystyle [\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]={\tfrac {|G|}{|H|}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0fad1cf648c18c7383fb70b757532d57f3d050)
![{\displaystyle G/H=\{[1],[g]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59519b68d20c6b19c4702b43aa4cfe513a5d4284)
![{\displaystyle P(T):=\prod _{h\in H}(Th)\in E[T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c6bef35babddd00bd2eed1d9ccadac5046291c)
![{\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4dec2bc99613c4a779db196ad95e7b1f7aca28)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
![{\displaystyle f({\sqrt[{3}]{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b4476e140240184c2f543b741eaa73887c3e52)
![{\displaystyle 2=f({\sqrt[{3}]{2}})^{3}\implies f=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fd2211fcc340a40201c1ee80d6731d1d2a0855)
![{\displaystyle |G|=1<3=[E:F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a27db868ad225c371829b22e36f03f408ccf54)
ウィキメディア・コモンズのガロア理論の基本定理に関連するメディア