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数学において、幾何学的不変式論（またはGIT ）は、代数幾何学における群作用による商空間を構成する方法であり、モジュライ空間を構成するために用いられる。これは、古典的不変式論 に関する論文（ヒルベルト 1893 ）のアイデアを用いて、1965年にデイヴィッド・マンフォードによって開発された。
幾何学的不変量理論は、群Gが代数多様体(またはスキーム) Xに及ぼす作用を研究し、妥当な性質を持つスキームとしてXのGによる「商空間」を構成する手法を提供する。その動機の一つは、マークされた対象をパラメーター化するスキームの商空間として、代数幾何学におけるモジュライ空間を構築することであった。1970 年代と 1980 年代には、この理論はシンプレクティック幾何学や同変位相幾何学との相互作用を発展させ、インスタントンやモノポールなどの微分幾何学における対象のモジュライ空間を構築するために使用された。
不変式理論は、群Gが代数多様体（またはスキーム）Xに及ぼす群作用を扱います。古典的な不変式理論は、X = Vがベクトル空間であり、Gが有限群であるか、またはVに線形に作用する古典的なリー群のいずれかである場合を扱います。この作用は、次の式によって、V上の多項式関数空間R ( V )にGの線形作用を誘導します。
V上のG作用の多項式不変量とは、群の作用による「変数変換」の下で固定されるV上の多項式関数fのことで、すべてのG ∈ Gに対してg · f = fが成り立ちます。これらは可換代数A = R ( V ) Gを形成し、この代数は「不変理論商」V // G上の関数の代数として解釈されます。なぜなら、これらの関数のいずれかが、同値なすべての点に対して同じ値を与えるからです (つまり、すべてのgに対してf ( v ) = f ( gv ) )。現代の代数幾何学の言葉で言えば、
この記述からいくつかの困難が生じる。まず、一般線形群の場合にヒルベルトが解決したように、代数Aが有限生成であることを証明する必要がある。これは、商群をアフィン代数多様体にするために必要である。任意の群Gに対して同様の事実が成り立つかどうかは、ヒルベルトの第 14 問題であり、永田は一般には否定的であることを示した。一方、20 世紀前半の表現論の発展の過程で、肯定的な答えが得られる群の大きなクラスが特定された。これらは還元群と呼ばれ、すべての有限群とすべての古典群が含まれる。
代数Aの有限生成は、 Aの完全な記述への第一歩にすぎず、このより繊細な問題の解決の進展は控えめでした。不変量は従来、限られた範囲の状況でのみ記述されており、最初のいくつかのケースを超えたこの記述の複雑さは、一般的に不変量の代数を完全に理解する希望をほとんど持ちませんでした。さらに、任意の多項式不変量f が、V内の与えられた点uとvのペアで同じ値をとることがありますが、これらの点はG作用の異なる軌道にあります。簡単な例として、 n次元複素ベクトル空間C nにスカラー乗法で作用する非ゼロ複素数の乗法群C *が挙げられます。この場合、すべての多項式不変量は定数ですが、作用の軌道は多数あります。ゼロベクトルはそれ自体で軌道を形成し、任意の非ゼロベクトルの非ゼロ倍数は軌道を形成するため、非ゼロ軌道は複素射影空間CP n –1の点によってパラメータ化されます。このようなことが起こる場合（異なる軌道が同じ関数値を持つ場合）、不変量が軌道を分離しないと言われ、代数Aは位相商空間X / Gをかなり不完全に反映します。実際、商位相を持つ後者の空間は、しばしば分離されていません（非ハウスドルフ）。（これは、私たちの例の場合です。ゼロ軌道は開いていません。なぜなら、ゼロベクトルの任意の近傍には他のすべての軌道の点が含まれているため、商位相では、ゼロ軌道の任意の近傍には他のすべての軌道が含まれているからです。）1893 年に、ヒルベルトは、不変多項式によってゼロ軌道から分離されていない軌道を決定するための基準を定式化し、証明しました。驚くべきことに、抽象代数学の急速な発展につながった不変式論における彼の初期の業績とは異なり、ヒルベルトのこの成果はその後70年間ほとんど知られず、ほとんど利用されることもなかった。20世紀前半の不変式論の発展の多くは、不変量を用いた明示的な計算に関するものであり、いずれにせよ、幾何学ではなく代数学の論理に従っていた。
幾何学的不変量理論は、1965年に初版が出版されたマンフォードのモノグラフで創始・発展したもので、ヒルベルトの成果を含む19世紀の不変量理論の考え方を現代の代数幾何学の問題に応用したものである。（この本は後に2つの版で大幅に拡張され、フォガティとマンフォードによる付録、そしてカーワンによるシンプレクティック商に関する章が追加された。）本書では、スキーム理論と計算手法の両方が例題で用いられている。 抽象的な設定としては、スキームX上の群作用が用いられる。軌道空間という単純な概念が用いられている。
すなわち、群作用によるXの商空間は、代数幾何学において、抽象的な用語で説明できる理由から困難に直面する。実際、同値関係が代数幾何学の中核をなす（かなり硬直的な）正則関数（多項式関数）とうまく相互作用する一般的な理由は存在しない。軌道空間G \ X上で考慮すべき関数は、Gの作用の下で不変なX上の関数である。直接的なアプローチは、多様体の関数体（すなわち有理関数）を用いて行うことができる。すなわち、商多様体の関数体として、その上のG不変な有理関数を取る。残念ながら、双有理幾何学の観点からすると、これは答えの第一近似しか与えることができない。マンフォードが本書の序文で述べたように、
問題は、結果として得られる双有理クラスのすべてのモデルの集合の中に、幾何学的点が何らかの作用における軌道の集合、または何らかのモジュライ問題における代数的対象の集合を分類するモデルが1つ存在するということである。
第5章では、彼は取り上げた具体的な技術的問題を、古典的なタイプのモジュライ問題、すなわち非特異性（および偏極に関する必須条件）のみを満たすすべての代数多様体の大きな「集合」を分類するという問題にさらに絞り込んでいる。モジュライはパラメータ空間を記述するものとされている。例えば、代数曲線については、リーマンの時代から、次元の連結成分が存在することが知られていた。
種数g = 0, 1, 2, 3, 4, …に従い、モジュライは各成分の関数である。粗モジュライ問題において、マンフォードは障害を次のように考えている。
理論全体の動機となったのは、3つ目の点である。マンフォードが述べているように、最初の2つの困難が解決されれば、
[3番目の質問]は、射影群によるヒルベルトまたはチョウのスキームの局所的に閉じた部分集合の軌道空間が存在するかどうかという質問と本質的に同等になります。
これに対処するために、彼は安定性の概念（実際には３つ）を導入した。これにより、それまで難解だった領域を開拓することができた。多くの研究が行われており、特にフランチェスコ・セヴェリによって書かれたが、文献の方法には限界があった。双有理的な観点からは、余次元１の部分集合については気にしなくてもよい。モジュライ空間をスキームとして持つことは、一方ではスキームを表現可能な関手として特徴づける問題（グロタンディーク学派の見解）であるが、幾何学的には、安定性基準が明らかにしたように、コンパクト化の問題に近い。非特異多様体への制限は、モジュライ空間としていかなる意味でもコンパクト空間にはつながらない。多様体は特異点を持つように退化する可能性がある。他方、非常に特異な多様体に対応する点は、明らかに「悪い」ので、回答に含めることはできない。許容できるほど安定している点の正しい中間点は、マンフォードの研究によって分離された。この概念は全く新しいものではなく、その一部は、デイヴィッド・ヒルベルトが他の分野に移る前に、不変式論に関する最終的な考えの中で見出されたものであった。
本書の序文では、後にウィリアム・ハブーシュによって証明されたマンフォード予想も述べられている。
簡約群G がベクトル空間Vに線形に作用する場合、 Vの非零点は、
これらを表現する同等の方法も存在する（この基準はヒルベルト・マンフォード基準として知られている）。
Vの対応する射影空間の点は、同じ性質を持つV内の点の像である場合、不安定、半安定、または安定と呼ばれます。「不安定」は「半安定」の反対です（「安定」ではありません）。不安定な点は射影空間の Zariski閉集合を形成し、半安定点と安定点はどちらも Zariski 開集合（空集合の場合もあります）を形成します。これらの定義は( Mumford 1977 )によるものであり、Mumford の著書の初版の定義とは同等ではありません。
多くのモジュライ空間は、射影空間のある部分集合の安定点の空間を、ある群作用によって商空間として構成することができる。これらの空間は、特定の準安定点の同値類を追加することでコンパクト化できる場合が多い。異なる安定軌道は商空間内の異なる点に対応するが、2つの異なる準安定軌道は、それらの閉包が交差する場合、商空間内の同じ点に対応することがある。
例: ( Deligne & Mumford 1969 ) 安定曲線とは、種数 ≥ 2 の縮約連結曲線であり、その特異点は通常の二重点のみであり、すべての非特異有理成分は他の成分と少なくとも 3 点で交わる。種数Gの安定曲線のモジュライ空間は、ヒルベルト多項式(6 n – 1)( g – 1)を持つP 5 g –6の曲線のヒルベルトスキームの部分集合を群PGL 5 g –5で割った商である。
例：代数曲線（またはリーマン面）上のベクトル束Wが安定ベクトル束である のは、次の場合に限る。
Wのすべての真の非ゼロ部分束Vに対して、この条件が < を ≤ に置き換えて成り立つ場合、W は半安定である。
