形態

数学において、射とは圏論の概念であり、代数構造間の準同型写像、ある集合から別の集合への関数、位相空間間の連続関数など、構造を保存する写像を一般化したものである。射の例の多くは構造を保存する写像であるが、射は必ずしも写像である必要はなく、関数合成と同様の方法で合成することができる。

射と対象は圏の構成要素です。射（写像または矢印とも呼ばれる）は、射の始点と終点と呼ばれる2つの対象を関連付けます。圏の射に対しては、合成と呼ばれる部分演算があり、これは最初の射の終点が2番目の射の始点と等しい場合に定義されます。射の合成は関数合成のように振る舞い（合成が定義されている場合は結合法則が成り立ち、すべての対象に対して恒等射が存在する）、合成の結果は射となります。

射と圏は、現代数学の多くの分野で繰り返し登場する概念である。元々はホモロジー代数と代数トポロジーのために導入されたものであり、グロタンディークのスキーム理論の基礎的なツールの一つである。スキーム理論は代数幾何学を一般化したもので、代数的整数論にも適用される。

カテゴリー​$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は、オブジェクトのクラスと射のクラスの2つのクラスから構成されます。すべての射には、ソース とターゲットという2つのオブジェクトが関連付けられています。射は${\displaystyle f}$から${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$ソースを持つ射である${\displaystyle X}$そしてターゲット${\displaystyle Y}$; 一般的には次のように書かれます${\displaystyle f:X\to Y}$または${\displaystyle X\xrightarrow {f} Y}$後者の形式は可換図式により適している。

多くの一般的なカテゴリでは、オブジェクトは集合（多くの場合、何らかの追加構造を持つ）であり、射はオブジェクトから別のオブジェクトへの関数です。したがって、射のソースとターゲットはしばしばドメインとそれぞれ終域を表す。

射には部分的な二項演算が備わっており、これを合成と呼びます（部分的というのは、合成が必ずしもある圏のすべての射のペアで定義されているわけではないからです）。2 つの射の合成${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$は、ターゲットが${\displaystyle f}$は${\displaystyle g}$、そして、と表記される${\displaystyle g\circ f}$（あるいは単に${\displaystyle gf}$)合成の結果は射であり、${\displaystyle g\circ f}$は${\displaystyle f}$、そしてそのターゲットは${\displaystyle g\circ f}$のターゲットです${\displaystyle g}$この構成は、以下の2つの公理を満たす。

身元

すべてのオブジェクトに対して${\displaystyle X}$射が存在する${\displaystyle \mathrm {id} _{X}:X\to X}$恒等射と呼ばれる${\displaystyle X}$、すべての射に対して${\displaystyle f:A\to B}$我々は持っています${\displaystyle \mathrm {id} _{B}\circ f=f=f\circ \mathrm {id} _{A}}$。

連想性

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$ すべての構成が定義されると、つまりターゲットが${\displaystyle f}$は${\displaystyle g}$、そしてそのターゲットは${\displaystyle g}$は${\displaystyle h}$。

具体的な圏（対象が集合であり、場合によっては追加の構造を持ち、射が構造を保存する関数である圏）の場合、恒等射は単に恒等関数であり、合成は単に通常の関数の合成である。

射の合成は、しばしば可換図式で表されます。例えば、

からのすべての射のコレクション${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$と表記される${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$または単に${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$そして、その間のホームセットを呼んだ。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$.著者の中にはこう書いている人もいる${\displaystyle \mathrm {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$、${\displaystyle \mathrm {Mor} (X,Y)}$または${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$hom-set という用語はやや不適切で、射の集合は集合である必要はありません。${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$すべてのオブジェクトのセットです${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は局所的に小さいと呼ばれます。ホム集合は集合ではない場合もあるため、「ホムクラス」という用語を使うことを好む人もいます。

定義域と終域は、実際には射を決定する情報の一部です。たとえば、射が関数である集合の圏では、2 つの関数は、終域が異なっていても、順序対の集合としては同一である可能性があります。2 つの関数は、圏論の観点からは区別されます。多くの著者は、hom クラスが${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$互いに素であること。実際には、この非連結性が成り立たない場合でも、射に定義域と終域を追加することで（例えば、順序付き三つ組の2番目と3番目の要素として）保証できるため、これは問題になりません。

• 代数学で一般的に扱われる群、環、加群などの代数構造では、射は通常準同型であり、同型、自己同型、自己準同型、全射、単射の概念は、上記で定義したものと同じです。ただし、環の場合、「全射」はしばしば「全射」の同義語とみなされますが、全射ではない環の全射も存在します（例えば、整数を有理数に埋め込む場合など）。
• 位相空間のカテゴリーでは、しばしば次のように表記されます。${\displaystyle \mathbf {Top} }$射は連続関数であり、同型写像は同相写像と呼ばれます。連続な全単射（つまり、集合の同型写像）の中には、同相写像ではないものもあります。
• 滑らかな多様体のカテゴリーでは、射は滑らかな関数であり、同型写像は微分同相写像と呼ばれます。
• 小圏の圏では、射は関手である。
• 関手圏では、射は自然変換である。

その他の例については、圏論を参照してください。

• 正規射
• ゼロ射影

• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、『基礎代数学』第2巻 （第2 版）、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47187-7。
• アダメク、イジー。ヘルリッヒ、ホルスト。ストレッカー、ジョージ E. (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6。現在、無料のオンライン版（4.2MBのPDFファイル）が利用可能です。

• 「形態論」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]