ファンクタ

数学、特に圏論において、関手は圏間の写像です。関手は代数位相幾何学で最初に考えられました。代数位相幾何学では、代数的対象 (基本群など) が位相空間に関連付けられ、これらの代数的対象間の写像が空間間の連続写像に関連付けられます。今日では、関手は現代数学のあらゆる分野でさまざまな圏を関連付けるために使用されています。したがって、圏論が適用される数学のすべての分野で、関手は重要です。

カテゴリーとファンクタという言葉は、数学者がそれぞれ哲学者のアリストテレスとルドルフ・カルナップから借用したものです。 ^[1] カルナップは言語の文脈でファンクタを使用しました。 ^[2]機能語 を参照してください。

CとDをカテゴリとする。CからDへの関手F は[ ^3]

• C内の各オブジェクトを D内のオブジェクトに関連付けます。${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$
• Cの各射を Dの射に関連付け、次の 2 つの条件が満たされる。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$Cのすべてのオブジェクトに対して、${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$Cにおけるすべての射およびに対して。${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

つまり、関数は恒等射と射の合成を保存する必要があります。

数学には、写像を反転したり合成を逆にしたりしない関数で あるような構成が数多くある。そこで、CからDへの反変関数 Fを、

• C内の各オブジェクトをD内のオブジェクトに関連付ける。${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$
• Cの各射をDの射と関連付け、次の 2 つの条件が満たされる。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$Cのすべてのオブジェクトに対して、${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$Cにおけるすべての射およびに対して。${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

関数の分散（合成）^[4]

• 同じ分散を持つ 2 つの関数の合成:
  • ${\displaystyle \mathrm {共変} \circ \mathrm {共変} \to \mathrm {共変} }$
  • ${\displaystyle \mathrm {反変} \circ \mathrm {反変} \to \mathrm {共変} }$
• 反対の分散を持つ 2 つの関数の合成:
  • ${\displaystyle \mathrm {共変} \circ \mathrm {反変} \to \mathrm {反変} }$

反変関数は合成の方向を反転することに注意してください。

通常の関数は、反変関数と区別するために共変関数とも呼ばれます。反変関数は、反対のカテゴリ上の共変関数として定義することもできます。^[5]一部の著者は、すべての式を共変的に記述することを好みます。つまり、 を反変関数と言う代わりに、単に(または) と書いて関数と呼びます。 ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F\colon C\to D}$${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

反変関数はコファンクタとも呼ばれることがある。^[6]

「ベクトル」、つまりベクトル場、接束の切断空間の要素を「反変」と呼び、「共ベクトル」、つまり1 形式、余接束の切断空間の要素を「共変」と呼ぶ慣習があります。この用語は物理学に由来し、その理論的根拠は、の場合や の場合などの式におけるインデックスの位置 (「上階」と「下階」) に関係しています。この形式では、座標変換記号(行列 を表す) が「共ベクトル座標」に対して基底ベクトルの場合と「同じように」作用することが観察されます。一方、座標変換記号は「ベクトル座標」に対しては「逆の方法で」作用します (ただし、基底共ベクトルの場合とは「同じように」作用します: )。この用語は、圏論で使用される用語とは反対です。なぜなら、一般に共ベクトルは引き戻しを持ち、したがって反変であるのに対し、一般にベクトルは押し進めることができるため共変だからです。ベクトルの共変性と反変性も参照してください。 ${\displaystyle \ガンマ (TM)}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle \Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle {x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.}$${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

あらゆる関手は、逆関手を誘導します。ここで、と は、およびの逆カテゴリです。 ^[7]定義により、は、 と同様にオブジェクトと射を写像します。 はカテゴリとしてと一致しないため、 についても同様に、 はと区別されます。たとえば、と合成する場合、または を使用する必要があります。逆カテゴリの特性に従い、であることに注意してください。 ${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$${\displaystyle \left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F}$

双関手（二項関手とも呼ばれる）は、積カテゴリが定義域である関手です。たとえば、Hom 関手はC ^op × C → Set型です。これは2 つの引数を持つ関手と見ることができます。Hom関手は自然な例であり、1 つの引数では反変ですが、もう 1 つの引数では共変です。

マルチファンクタは、ファンクタの概念をn 個の変数に一般化したものです。たとえば、バイファンクタはn = 2のマルチファンクタです。

関数公理の 2 つの重要な結果は次のとおりです。

• F はC内の各可換図をD内の可換図に変換します。
• f がC の同型ならば、F ( f )はDの同型である。

関数を合成することができます。つまり、F がAからBへの関数であり、G がBからCへの関数である場合、 AからCへの合成関数G ∘ F を形成できます。関数の合成は、定義されている場合は結合的です。関数の合成の恒等関数は恒等関数です。これは、関数がカテゴリのカテゴリ、たとえば小さなカテゴリのカテゴリ内の射として考えることができることを示しています。

単一のオブジェクトを持つ小さなカテゴリはモノイドと同じものです。つまり、1 つのオブジェクトのカテゴリの射はモノイドの要素と考えることができ、カテゴリ内の合成はモノイド演算と考えることができます。1 つのオブジェクトのカテゴリ間の関数は、モノイド準同型に対応します。したがって、ある意味では、任意のカテゴリ間の関数は、モノイド準同型を複数のオブジェクトを持つカテゴリに一般化したものの一種です。

図

カテゴリCとJの場合、 Cの型Jの図は共変関数です。${\displaystyle D\colon J\to C}$

(カテゴリ理論的) 前層

カテゴリCとJの場合、C上のJ -前層は反変関数です。${\displaystyle D\colon C\to J}$

J が集合と関数のカテゴリSetである特別な場合、 D はC上の前層と呼ばれます。

前層（位相空間上）

X が位相空間である場合、Xの開集合は包含に関して半順序集合Open ( X ) を形成します。すべての半順序集合と同様に、 Open( X ) は、 の場合にのみ、単一の矢印U → Vを追加することで小さなカテゴリを形成します。 Open( X ) 上の反変関数は、 X上の前層と呼ばれます。たとえば、すべての開集合UにU上の実数値連続関数の結合代数を割り当てると、 X上の代数の前層が得られます。${\displaystyle U\subseteq V}$

定数関数

C → Dは、 CのすべてのオブジェクトをD内の固定されたオブジェクトXにマッピングし、Cのすべての射をX上の恒等射にマッピングします。このような関数は、定数関数または選択関数と呼ばれます。

エンドファンクター

カテゴリを同じカテゴリにマッピングする関数。例:多項式関数。

恒等関数

カテゴリC（ 1 _Cまたは id _Cと表記）では、オブジェクトを自身に、射を自身に写像します。恒等関数は自己関数です。

対角関数

対角関数は、Dから関数カテゴリD ^Cへの関数として定義され、 D内の各オブジェクトをそのオブジェクトの定数関数に渡します。

限界関数

固定インデックスカテゴリ Jについて、すべての関手J → C に極限がある場合(たとえば、Cが完全である場合)、極限関手C ^J → C は各関手にその極限を割り当てます。この関手の存在は、それが対角関手の右随伴であることを認識し、フレイド随伴関手定理を呼び出すことで証明できます。これには、選択公理の適切なバージョンが必要です。同様のことが余極限関手にも当てはまります (これはすべての関手にその余極限を割り当て、共変です)。

べき乗集合関数

冪集合関数P  : Set → Setは、各集合をその冪集合に、各関数をその像に写像する写像に写像する。また、冪集合関数を写像に写像し、写像をその逆像に写像する反変冪集合関数と考えることもできる。${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

たとえば、の場合、 となります。 およびと仮定します。 は、 の任意の部分集合をその像 に送る関数です。この場合、 は を意味し、 はによる写像を表すため、 と書くこともできます。その他の値の場合、は によって上に自明な位相が生成されることに注意してください。また、この例の関数はの冪集合に写像されていますが、一般にはそうである必要はないことにも注意してください。${\displaystyle X=\{0,1\}}$${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$${\displaystyle f(0)=\{\}}$${\displaystyle f(1)=X}$${\displaystyle F(f)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle F(f)}$${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\ }$ ${\displaystyle \{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\ }$ ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$${\displaystyle f(\{0,1\})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

双対ベクトル空間

すべてのベクトル空間にその双対空間を割り当て、すべての線型写像にその双対または転置を割り当てる写像は、固定体上のすべてのベクトル空間のカテゴリからそれ自体への反変関手です。

基本グループ

尖端位相空間、つまり区別された点を持つ位相空間のカテゴリを考えます。対象は( X、x ₀ )のペアです。ここで、Xは位相空間で、x _0はX内の点です。( X、x ₀ )から( Y、y ₀ )への射は、連続写像f  : X → Yでf ( x ₀ ) = y ₀として与えられます。

特定の点x ₀を持つすべての位相空間Xに対して、 x ₀を基底とする基本群π ₁ ( X , x ₀ )を定義できます。これは、x ₀を基底とするループのホモトピー類の群であり、群演算は連結です。f  : X → Yが尖った空間の射である場合、基点x _0を持つXのすべてのループは、fと合成して、基点y _0を持つYのループを生成できます。この演算は、ホモトピー同値関係およびループの合成と互換性があり、π( X , x ₀ )からπ( Y , y ₀ )への群準同型を取得します。したがって、尖った位相空間のカテゴリから群のカテゴリへの関数を取得します。

位相空間（区別された点がない）のカテゴリでは、一般的な曲線のホモトピー類を考慮しますが、それらは端点を共有しない限り合成できません。したがって、基本群の代わりに基本群があり、この構成は関数的です。

連続関数の代数

位相空間（連続写像を射とする）のカテゴリから実結合代数のカテゴリへの反変関手は、あらゆる位相空間Xにその空間上のすべての実数値連続関数の代数 C( X )を割り当てることによって与えられる。あらゆる連続写像f  : X → Y は、C( Y )のすべてのφに対してC( f )( φ ) = φ ∘ fという規則によって、代数準同型C( f ) : C( Y ) → C( X )を誘導する。

接線束と余接束

すべての微分可能多様体をその接束に、すべての滑らかな写像をその導関数に写す写像は、微分可能多様体のカテゴリからベクトル束のカテゴリへの共変関手です。

この構成を点ごとに行うと、尖った微分可能多様体のカテゴリから実ベクトル空間のカテゴリへの共変関数である接空間が得られます。同様に、余接空間は反変関数であり、本質的には接空間と上記の双対空間の合成です。

グループアクション/表現

すべてのグループ Gは、その射がGの要素である単一のオブジェクトを持つカテゴリと見なすことができます。 GからSetへの関数は、特定のセット、つまり G 集合に対するGのグループ作用に他なりません。同様に、 Gからベクトル空間のカテゴリVect K への_関数は、 Gの線形表現です。一般に、関数G → C は、カテゴリC内のオブジェクトに対するGの「作用」と見なすことができます。C がグループである場合、この作用はグループ準同型です。

リー代数

すべての実（複素）リー群にその実（複素）リー代数を割り当てると、関数が定義されます。

テンソル積

Cが固定体上のベクトル空間のカテゴリを表し、線型写像を射として持つ場合、テンソル積は 両方の引数で共変な関数C × C → Cを定義します。^[8]${\displaystyle V\otimes W}$

忘却関数

関数U  : Grp → Setは、群をその基となる集合に、群準同型をその基となる集合関数に写像する関数である。 ^[9] このような、何らかの構造を「忘れる」関数は忘却関数と呼ばれる。別の例としては、環をその基となる加法アーベル群に写像する関数Rng → Abがある。Rng の射影(環準同型) はAbの射影(アーベル群準同型)になる。

自由関数

忘却関数の反対方向に進むのが自由関数です。自由関数F  : Set → Grp は、すべての集合X をXによって生成された自由群に送ります。関数は自由群間の群準同型にマッピングされます。構造化された集合に基づく多くのカテゴリに対して自由構築が存在します。自由オブジェクトを参照してください。

準同型群

アーベル群のすべてのペアA、Bに、 AからBへのすべての群準同型からなるアーベル群 Hom( A、B ) を割り当てることができます。これは、最初の引数で反変で、2番目の引数で共変である関数です。つまり、関数Ab ^op × Ab → Abです(ここでAb は群準同型を持つアーベル群のカテゴリを表します)。 f  : A ₁ → A ₂とg  : B ₁ → B ₂がAbの射である場合、群準同型Hom( f、g ) : Hom( A ₂、B ₁ ) → Hom( A ₁、B ₂ )はφ ↦ g ∘ φ ∘ fで与えられます。Hom関数を参照してください。

表現可能な関数

前の例を任意のカテゴリCに一般化できます。 C内のオブジェクトのすべてのペアX、Yに、 XからYへの射の集合Hom( X、Y )を割り当てることができます。これにより、最初の引数で反変で、2番目の引数で共変であるSetへの関数が定義されます。つまり、関数C ^op × C → Setです。f  : X ₁ → X ₂とg  : Y ₁ → Y ₂がC内の射である場合、写像Hom( f、g ) : Hom( X ₂、Y ₁ ) → Hom( X ₁、Y ₂ )はφ ↦ g ∘ φ ∘ fで与えられます。

このような関数は表現可能な関数と呼ばれます。多くの設定において重要な目標は、特定の関数が表現可能かどうかを判断することです。

CとD をカテゴリとします。C からDまでのすべての関数の集合は、カテゴリのオブジェクト、つまり関数カテゴリを形成します。このカテゴリの射は、関数間の自然な変換です。

関数は、多くの場合、普遍的な性質によって定義されます。例としては、テンソル積、群またはベクトル空間の直和と直積、自由群と自由加群の構成、直極限と逆極限などがあります。極限と余極限の概念は、上記のいくつかを一般化します。

普遍的な構成は、しばしば随伴関数のペアを生み出します。

関数型プログラミングでは、関数型が時々登場します。例えば、プログラミング言語Haskellには、既存の型間の 関数（Haskellの型のカテゴリであるHask上の射）Functor[ 10 ]を^新しい型間の関数にマッピングするために使用される多型関数であるクラスfmapがあります。^[11]

• アナファンクター
• プロファンクター
• 関数カテゴリ
• カン拡張
• 擬似関数

• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数、第2巻（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47187-7。
• シモンズ、ハロルド (2011)、「関数と自然変換」、カテゴリー理論入門、pp. 72–107、doi :10.1017/CBO9780511863226.004、ISBN 978-1-107-01087-1

無料辞書のウィクショナリーでfunctorを調べてください。

• 「関数子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• n Labの functorと、そこで議論されリンクされているバリエーションを参照してください。
• André Joyal、カテゴリカル数学の解説に特化したウィキプロジェクト、CatLab
• Hillman, Chris (2001). 「カテゴリカル入門」. CiteSeerX  10.1.1.24.3264 . 1997-05-03 のオリジナルからアーカイブ。
• J. アダメック、H. ヘルリッヒ、G. ステッカー、「抽象的カテゴリーと具体的カテゴリー - 猫の喜び」は 2015-04-21 にWayback Machineにアーカイブされています
• スタンフォード哲学百科事典：「カテゴリー理論」— ジャン＝ピエール・マルキス著。豊富な参考文献。
• 圏論に関する学術会議一覧
• Baez, John、1996、「n カテゴリーの物語」。高階カテゴリーの非公式な入門書。
• WildCats は、Mathematica用のカテゴリ理論パッケージです。オブジェクト、射、カテゴリ、関数、自然変換、普遍特性の操作と視覚化を行います。
• The catsters は、カテゴリー理論に関する YouTube チャンネルです。
• 物理学のカテゴリー、論理、基礎に関連する録画された講演のビデオ アーカイブ。
• 有限集合のカテゴリにおけるカテゴリ構成の例を生成するインタラクティブな Web ページ。