シンプルなリング

数学の一分野である抽象代数学において、単純環とは、零イデアルとそれ自身以外に両面イデアルを持たない非零環である。特に、可換環が単純環となるのは、それが体である場合のみである。

単純環の中心は必然的に体である。従って、単純環はこの体上の結合的代数である。したがって、それはこの体上の 単純代数と呼ばれる。

いくつかの文献（例えば、Lang (2002) または Bourbaki (2012)）では、単純環が左または右アルティン環（または同等の半単純環）であることも要求しています。このような用語では、非自明な両側イデアルを持たない非ゼロ環は準単純環と呼ばれます。

環として単純だが、それ自身上の単純加群ではない環も存在します。体上の完全な行列環には、非自明な両側イデアルはありません ( の任意のイデアルは のイデアルを持つ形式であるため)。ただし、非自明な左イデアルはあります (たとえば、いくつかの固定されたゼロ列を持つ行列の集合)。 ${\displaystyle M_{n}(R)}$${\displaystyle M_{n}(I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

単純環の直接的な例としては、すべての非ゼロ元に乗法逆元（たとえば四元数）がある除算環が挙げられます。また、任意の に対して、除算環の要素を持つ行列の代数は単純です。 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n\times n}$

ジョセフ・ウェダーバーンは、環が体 上の有限次元単純代数である場合、上の何らかの除算代数上の行列代数と同型であることを証明しました。特に、実数上の有限次元代数である単純環は、実数、複素数、または四元数上の行列の環だけです。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

ウェダーバーンは、1907 年にロンドン数学会の紀要に掲載された博士論文「超複素数について」でこれらの結果を証明しました。彼の論文では、体上の有限次元単純代数と半単純代数を分類しました。単純代数は半単純代数の基本単位です。つまり、有限次元半単純代数は、代数の意味で、有限次元単純代数の直積です。

用語には注意が必要です。すべての単純環が半単純環であるわけではなく、すべての単純代数が半単純代数であるわけではありません。ただし、すべての有限次元単純代数は半単純代数であり、左または右アルチニアンであるすべての単純環は半単純環です。

半単純ではない単純環の例としては、ワイル代数がある。ワイル代数は、その中心上の除算代数上の行列代数ではない単純代数の例でもある。ワイル代数は無限次元なので、ウェダーバーンの定理は適用されない。

ウェダーバーンの結果は、後にウェダーバーン-アルティンの定理で半単純環に一般化されました。これは、すべての半単純環は、分割環上の行列環の有限積であると述べています。この一般化の結果として、左または右アルティンであるすべての単純環は、分割環上の行列環です。

を実数体、を複素数体、四元数を とします。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

• 中心単純代数（Brauer代数と呼ばれることもある）は、中心がである体 上の単純な有限次元代数です。${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$
• 上の任意の有限次元単純代数は、、またはを要素とする行列の代数に同型です。上の任意の中心単純代数は、またはを要素とする行列の代数に同型です。これらの結果はフロベニウスの定理から得られます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$
• 上の任意の有限次元単純代数は中心単純代数であり、 上の行列環に同型です。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 有限体上のすべての有限次元中心単純代数は、その体上の行列環に同型です。
• 体上の無限次元ベクトル空間のすべての線型変換の代数は、半単純環ではない単純環です。また、半単純代数ではない上の単純代数でもあります。${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• シンプル（代数）
• 単純代数（普遍代数）

• アルバート、AA (2003)。代数の構造。コロキウム出版物。第24巻。アメリカ数学会。p.37。ISBN 0-8218-1024-3。
• ブルバキ、ニコラ(2012)、Algèbre Ch. 8 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-35315-7
• Nicholson, William K. (1993). 「ウェダーバーン-アルティン定理の簡単な証明」(PDF) .ニュージーランド数学誌22 : 83–86.
• ヘンダーソン、 DW (1965)。「ウェダーバーンの定理の簡単な証明」。アメリカ数学月刊誌72 :385-386。doi :10.2307/2313499。
• ラム、ツィットユエン（2001）、非可換環入門（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4419-8616-0、ISBN 978-0-387-95325-0、MR  1838439
• Lang、Serge (2002)、Algebra (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0387953854
• ジェイコブソン、ネイサン（1989）、Basic Algebra II（第2版）、WH Freeman、ISBN 978-0-7167-1933-5