局所コンパクトグループ

数学において、局所コンパクト群とは、基礎となる位相が局所コンパクトでハウスドルフである位相群 Gのことである。局所コンパクト群が重要なのは、数学全体で現れる群の例の多くが局所コンパクトであり、そのような群はハール測度と呼ばれる自然な測度を持つからである。これにより、 G上のボレル可測関数の積分を定義でき、フーリエ変換や空間などの標準的な解析概念を一般化できる。 ${\displaystyle L^{p}}$

有限群 表現論の結果の多くは、群の平均化によって証明されます。コンパクト群の場合、これらの証明の修正により、正規化されたハール積分について平均化することで同様の結果が得られます。一般的な局所コンパクトな設定では、このような手法は必ずしも有効ではありません。結果として得られる理論は、調和解析の中心的部分です。局所コンパクトなアーベル群の表現論は、ポントリャーギン双対性によって記述されます。

• 任意のコンパクト群は局所コンパクトです。
  • 特に、乗法の下で単位係数の複素数の円群Tはコンパクトであり、したがって局所コンパクトです。円群は歴史的に、局所コンパクト性の特性も持つ最初の位相的に非自明な群として機能し、そのため、ここで提示されるより一般的な理論の探求の動機となりました。
• 任意の離散群は局所コンパクトです。したがって、任意の群に離散位相を与えることができるため、局所コンパクト群の理論は通常群の理論を包含します。
• 局所ユークリッドであるリー群はすべて局所コンパクト群です。
• ハウスドルフ位相ベクトル空間が局所コンパクトとなるのは、それが有限次元である場合のみです。
• 有理数 Qの加法群は、実数のサブセットとして相対位相が与えられた場合、局所コンパクトではありません。離散位相が与えられた場合、局所コンパクトです。
• p進数 の加法群Q _{p は、}任意の素数 pに対して局所コンパクトです。

同次性により、位相群の基礎となる空間の局所コンパクト性は恒等元でのみ確認すればよい。つまり、群Gが局所コンパクト空間となるのは、恒等元がコンパクト 近傍を持つ場合のみである。したがって、あらゆる点にコンパクト近傍の 局所基底が存在することになる。

局所コンパクト群のすべての閉じた 部分群は、局所コンパクトです。(有理数群が示すように、閉包条件は必須です。) 逆に、ハウスドルフ群のすべての局所コンパクト部分群は閉じています。局所コンパクト群のすべての商は局所コンパクトです。局所コンパクト群の族の積は、有限個の因子を除くすべての因子が実際にコンパクトである場合に限り、局所コンパクトです。

位相群は位相空間として常に完全に正則です。局所コンパクト群は正規であるというより強い性質を持ちます。

第一可算であるすべての局所コンパクト群は、位相群として計量可能（つまり、位相と両立する左不変計量を与えることができる）であり、完全です。さらに、空間が第二可算である場合、計量は適切になるように選択できます。（位相群に関する記事を参照してください。）

ポーランド群 Gにおいて、ハール零集合のσ代数は、Gが局所コンパクトである場合にのみ可算連鎖条件を満たす。^[1]

任意の局所コンパクトアーベル群（LCA群）Aに対して、連続準同型群

ホム( A , S1 ⁾

Aから円群への関数は再び局所コンパクトである。ポントリャーギン双対性は、この関数がカテゴリの同値性を誘導することを主張する。

LCA ^op → LCA。

この関手は位相群のいくつかの特性を交換します。たとえば、有限群は有限群に対応し、コンパクト群は離散群に対応し、距離可能群はコンパクト群の可算和に対応します (すべてのステートメントで逆も同様です)。

LCA群は厳密なカテゴリを形成し、許容単射は閉部分群であり、許容エピモーフィズムは位相商写像である。したがって、このカテゴリのK理論 スペクトルを考慮することが可能である。Clausen（2017）は、ホモトピーファイバーシーケンスが存在するという意味で、 ZとR（それぞれ整数と実数）の代数K理論の違いを測定することを示した。

K( Z ) → K( R ) → K(LCA)。

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