分数の体

抽象代数学において、整数領域の分数体とは、その整数領域を埋め込むことができる最小の体である。分数体の構成は、整数の整数領域と有理数の体との関係をモデルとしている。直感的には、分数体は整数領域の要素間の比から構成される。

整数領域の分数体${\displaystyle R}$は、${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$または$引用（R）$、また、この構成は、分数体、商体、または商体とも呼ばれることがあります。${\displaystyle R}$これら4つはすべて一般的に用いられていますが、環をイデアルで割った商環と混同してはいけません。これは全く異なる概念です。整域ではない可換環の場合、これに相当する構成は局所化環または商環と呼ばれます。

積分領域が与えられた場合${\displaystyle R}$そして${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\}}$、上で同値関係を定義する$\displaystyle R\times R^{*}}$許可することによって${\displaystyle (n,d)\sim (m,b)}$いつでも${\displaystyle nb=md}$の同値類を と表す。${\displaystyle (n,d)}$による${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$この等価性の概念は、有理数に由来する。${\displaystyle \mathbb {Q} }$基となる環に関して同じ性質を持つ${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の。

すると、分数の体は次の集合になります。${\displaystyle {\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim }$追加により

${\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}}$

乗算は次のように表されます。

$\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.}$

これらの演算が適切に定義されており、任意の積分領域に対して${\displaystyle R}$、${\displaystyle {\text{Frac}}(R)}$確かに分野である。特に、${\displaystyle n,d\neq 0}$の乗法逆元${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$予想通りです。$\displaystyle {\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1}$。

埋め込み${\displaystyle R}$で${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$各地図${\displaystyle n}$で${\displaystyle R}$分数に${\displaystyle {\frac {en}{e}}}$ゼロ以外の任意の${\displaystyle e\in R}$（同値類は選択に依存しない）${\displaystyle e}$これは、恒等式に基づいてモデル化されています。${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$。

分数の場${\displaystyle R}$以下の普遍的な性質によって特徴づけられる。

もし${\displaystyle h:R\to F}$は、​​${\displaystyle R}$畑へ${\displaystyle F}$すると、一意の環準同型が存在する。${\displaystyle g:\operatorname {Frac} (R)\to F}$拡張する${\displaystyle h}$。

この構成にはカテゴリー的な解釈がある。${\displaystyle \mathbf {C} }$整域と単射環写像の圏とする。${\displaystyle \mathbf {C} }$全ての整域をその分数体へ、全ての準同型を体上の誘導写像（普遍性によって存在する）へ変換する体の圏への変換は、体の圏から体への包含関手の左随伴である。${\displaystyle \mathbf {C} }$したがって、フィールドのカテゴリ（完全なサブカテゴリ）は、${\displaystyle \mathbf {C} }$。

積分領域の役割には乗法的な恒等式は必要ありません。この構成は、任意の非ゼロの可換な乱数に適用できます。${\displaystyle R}$非ゼロの零因子を持たない。埋め込みは次のように与えられる。${\displaystyle r\mapsto {\frac {rs}{s}}}$ゼロ以外の任意の${\displaystyle s\in R}$[ ^{1 ]​}

• 整数環の分数体は有理数体である。${\displaystyle \mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )}$。
• させて${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$をガウス整数の環とする。すると${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}}$ガウス有理数の領域。
• 体の分数体は、その体自体と正準的に同型である。
• 任意の体kに対して、1 変数多項式環の分数体${\displaystyle k[t]}$は有理関数場${\displaystyle k(t)}$[ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]​}
• 任意の体kに対して、形式的冪級数環の分数体${\displaystyle k[\![t]\!]}$形式的ローラン級数の領域は${\displaystyle k(\!(t)\!)}$。
• 半直線関数の畳み込み環の分数体は、ディラックのデルタ関数、微分演算子、積分演算子を含む演算子の空間を生み出す。この構成は、積分変換に明示的に依存しないラプラス変換の別の表現を与える。^{[ 6 ]}

• 鉱石条件；非可換の場合の分数の構成に関連する条件。
• 分数環の総数