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数学 において 、 単射関数（ 単射関数 、あるいは 一対一関数 [1] とも呼ばれる ）は、その定義域の 異なる 要素を異なる要素に写像する 関数 f である。つまり、 x 1 ≠ x 2 であれば、 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) となる。（同様に、 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) であれば、 同値な 逆説命題において x 1 = x 2 となる。）言い換えれば、関数の 共線域 のすべての要素は、その 定義域の 多くとも 1 つの要素の 像 である 。 [2] 一対一関数 という用語は、 共線関数 を指す 一対一対応 と混同してはならない。一対一対応 とは、共線域の各要素が定義域のちょうど 1 つの要素の像であるような関数である。
代数構造 間の 準 同型性は 、構造の演算と互換性のある関数です。すべての一般的な代数構造、特に ベクトル空間 では、 入射準同型は 単射 とも呼ばれます。ただし、より一般的な 圏論 の文脈では 、単射の定義は入射準同型の定義とは異なります。 [3] したがって、これらは代数構造に対して同値であるという定理になります。 詳細については、
準同型性 § 単射を参照してください。
単射でない関数 は多対一関数と呼ばれることもあります。 [2]
f
{\displaystyle f}
意味 単射関数だが、全射 でもない 。 が定義域が集合である関数であると します。 関数は、すべての に対して で ある 場合 にが 成り立つことを条件に、 単射的 であるといわれます 。つまり、 が成り立ちます。同様に、 逆否定 命題
において で ある 場合に が 成り立ちます。
f
{\displaystyle f}
X
.
{\displaystyle X.}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
X
,
{\displaystyle X,}
f
(
a
)
=
f
(
b
)
,
{\displaystyle f(a)=f(b),}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
a
=
b
.
{\displaystyle a=b.}
a
≠
b
,
{\displaystyle a\neq b,}
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\neq f(b)}
記号的に、これは論理的には 逆説
と同値である 。 [4]
∀
a
,
b
∈
X
,
f
(
a
)
=
f
(
b
)
⇒
a
=
b
,
{\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}
∀
a
,
b
∈
X
,
a
≠
b
⇒
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
.
{\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}
例 視覚的な例については、ギャラリー セクションを参照してください。
任意の集合 および任意の部分集合に対して、 包含写像 ( 任意の要素を それ自身に送る写像) は単射です。特に、 恒等関数は 常に単射です (実際は単射です)。
X
{\displaystyle X}
S
⊆
X
,
{\displaystyle S\subseteq X,}
S
→
X
{\displaystyle S\to X}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
X
→
X
{\displaystyle X\to X}
関数の定義域が 空集合 である場合、その関数は 空関数 であり、単射です。 関数の定義域に要素が 1 つある場合 (つまり、 単集合 である場合)、その関数は常に単射です。 によって定義される 関数は 単射です。
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
2
x
+
1
{\displaystyle f(x)=2x+1}
によって定義される 関数は 、(たとえば) であるため単射で は ありません 。ただし、 が定義域が非負の実数 [0,+∞) になるように再定義されると、 は 単射になります。
g
:
R
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
g
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle g(x)=x^{2}}
g
(
1
)
=
1
=
g
(
−
1
)
.
{\displaystyle g(1)=1=g(-1).}
g
{\displaystyle g}
g
{\displaystyle g}
によって定義される 指数 関数 は単射です (ただし、実数値が負の数にマッピングされないため、単射ではありません)。
exp
:
R
→
R
{\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
exp
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle \exp(x)=e^{x}}
によって定義される 自然対数 関数 は 単射です。
ln
:
(
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }
x
↦
ln
x
{\displaystyle x\mapsto \ln x}
によって定義される 関数は 単射ではない。例えば、
g
:
R
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
g
(
x
)
=
x
n
−
x
{\displaystyle g(x)=x^{n}-x}
g
(
0
)
=
g
(
1
)
=
0.
{\displaystyle g(0)=g(1)=0.}
より一般的には、 とが両方とも 実数直線 である場合 、入射関数とは、 そのグラフがどの水平線とも2回以上交差しない関数のことである。この原理は、 水平線テスト と呼ばれる。 [2]
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
注射は取り消せる 左逆関数 は 常に単射である。つまり、 任意の に対して となる 関数が存在する場合 、 は 単射である。この場合、は の 引き込み と呼ばれる。 逆に、 は の 切断 と呼ばれる。
f
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f:X\to Y,}
g
:
Y
→
X
{\displaystyle g:Y\to X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
.
{\displaystyle f.}
f
{\displaystyle f}
g
.
{\displaystyle g.}
逆に、空でない定義域を持つ すべての射影には左逆が存在する。これは、 定義域内の 要素を選択し 、 （空でない場合） 前像の一意の要素を に設定し、 （そうでない場合）を に設定することによって定義できる。 [5]
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
g
(
y
)
{\displaystyle g(y)}
f
−
1
[
y
]
{\displaystyle f^{-1}[y]}
a
{\displaystyle a}
左逆は必ずしも の 逆 で あるとは限りません。これは、 他の順序での合成が の恒等式と異なる場合があるためです。言い換えると、単射関数は左逆によって「逆転」できますが、必ずしも が 可逆である わけではなく 、そのためには関数が全単射である必要があります。
g
{\displaystyle g}
f
,
{\displaystyle f,}
f
∘
g
,
{\displaystyle f\circ g,}
Y
.
{\displaystyle Y.}
注射は可逆的に行うことができる 実際、単射関数を 単射関数（したがって可逆関数）にするには、その共役領域を その実像で置き換えるだけで十分である。 つまり、 すべての に対して となるようなとする と、 は単射となる。実際、は として因数分解でき、 は から へ の 包含関数 である。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
Y
{\displaystyle Y}
J
=
f
(
X
)
.
{\displaystyle J=f(X).}
g
:
X
→
J
{\displaystyle g:X\to J}
g
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle g(x)=f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
In
J
,
Y
∘
g
,
{\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g,}
In
J
,
Y
{\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}
J
{\displaystyle J}
Y
.
{\displaystyle Y.}
より一般的には、単射 部分関数は 部分全単射 と呼ばれます 。
その他のプロパティ 2 つの単射関数の合成は単射です。 と が 両方とも単射である 場合、 は単射です。
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
が単射である場合 、 は単射です (ただし、必ずしも そうである必要はありません)。
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
が単射であるためには、任意の関数が与えられたとき、 となる必要が あります 。 言い換えれば、単射関数は、まさに集合の カテゴリ Set における 単射 です。
g
,
{\displaystyle g,}
h
:
W
→
X
{\displaystyle h:W\to X}
f
∘
g
=
f
∘
h
,
{\displaystyle f\circ g=f\circ h,}
g
=
h
.
{\displaystyle g=h.}
が単射で が の 部分集合 である 場合 、 したがって、その イメージ から回復できる。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
A
{\displaystyle A}
X
,
{\displaystyle X,}
f
−
1
(
f
(
A
)
)
=
A
.
{\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}
A
{\displaystyle A}
f
(
A
)
.
{\displaystyle f(A).}
が単射であり、 かつが 両方 とも の部分集合である 場合、
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
X
,
{\displaystyle X,}
f
(
A
∩
B
)
=
f
(
A
)
∩
f
(
B
)
.
{\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}
あらゆる関数は、 適切な単射 と全射について として分解できます。 この分解は 同型 を除いて 一意であり、 の 余域の部分集合として の値域の 包含 関数 として考えることができます。
h
:
W
→
Y
{\displaystyle h:W\to Y}
h
=
f
∘
g
{\displaystyle h=f\circ g}
f
{\displaystyle f}
g
.
{\displaystyle g.}
f
{\displaystyle f}
h
(
W
)
{\displaystyle h(W)}
h
{\displaystyle h}
Y
{\displaystyle Y}
h
.
{\displaystyle h.}
が単射関数である 場合、 には 少なくとも 基数 の意味での元と同じ数の元があります 。特に、さらに から への単射がある場合 、 と は 同じ基数を持ちます。(これは カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理 として知られています。)
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
Y
{\displaystyle Y}
X
,
{\displaystyle X,}
Y
{\displaystyle Y}
X
,
{\displaystyle X,}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
と の両方が 同じ数の要素を持つ 有限で ある 場合、 が単射である 場合に限り、 は単射です (この場合 は 全単射です)。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
2 つの代数構造間の準同型である入射関数は 埋め込み です。 関数のグラフとその余域の関係である全射性とは違い、単射性は関数のグラフのみの性質である。つまり、関数 が単射であるかどうかは、関数の余域ではなくグラフのみを考慮することで決定できる。
f
{\displaystyle f}
f
.
{\displaystyle f.}
関数が単射であることを証明する 関数 が単射であることの証明は、関数がどのように表現され、どのような性質を持っているかに依存する。何らかの式で与えられた関数については、基本的な考え方がある。単射性の定義、すなわち [ 6]
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
,
{\displaystyle f(x)=f(y),}
x
=
y
.
{\displaystyle x=y.}
次に例を示します。
f
(
x
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=2x+3}
証明: と 仮定すると、 が 成り立ち、 が成り立ちます。 したがって、定義から は 単射であることが分かります。
f
:
X
→
Y
.
{\displaystyle f:X\to Y.}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
.
{\displaystyle f(x)=f(y).}
2
x
+
3
=
2
y
+
3
{\displaystyle 2x+3=2y+3}
2
x
=
2
y
,
{\displaystyle 2x=2y,}
x
=
y
.
{\displaystyle x=y.}
f
{\displaystyle f}
関数が単射であることを証明する方法は他にも複数あります。たとえば、微積分学では、 が ある区間で定義された微分可能関数である場合、その区間で導関数が常に正か常に負であることを示すだけで十分です。線型代数では、 が 線形変換である場合、 の核には ゼロベクトルのみが含まれていることを示すだけで十分です。 が 有限領域を持つ関数である場合、各領域要素の像のリストを調べ、リストに像が 2 回出現しないことを確認するだけで十分です。
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
実変数の 実数値関数に対するグラフィカルなアプローチは、 水平線テスト です 。すべての水平線が の曲線 と最大 1 点で交差する場合、 は 単射または 1 対 1 です。
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
{\displaystyle f}
ギャラリー
単射 非全射関数（単射であり、全単射ではない ）
単射 関数 （全単射）
非単射な全射関数（全単射ではなく全射）
非単射かつ非全射な関数（単射でもない）
は単射関数ではありません。ここで 、 と は のサブセットであり 、 は のサブセットです 。2つの領域では、関数は単射ではありません。これは、1つ以上のドメイン 要素が1つの範囲要素にマップできるためです。つまり、 の複数の 要素が 同じ にマップされる 可能性があります 。
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
,
Y
1
{\displaystyle X,Y_{1}}
Y
2
{\displaystyle Y_{2}}
Y
{\displaystyle Y}
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
y
{\displaystyle y}
Y
.
{\displaystyle Y.}
関数を単射にする。前の関数は、 1 つ以上の単射関数 (たとえば) に簡約でき 、 実線で示されます (最初の曲線の長い破線部分は、もはや にはマッピングされません)。ルールは 変更されておらず、ドメインと値域のみが変更されていることに注意してください。 とは のサブセットであり 、 は のサブセットです 。2 つの領域では、最初の関数を単射にして、1 つのドメイン要素を 1 つの値域要素にマッピングできます。つまり、 の 1 つだけが の 1 つにマッピングされ ます。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
:
X
1
→
Y
1
{\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}
f
:
X
2
→
Y
2
,
{\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}
f
{\displaystyle f}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
,
Y
1
{\displaystyle X,Y_{1}}
Y
2
{\displaystyle Y_{2}}
Y
{\displaystyle Y}
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
y
{\displaystyle y}
Y
.
{\displaystyle Y.}
単射関数。 直交平面 における図式的解釈は、 関数の定義域 、 関数 の値域 、および の像を表す 写像 によって定義される。 内の 各 1 つは、 内の 1 つの一意の 1 つに写像される。軸の丸で囲まれた部分 は 、上記の標準図に従って、定義域と値域の集合を表す。
f
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f:X\to Y,}
y
=
f
(
x
)
,
{\displaystyle y=f(x),}
X
=
{\displaystyle X=}
Y
=
{\displaystyle Y=}
im
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {im} (f)}
f
.
{\displaystyle f.}
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
y
{\displaystyle y}
Y
.
{\displaystyle Y.}
参照
注記
^ インドの数学教育では、 1対1関数が使われる こともあります。 「第1章：関係と関数」 （PDF） 。 2023年12月26日時点のオリジナルより アーカイブ （PDF） – NCERT経由。 ^ abc 「Injective, Surjective and Bijective」。Math is Fun 。 2019年12月7日 閲覧。 ^ 「セクション 7.3 (00V5): 前束の入射写像と射影写像」。Stacks プロジェクト 。2019 年 12 月 7 日 閲覧 。 ^ Farlow, SJ 「セクション4.2 単射、全射、全単射」 （PDF） 。 数学と統計 - メイン大学 。 2019年12月7日時点の オリジナル （PDF）からアーカイブ。 2019年12月6日 閲覧 。 ^ すべての全射関数には右逆関数が存在するという対応する命題とは異なり、 定義域が空でないことから が 存在することが暗示されるため、これは 選択公理を必要としない。しかし、この命題は 構成的数学 などのあまり一般的でない数学では成り立たない可能性がある。構成的数学では、2 元集合を実数に含めることは左逆関数を持つことができない。これは 、実数直線を集合 {0,1} に 引き戻す ことで、 分解不可能性 に違反するからである。
a
{\displaystyle a}
{
0
,
1
}
→
R
{\displaystyle \{0,1\}\to \mathbb {R} }
^ Williams, Peter (1996年8月21日). 「Proving Functions One-to-One」. CSU San Bernardino 数学部 参考文献ページ . 2017年6月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。
参考文献
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、 Injectivity に関連するメディアがあります 。
無料辞書のウィクショナリーで 「injective」 を調べてください。
数学用語の最も古い使用法: 単射、全射、全単射の項目には、単射と関連用語の歴史が記載されています。 カーン アカデミー – 射影関数と単射関数: 射影関数と単射関数の紹介
![{\displaystyle f^{-1}[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ffa43f26ddc0c27fedee54ea4051661d56fa21)
単射関数（全単射）
非単射な全射関数（全単射ではなく全射）
非単射かつ非全射な関数（単射でもない）
は単射関数ではありません。ここで、 と はのサブセットであり、は のサブセットです。2つの領域では、関数は単射ではありません。これは、1つ以上のドメイン要素が1つの範囲要素にマップできるためです。つまり、の複数の要素が同じにマップされる可能性があります。
関数を単射にする。前の関数は、1 つ以上の単射関数 (たとえば) に簡約でき、実線で示されます (最初の曲線の長い破線部分は、もはや にはマッピングされません)。ルールは変更されておらず、ドメインと値域のみが変更されていることに注意してください。とはのサブセットであり、は のサブセットです。2 つの領域では、最初の関数を単射にして、1 つのドメイン要素を 1 つの値域要素にマッピングできます。つまり、の 1 つだけが の1 つにマッピングされます。
