逆要素

部分演算は、次の場合に結合法則を満たす。

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z}$

等式のいずれかの要素が定義されているXのすべてのx、y、zに対して、等式は、等式のもう一方の要素も定義されている必要があることを意味します。

非結合法則の例としては、任意のサイズの行列の乗算や関数の合成などが挙げられる。

させて${\displaystyle *}$集合X上の部分結合法則を満たす演算である可能性がある。

単位元、または単に単位元とは、次の条件を満たす要素eのことである。

${\displaystyle x*e=x\quad {\text{および}}\quad e*y=y}$

等式の左辺が定義されているすべてのxとyに対して。

eとfが2つの単位元である場合、${\displaystyle e*f}$が定義されると、${\displaystyle e=f.}$これは定義からすぐに得られる結果です。${\displaystyle e=e*f=f.}$）

したがって、全演算には最大で１つの単位元があり、eとfが異なる単位元である場合、${\displaystyle e*f}$定義されていません。

例えば、行列の乗算の場合、すべての正の整数nに対してn × nの単位行列が 1 つ存在し、サイズの異なる 2 つの単位行列を乗算することはできません。

同様に、恒等関数は関数合成における恒等要素であり、2つの異なる集合の恒等関数の合成は定義されていない。

もし${\displaystyle x*y=e,}$ ここで、 eは単位元であり、xはyの左逆元であり、yはxの右逆元であると言う。

演算が全結合法則を満たす場合でも、左逆元と右逆元が常に存在するとは限りません。例えば、加算は非負整数に対する全結合法則を満たす演算であり、加法単位元は0で、加法逆元を持つ要素は0のみです。このような逆元の欠如こそが、自然数を整数に拡張する主な動機となっています。

演算が全演算かつ結合法則を満たす場合でも、要素は複数の左逆元と複数の右逆元を持つことができます。たとえば、整数から整数への関数を考えてみましょう。倍化関数${\displaystyle x\mapsto 2x}$関数合成の下では、無限に多くの左逆関数が存在します。これは偶数を2で割り、奇数には任意の値を与える関数です。同様に、nをいずれかの値にマッピングするすべての関数は、${\displaystyle 2n}$または${\displaystyle 2n+1}$は関数の右逆関数です${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$nを にマッピングする床関数${\textstyle {\frac {n}{2}}}$または${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$nが偶数か奇数かによって異なります。

より一般的に言えば、関数が関数合成に対して左逆関数を持つのは、それが単射である場合に限る。また、右逆関数を持つのは、それが全射である場合に限る。

圏論では、右逆元はセクションとも呼ばれ、左逆元はリトラクションとも呼ばれる。

ある要素が演算に関して可逆であるとは、その要素が左逆元と右逆元を持つ場合をいう。

演算が結合法則を満たす一般的な場合、要素の左逆元と右逆元は等しく一意です。実際、lとr がそれぞれxの左逆元と右逆元である場合、

${\displaystyle l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.}$

可逆要素の逆元とは、その要素の唯一の左逆元または右逆元のことである。

演算が加算として表される場合、要素xの逆演算、または加法逆演算は次のように表されます。${\displaystyle -x.}$それ以外の場合、 xの逆数は一般に次のように表されます。${\displaystyle x^{-1},}$または、可換乗法の場合${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ 複数の演算が混同される可能性がある場合、指数の前に演算記号を追加することができます。例:${\displaystyle x^{*-1}.}$表記法${\displaystyle f^{\circ -1}}$関数合成には一般的に使用されません。${\textstyle {\frac {1}{f}}}$乗法逆数に使用できます。

xとyが可逆である場合、${\displaystyle x*y}$が定義されると、${\displaystyle x*y}$は可逆であり、その逆は${\displaystyle y^{-1}x^{-1}.}$

可逆準同型写像は同型写像と呼ばれる。 圏論においても、可逆射は同型写像と呼ばれる。

させて${\displaystyle S}$単位元を持つマグマ、すなわち二項演算を持つ集合である。${\displaystyle *}$そしてアイデンティティ要素${\displaystyle e\in S}$. もし、${\displaystyle a,b\in S}$、 我々は持っています${\displaystyle a*b=e}$、 それから${\displaystyle a}$は、の左逆元と呼ばれる。${\displaystyle b}$そして${\displaystyle b}$は右逆数と呼ばれる${\displaystyle a}$要素が${\displaystyle x}$は、の左逆元であり、かつ右逆元でもある。${\displaystyle y}$、 それから${\displaystyle x}$は、の両側逆数、または単に逆数と呼ばれます。${\displaystyle y}$両側逆元を持つ要素${\displaystyle S}$可逆であると呼ばれる${\displaystyle S}$片側にのみ逆元を持つ要素は、左可逆または右可逆である。

単一マグマの構成要素${\displaystyle (S,*)}$複数の左逆、右逆、または両側逆を持つ場合があります。たとえば、ケイリー表で示されるマグマでは

要素2と要素3はそれぞれ2つの両側逆元を持つ。

すべての要素が可逆であるユニタルマグマはループである必要はない。たとえば、マグマでは${\displaystyle (S,*)}$ケイリー表によって与えられる

すべての要素には一意の両面逆元（つまりそれ自身）がありますが、${\displaystyle (S,*)}$ケイリー表はラテン方陣ではないので、ループではありません。

同様に、ループは両側逆元を持つ必要はありません。たとえば、ケイリー表で示されるループでは

両側逆元を持つ唯一の要素は単位元1である。

手術${\displaystyle *}$が結合法則を満たす場合、要素が左逆元と右逆元の両方を持つ場合、それらは等しい。言い換えれば、モノイド（結合法則を満たす単位元マグマ）では、すべての要素は（この節で​​定義されるように）最大で1つの逆元を持つ。モノイドでは、可逆要素の集合は群であり、これは の単位群と呼ばれる。${\displaystyle S}$、で表す${\displaystyle U(S)}$またはH ₁。

前の節の定義は、群における逆元の概念を単位元の概念に対して一般化したものです。また、単位元を削除して結合法則を維持することによって逆元の概念を一般化することも可能ですが、これはそれほど自明ではありません。つまり、半群では、となります。

半群Sにおいて、要素xは、 xzx = xとなるようなSの要素zが存在する場合に(フォン ノイマン) 正則と呼ばれます。zは擬似逆元と呼ばれることもあります。要素yは、 xyx = xかつy = yxyの場合に(単に) xの逆元と呼ばれます。すべての正則要素は少なくとも 1 つの逆元を持ちます。x = xzx の場合、 y = zxzがこの節で定義されているxの逆元であることは簡単に確認できます。もう 1 つの簡単に証明できる事実: y がxの逆元である場合、e = xyおよびf = yxは冪等元、つまりee = eおよびff = fです。したがって、(互いに) 逆元である要素の任意のペアは 2 つの冪等元を生み出し、ex = xf = x、ye = fy = yとなり、e はxに対して左恒等元として作用し、f は右恒等元として作用し、 yに対しては左/右の役割が反転します。この単純な観察は、グリーンの関係式を用いて一般化できます。任意の半群のすべての冪等元eは、Reの左単位元であり、 _Reの右単位元です_。^{[ 2 ]}この事実の直感的な説明は、互いに逆元である要素のペアは、それぞれ局所的な左単位元と局所的な右単位元を生成するということです。

モノイドにおいて、前の節で定義した逆の概念は、この節で定義したよりも厳密に狭義です。グリーンクラス H ₁の要素のみが単位マグマの観点から逆を持ちますが、任意の冪等元eに対して、 H _eの要素は、この節で定義した逆を持ちます。このより一般的な定義の下では、任意の半群またはモノイドにおいて逆が一意である（または存在する）必要はありません。すべての要素が正則である場合、半群（またはモノイド）は正則と呼ばれ、すべての要素は少なくとも 1 つの逆を持ちます。すべての要素がこの節で定義した逆をちょうど 1 つ持つ場合、半群は逆半群と呼ばれます。最後に、冪等元が 1 つだけの逆半群は群です。逆半群は000 = 0 であるため、吸収元0 を持つ可能性がありますが、群はそうではありません。

半群理論以外では、この節で定義される一意の逆元は、準逆元と呼ばれることがあります。これは一般的に、ほとんどの応用例（例えば、この記事のすべての例）において結合法則が成り立つため正当化されます。結合法則により、この概念は恒等写像に関する左逆元／右逆元の一般化となります（一般化逆元を参照）。

逆半群の自然な一般化は、( a °)° = aとなるような(任意の) 単項演算° をSのすべてのaに対して定義することである。これにより、S は型⟨ 2,1 ⟩代数を持つ。このような演算を備えた半群はU半群と呼ばれる。 a °がaの逆演算であるように見えるかもしれないが、必ずしもそうではない。興味深い概念を得るためには、単項演算が何らかの形で半群演算と相互作用する必要がある。2 つのクラスのU半群が研究されている: ^{[ 3 ]}

• I-半群、相互作用公理はaa ° a = aである
• *-半群。相互作用公理は( ab )° = b ° a °である。このような演算は通常、 a *で表される。

明らかに、群はI半群であり、* 半群でもある。半群理論で重要な半群のクラスは、完全正則半群である。これらは、さらにaa ° = a ° aが成り立つI半群である。言い換えれば、すべての要素が可換擬逆元a °を持つ。しかし、このような半群の具体的な例はほとんどなく、ほとんどは完全単純半群である。対照的に、* 半群のサブクラスである* 正則半群(Drazin の意味での) は、最もよく知られている (唯一の) 擬逆元の例の 1 つであるMoore–Penrose 逆元を与える。ただし、この場合、対合a *は擬逆元ではない。むしろ、 xの擬逆元は、 xyx = x、yxy = y、 ( xy )* = xy、( yx )* = yxとなる唯一の要素yである。 *-正則半群は逆半群を一般化したものであるため、*-正則半群においてこのように定義された唯一の要素は、一般化逆元またはムーア・ペンローズ逆元と呼ばれる。

このセクションのすべての例は、結合演算子を含んでいます。