ベクトル（数学と物理学）

数学と物理学において、ベクトルとは、単一の数値 (スカラー)では表現できない量、またはいくつかのベクトル空間の要素を指す用語です。ベクトルは大きさと方向の両方で表現する必要があります。

歴史的に、ベクトルは、変位、力、速度など、大きさと方向の両方を持つ量に対して、幾何学と物理学（主に力学）で導入されました。このような量は、距離、質量、時間が実数で表されるのと同じように、幾何学的ベクトルによって表されます。

ベクトルという用語は、文脈によっては、固定長の 有限シーケンス（数値またはその他のオブジェクト）であるタプルを指す場合にも使用されます。

幾何学的ベクトルとタプルはどちらも加算およびスケーリングが可能であり、これらのベクトル演算によってベクトル空間の概念が生まれました。ベクトル空間は、上記種類のベクトルの演算の主な特性を一般化するいくつかの公理を満たすベクトル加算とスカラー乗算を備えた集合です。幾何学的ベクトルによって形成されるベクトル空間はユークリッドベクトル空間と呼ばれ、タプルによって形成されるベクトル空間は座標ベクトル空間と呼ばれます。

数学では、拡大体、多項式環、代数、関数空間など、多くのベクトル空間が考慮されています。ベクトルという用語は、通常、これらのベクトル空間の要素には使用されず、一般に、幾何学的ベクトル、タプル、および未指定のベクトル空間の要素（たとえば、ベクトル空間の一般的な特性について説明する場合）に対して使用されます。

数学、物理学、工学において、ユークリッドベクトルまたは単にベクトル（幾何学的ベクトル^[1]または空間ベクトル^{[2]と呼ばれることもある）は、}大きさ（または長さ）と方向を持つ幾何学的オブジェクトである。ユークリッドベクトルは、加算およびスケーリングしてベクトル空間を形成することができる。ベクトル量とは、測定単位および場合によってはサポートを含むベクトル値の物理量であり、有向線分として定式化される。ベクトルは、始点Aと終点Bを結ぶ矢印としてグラフィカルに表現されることが多く、^[3]で表され、 ${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

ベクトルは、点Aを点Bに「運ぶ」ために必要なものであり、ラテン語のベクトルは「運搬者」を意味します。^[4]これは、太陽の周りを惑星が公転する様子を調査していた 18 世紀の天文学者によって初めて使用されました。^{[5]ベクトルの大きさは 2 点間の距離であり、方向は}AからBへの変位の方向を示します。加算、減算、乗算、否定などの実数に対する多くの代数演算には、ベクトルに近い類似物があり、^{[6]これらの演算は、}交換法則、結合法則、分配法則といったよく知られた代数法則に従います。これらの演算と関連する法則により、ユークリッドベクトルは、ベクトル空間の要素として単純に定義される、より一般化されたベクトルの概念の例として適しています。

ベクトルは物理学 において重要な役割を果たします。移動する物体の速度と加速度、それに作用する力はすべてベクトルで記述できます。 ^[7]他の多くの物理量もベクトルとして考えることができます。ベクトルのほとんどは距離を表しませんが（位置や変位などを除く）、その大きさと方向は矢印の長さと方向で表すことができます。物理ベクトルの数学的表現は、それを記述するために使用される座標系によって異なります。物理量を記述し、座標系の変更に応じて同様に変換される他のベクトルのようなオブジェクトには、疑似ベクトルとテンソルがあります。^[8]

数学と物理学において、ベクトル空間(線型空間とも呼ばれる) は、ベクトルと呼ばれる要素を加算したり、スカラーと呼ばれる数値で乗算 (「スケーリング」) したりできる集合です。ベクトルの加算とスカラー乗算の演算は、ベクトル公理と呼ばれる特定の要件を満たす必要があります。実ベクトル空間と複素ベクトル空間は、異なる種類のスカラー (実数と複素数)に基づくベクトル空間の一種です。より一般的には、スカラーは任意の体の要素になることもできます。

ベクトル空間はユークリッド ベクトルを一般化したものなので、力や速度など、大きさだけでなく方向も持つ物理量のモデル化が可能になります。ベクトル空間の概念は、ベクトル空間での計算を可能にする行列の概念とともに、線形代数の基礎となります。これにより、線形方程式のシステムを操作および研究するための簡潔で総合的な方法が提供されます。

ベクトル空間は次元によって特徴付けられ、大まかに言えば、次元は空間内の独立した方向の数を指定します。つまり、与えられた体上の同じ次元を持つ 2 つのベクトル空間について、ベクトル空間構造のみに依存する特性はまったく同じです (技術的には、ベクトル空間は同型です)。次元が自然数である場合、ベクトル空間は有限次元です。それ以外の場合は無限次元であり、その次元は無限基数です。有限次元ベクトル空間は、幾何学や関連分野で自然に発生します。無限次元ベクトル空間は、数学の多くの分野で発生します。たとえば、多項式環は可算無限次元ベクトル空間であり、多くの関数空間は連続体の基数を次元として 持ちます。

数学で考慮される多くのベクトル空間には、他の構造も備わっています。これは、体の拡大、多項式環、結合代数、リー代数を含む代数の場合です。これはまた、関数空間、内積空間、ノルム空間、ヒルベルト空間、バナッハ空間を含む位相ベクトル空間の場合でもあります。

体上のすべての代数はベクトル空間ですが、代数の要素は一般にベクトルとは呼ばれません。ただし、歴史的な理由により 、場合によってはベクトルと呼ばれることもあります。

• ベクトル四元数、実部がゼロの四元数
• 多重ベクトルまたはpベクトル。ベクトル空間の外積代数の要素。
• スピノルはスピン ベクトルとも呼ばれ、回転ベクトルの概念を拡張するために導入されました。実際、回転ベクトルは局所的には回転をよく表しますが、大域的には表しません。これは、回転ベクトルの空間内の閉ループが、回転空間にループではない曲線を誘導する可能性があるためです。また、回転ベクトルの多様体は向きを変えることができますが、回転の多様体は向きを変えることができません。スピノルは、何らかのクリフォード代数のベクトル部分空間の要素です。
• ウィットベクトルは、可換環の要素の無限列であり、この環上の代数に属し、p進数上の演算における桁上げの伝播を処理するために導入されました。

n 個の実数の組の集合は、成分ごとの加算とスカラー乗算によって定義されるベクトル空間の自然な構造を持ちます。ベクトル空間演算が適用されないコンテキストでも、これらの組をベクトルと呼ぶのが一般的です。より一般的には、一部のデータがベクトルで自然に表現できる場合、ベクトルの加算やスカラー乗算がこれらのデータに対して有効な演算でない場合でも、そのデータはベクトルと呼ばれることがよくあります。^{[異論あり–議論]}以下にいくつか例を示します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• 回転ベクトル。方向が回転軸の方向であり、大きさが回転角度であるユークリッド ベクトル。
• バーガースベクトル、結晶格子内の転位の格子歪みの大きさと方向を表すベクトル
• 音程ベクトル、音楽集合論において、音階クラス集合の音程内容を表す配列
• 確率ベクトルは、統計学において、合計が 1 になる非負の要素を持つベクトルです。
• 統計学におけるランダム ベクトルまたは多変量ランダム変数は、相関関係にある可能性のある実数値のランダム変数の集合です。ただし、ランダム ベクトルは、ベクトル空間で値を取るランダム変数を指す場合もあります。
• 論理ベクトル、0 と 1 のベクトル (ブール値)。

微積分はベクトルの領域における基礎的な数学的ツールとして機能し、物理学や工学をはじめとするさまざまな科学分野におけるベクトル量の分析と操作の枠組みを提供します。出力がベクトルであるベクトル値関数は、微積分を使用して精査され、3次元空間内の動きに関する重要な洞察を導き出します。ベクトル微積分は、従来の微積分の原理をベクトル場に拡張し、物理学や工学の分野で応用されている勾配、発散、回転などの演算を導入します。力場内の経路に沿った仕事の計算に不可欠な線積分や、フラックスなどの量を決定するために使用される表面積分は、ベクトル解析における微積分の実用的な有用性を示しています。3次元領域にわたるスカラー場またはベクトル場を含む計算に不可欠な体積積分は、質量分布、電荷密度、流体の流量の理解に役立ちます。^{[出典が必要]}

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• ベクター（曖昧さ回避）

• 段階的ベクトル空間、段階的構造を追加したベクトル空間の一種
• ノルムベクトル空間、ノルムが定義されたベクトル空間
• ヒルベルト空間
• 順序付きベクトル空間、半順序を備えたベクトル空間
• スーパーベクトル空間、Z ₂次ベクトル空間の名称
• シンプレクティックベクトル空間、非退化、歪対称、双線型形式を備えたベクトル空間V
• 位相ベクトル空間、位相構造とベクトル空間の代数的概念の融合

ベクトル場は、一般にその共域と同じ次元（多様体として）の領域を持つベクトル値関数である。

• 保存ベクトル場、スカラーポテンシャル場の勾配であるベクトル場
• ハミルトンベクトル場、任意のエネルギー関数またはハミルトンに対して定義されるベクトル場
• キリングベクトル場、リーマン多様体上のベクトル場
• ソレノイドベクトル場、発散ゼロのベクトル場
• ベクトルポテンシャル、与えられたベクトル場の回転がベクトル場である
• ベクトルフロー、ベクトル場によって決定される流れの密接に関連した概念のセット

• リッチ計算
• ベクトル解析は、ウィルソンによるベクトル解析の教科書で、1901年に初めて出版され、3次元線形代数とベクトル解析の表記法と語彙の標準化に大きく貢献しました。
• ベクトル束は、別の空間によってパラメータ化されたベクトル空間の族の概念を明確にする位相的な構成である。
• ベクトル計算はベクトル場の微分と積分を扱う数学の一分野である。
• ベクトル微分、またはdelは、ナブラ記号で表されるベクトル微分演算子です。${\displaystyle \nabla}$
• ベクトルラプラシアン、ベクトルラプラス演算子は、ベクトル場上で定義される微分演算子であり、と表記される。${\displaystyle \nabla^{2}}$
• ベクトル表記、ベクトルを扱うときによく使われる表記法
• ベクトル演算子、ベクトル計算で使用される微分演算子の一種
• ベクトル積、またはクロス積は、3次元ユークリッド空間内の2つのベクトルに対する演算であり、元の2つのベクトルに垂直な3次元ユークリッドベクトルを生成します。
• ベクトル投影はベクトル解像度またはベクトル成分とも呼ばれ、2番目のベクトルに平行なベクトルを生成する線形マッピングです。
• ベクトル値関数、ベクトル空間を共域として持つ関数
• ベクトル化（数学）、行列を列ベクトルに変換する線形変換
• ベクトル自己回帰は、複数の時系列間の進化と相互依存性を捉えるために使用される計量経済モデルである。
• ベクトルボソン、スピン量子数が1に等しいボソン
• ベクトル測度、集合族上で定義され、特定の性質を満たすベクトル値を取る関数
• ベクトル中間子、全スピン1と奇パリティを持つ中間子
• ベクトル量子化、信号処理で使用される量子化技術
• ベクトルソリトン、伝播中に形状を維持する複数の成分が結合した孤立波。
• ベクトル合成、オーディオ合成の一種
• 位相ベクトル

• ベクトル - ファインマン物理学講義
• ハインボッケル、JH (2001)。テンソル計算と連続体力学入門。Trafford Publishing。ISBN 1-55369-133-4。
• 伊藤清 (1993).数学百科事典（第2版）. MIT Press . ISBN 978-0-262-59020-4。
• イワノフ、AB (2001) [1994]、「ベクトル」、数学百科事典、EMSプレス
• ペドー、ダニエル(1988)。『幾何学：総合コース』ドーバー。ISBN 0-486-65812-0。