グループ（数学）

数学において、群とは、集合の要素を集合のすべての要素のペアに関連付ける演算（すべての二項演算と同様に）を持つ集合であり、演算は結合的であり、単位元を持ち、集合のすべての要素に逆元があるという制約を満たします。

多くの数学的構造は、他の特性を付与された群です。たとえば、加算演算を伴う整数は、⁠ ⁠と呼ばれる単一の要素によって生成される無限群を形成します(これらの特性は、整数を一意に特徴付けます)。 ${\displaystyle 1}$

群の概念は、数、幾何学的形状、多項式の根など、多くの数学的構造を統一的に扱うために考案されました。群の概念は数学の内外を問わず多くの分野で普遍的であるため、一部の著者はそれを現代数学の中心的な構成原理と見なしています。^{[1] [2]}

幾何学では、対称性と幾何学的変換の研究において群が自然に生じます。物体の対称性は、物体の対称性群と呼ばれる群を形成し、特定のタイプの変換は一般群を形成します。リー群は、幾何学の対称性群に現れ、また、素粒子物理学の標準モデルにも現れます。ポアンカレ群は、特殊相対性理論における時空の対称性からなるリー群です。点群は、分子化学における対称性を記述します。

群の概念は、1830年代のエヴァリスト・ガロアに始まり、ガロアは、現在ガロア群と呼ばれる方程式の根の対称群を表すために群（フランス語：groupe）という用語を導入しました。数論や幾何学などの他の分野からの貢献の後、群の概念は一般化され、1870年頃にしっかりと確立されました。現代の群論（活発な数学の分野）では、群自体を研究します。群を探求するために、数学者は、部分群、商群、単純群など、群をより小さく理解しやすい部分に分割するさまざまな概念を考案しました。群理論家は、抽象的な特性に加えて、表現論（つまり、群の表現を通じて）と計算群論の両方の観点から、群を具体的に表現するさまざまな方法も研究します。有限群の理論が開発され、 2004年に有限単純群の分類が完成しました。1980年代半ば以降、有限生成群を幾何学的対象として研究する幾何学的群論が群論の活発な分野になりました。

最もよく知られている群の1つは、加算を 伴う整数 の集合です。^[3]任意の2つの整数 ⁠ ⁠と⁠ ⁠に対して、その和も整数です。この閉包特性は、 ⁠ ⁠ ⁠が二項演算であることを示します。整数加算の次の特性は、以下の定義の群公理のモデルとして機能します。 $${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• すべての整数⁠ ⁠${\displaystyle a}$、⁠ ⁠に対して 、 ⁠ ⁠が成り立ちます。言葉で表現すると、最初に を加算し、その結果を に加算すると、⁠ ⁠と ⁠ ⁠の合計に加算した場合と同じ最終結果になります。この特性は結合性として知られています。${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$
• が任意の整数である場合、および⁠ ⁠です。ゼロは、任意の整数に追加すると同じ整数が返されるため、加算の単位元と呼ばれます。${\displaystyle a}$${\displaystyle 0+a=a}$${\displaystyle a+0=a}$
• すべての整数⁠ ⁠${\displaystyle a}$に対して、かつ⁠ ⁠となる整数が存在します。その整数は整数の逆元と呼ばれ、  ⁠ ⁠ と表記されます。${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b=0}$${\displaystyle b+a=0}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$

整数は、演算⁠ ⁠${\displaystyle +}$とともに、同様の構造的側面を共有する広範なクラスに属する数学的オブジェクトを形成します。これらの構造を集合体として適切に理解するために、次の定義が開発されています。

群とは、空でない集合 と、の任意の2つの要素と を結合して の要素を形成する二項演算（ここでは「 」と表記）であり、群公理と呼ばれる以下の3つの要件が満たされる。^{[5] [6] [7] [a]}${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot b}$

結合性

⁠ ⁠内のすべての⁠ ⁠${\displaystyle a}$、⁠ ⁠${\displaystyle b}$、⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle c}$⁠ ⁠ が成り立ちます。${\displaystyle G}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

アイデンティティ要素

⁠ ⁠内の任意の ⁠ ⁠ に対して⁠ ⁠および⁠ ⁠ が存在するような要素が存在する。${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle e\cdot a=a}$${\displaystyle a\cdot e=a}$

このような元は一意です (下記参照)。これはグループの単位元(または中立元) と呼ばれます。

逆要素

⁠ ⁠内の各要素に対して、かつ⁠ ⁠となる要素が存在します。ここで は単位元です。${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot b=e}$${\displaystyle b\cdot a=e}$${\displaystyle e}$

各⁠ ⁠${\displaystyle a}$に対して、要素は一意です (下記参照)。これは⁠ ⁠の逆数と呼ばれ、一般的に⁠ ⁠ と表記されます。${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$

正式には、群とは、集合と、この集合上で群公理を満たす二項演算との順序付きペアです。集合は群の基礎集合と呼ばれ、演算は群演算または群法則と呼ばれます。

したがって、群とその基礎となる集合は 2 つの異なる数学的対象です。煩雑な表記を避けるため、両方を表すのに同じ記号を使用するという表記法の乱用がよく見られます。これは、操作によって提供される追加の構造によって強化されている点を除けば、群は集合と同じであるという非公式な考え方も反映しています。

たとえば、加算と乗算の演算を持つ実数の集合 ⁠ ⁠ を考えます。正式には、 は集合${\displaystyle \mathbb {R} }$、は群、 は体です。ただし、これら 3 つのオブジェクトのいずれかを表すために と書くことが一般的です。 ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle ab}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

体の加法群は、その基底集合がであり、その演算が加算である群です。体の乗法群は、その基底集合が非ゼロの実数の集合であり、その演算が乗算である 群です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

より一般的には、群演算が加算として表記されるときはいつでも加法群と呼ばれます。この場合、恒等元は通常⁠ ⁠${\displaystyle 0}$と表記され、元の逆元は⁠ ⁠ と表記されます。同様に、群演算が乗法として表記されるときはいつでも乗法群と呼ばれます。この場合、恒等元は通常⁠ ⁠と表記され、元の逆元は⁠ ⁠ と表記されます。乗法群では、演算記号は通常完全に省略されるため、演算は⁠ ⁠ではなく、並置で表記されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a\cdot b}$

群の定義では、 ⁠ ⁠のすべての元とが必須ではありません。この追加条件が成り立つ場合、演算は可換であるとされ、群はアーベル群と呼ばれます。アーベル群では加法表記と乗法表記のどちらも使用できますが、非アーベル群では乗法表記のみを使用するのが一般的な慣例です。 ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$

要素が数ではない群では、他の表記法が一般的に使用されます。要素が関数である群の場合、演算は関数合成 ⁠ ⁠${\displaystyle f\circ g}$であることが多く、その場合、恒等式は id と表記されます。より特殊な場合である幾何変換群、対称群、置換群、自己同型群では、乗法群の場合と同様に、記号は省略されることがよくあります。表記法のその他のさまざまなバリエーションに遭遇することがあります。 ${\displaystyle \circ }$

平面上の 2 つの図形は、回転、反射、平行移動を組み合わせて 1 つの図形を他の図形に変換できる場合、合同です。どの図形もそれ自身と合同です。ただし、図形によっては複数の方法でそれ自身と合同になるものもあり、このような追加の合同は対称性と呼ばれます。正方形には 8 つの対称性があります。これらは次のとおりです。

• すべてを変更しない恒等演算。id で示される。
• 正方形をその中心の周りで時計回りに 90°、180°、270° 回転させたもので、それぞれ⁠ ⁠${\displaystyle r_{1}}$、⁠ ⁠で表されます。${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$
• 水平および垂直の中央線（⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$と⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$）に関する反射、または 2 つの対角線（⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$と⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$）を介した反射。

これらの対称性は関数です。それぞれが正方形内の点を対称性の下の対応する点に送信します。たとえば、は点を正方形の中心の周りを時計回りに 90° 回転させ、点を正方形の垂直中央線を横切る反射に送信します。これらの対称性を 2 つ合成すると、別の対称性が得られます。これらの対称性により、⁠ ⁠と表記される、次数 4 の二面体群と呼ばれるグループが決定されます。グループの基礎となるセットは上記の対称性のセットであり、グループの操作は関数合成です。^[8] 2 つの対称性は、関数として合成することによって結合されます。つまり、最初の対称性を正方形に適用し、2 番目の対称性を最初の適用結果に適用します。最初に実行してから次に実行した結果は、右から左に記号で記述されます(「対称性⁠ ⁠を実行した後、対称性を適用する」)。これは関数の合成の通常の表記法です。 ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b\circ a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

ケイリー表には、このようなすべての可能な合成の結果がリストされています。たとえば、時計回りに 270° 回転 ( ⁠ ⁠${\displaystyle r_{3}}$ ) してから水平に反転 ( ⁠ ⁠ ) すると、対角線に沿って反転 ( ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ) するのと同じです。ケイリー表で青色で強調表示されている上記の記号を使用すると、次のようになります。 $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

この対称性のセットと記述された操作が与えられると、群の公理は次のように理解できます。

二項演算: 合成は二項演算です。つまり、は任意の 2 つの対称性と⁠ ⁠に対して対称です。たとえば、つまり 、水平に反転した後に時計回りに 270° 回転することは、対角線 ( ⁠ ⁠ ) に沿って反転することと同じです。実際、ケイリー表を使用して確認できるように、2 つの対称性の他のすべての組み合わせでも対称性が得られます。 ${\displaystyle a\circ b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

結合性: 結合性公理は、3 つ以上の対称性の合成を扱います。 ⁠ ⁠の⁠ ⁠${\displaystyle a}$、⁠ ⁠${\displaystyle b}$、⁠ ⁠${\displaystyle c}$から始めて、これらの 3 つの対称性をこの順序で使用することで正方形の対称性を決定する方法が 2 つあります。 1 つは、最初に ⁠ ⁠ と ⁠ ⁠ を 1 つの対称性に合成し、${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$次にその対称性を⁠ ⁠と合成することです。 もう 1 つは、最初に⁠ ⁠ と⁠ ⁠ を合成し、次に結果として得られる対称性を⁠ ⁠と合成することです。 これら 2 つの方法は常に同じ結果、つまり、 たとえば、はCayley 表を使用して確認できます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$

恒等元: 恒等元は⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$です。これは、左側または右側のどちらで合成しても 対称性が変わらないためです。${\displaystyle a}$

逆要素:各対称性には逆があります。、${\displaystyle \mathrm {id} }$反射、、${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$、${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$、および 180 °回転は、それぞれ逆です。これらを 2 回実行すると、正方形が元の方向に戻るからです。回転とは、お互いの逆です。90° 回転してから 270° 回転すると (またはその逆)、360° 以上の回転が生じますが、正方形は変化しません。これは表で簡単に確認できます。 ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{1}}$

上の整数群では演算の順序は重要ではありませんが、⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$では、たとえば⁠ ⁠のように順序が重要になりますが、 ⁠ ⁠ です。言い換えると、はアーベル的ではありません。 ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

抽象群という現代の概念は、数学のいくつかの分野から発展した。^{[9] [10] [11]}群論の元々の動機は、 4次以上の多項式方程式の解の探求であった。19世紀フランスの数学者エヴァリスト・ガロアは、パオロ・ルフィニとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの先行研究を拡張して、特定の多項式方程式の解の根（解）の対称群によってその解の可能性の基準を与えた。このようなガロア群の要素は、根の特定の順列に対応する。最初、ガロアのアイデアは同時代の人々に拒否され、ガロアの死後に出版された。^{[12] [13]}より一般的な順列群は、特にオーギュスタン・ルイ・コーシーによって研究された。アーサー・ケイリーの『記号方程式に従う群の理論について』 （1854年）は、有限群の最初の抽象的な定義を与えている。^[14]${\displaystyle \theta ^{n}=1}$

幾何学は、群、特にフェリックス・クラインの1872年のエアランゲン計画の一部としての対称群が体系的に使用された2番目の分野でした。^[15]双曲幾何学や射影幾何学などの新しい幾何学が登場した後、クラインは群論を使用してそれらをより首尾一貫した方法で整理しました。これらのアイデアをさらに推し進め、ソフス・リーは1884年にリー群の研究を創設しました。 ^[16]

群論に貢献した3番目の分野は数論でした。特定のアーベル群の構造は、カール・フリードリヒ・ガウスの数論的著作『算術論』 （1798年）で暗黙的に使用され、レオポルド・クロネッカーによってより明示的に使用されました。^[17] 1847年、エルンスト・クンマーは、素因数分解を記述する群を展開することで、フェルマーの最終定理を証明する初期の試みを行いました。^[18]

これらのさまざまな情報源が統一的な群論に収束したのは、カミーユ・ジョルダンのTraité des replacements et des équations algébriques (1870) からでした。^[19] ヴァルター・フォン・ダイク(1882) は、生成子と関係によって群を特定するというアイデアを導入し、当時の用語で「抽象群」の公理的な定義を初めて与えました。^{[20] 20 世紀になると、群は}、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスとウィリアム・バーンサイド(有限群の表現論に取り組んだ)の先駆的な研究、リチャード・ブラウアーのモジュラー表現論、イサイ・シューアの論文によって広く認知されるようになりました。^{[21]リー群、およびより一般的には}局所コンパクト群の理論は、ヘルマン・ワイル、エリー・カルタン、その他多くの人々によって研究されました。^[22]代数的に対応する代数群の理論は、最初はクロード・シュヴァレー（1930年代後半）によって形作られ、その後アルマン・ボレルとジャック・ティッツの研究によって形作られました。^[23]

シカゴ大学の1960年から1961年にかけての群論の年には、ダニエル・ゴレンスタイン、ジョン・G・トンプソン、ウォルター・フェイトなどの群論学者が集まり、他の多くの数学者の意見も取り入れた共同研究の基盤が築かれ、有限単純群の分類に至り、2004年にアッシュバッハーとスミスが最終段階を踏み出しました。このプロジェクトは、証明の長さと研究者の数の両方において、その規模において以前の数学的努力を上回るものでした。この分類証明に関する研究は現在も進行中です。 ^[24]群論は今でも非常に活発な数学の一分野であり、^[b]以下の例が示すように、他の多くの分野にも影響を与えています。

群の公理から直接得られるすべての群に関する基本的な事実は、一般的に初等群論に包含される。^[25]例えば、結合公理を繰り返し適用すると、の一意性が3つ以上の因子に一般化されることがわかる 。これは、そのような一連の項のどこにでも括弧を挿入できること を意味するため、括弧は通常省略される。^[26]$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

群の公理は、単位元が一意であることを意味します。つまり、単位元は1つだけ存在します。群の任意の2つの単位元とは同じです。なぜなら、群の公理は⁠ ⁠ を意味するからです。したがって、群の単位元について話すのが慣例となっています。[ 27 ^]${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

群の公理は、各元の逆元が一意であることを意味します。群元がと の両方を逆元として持つとします。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

したがって、要素の逆について話すのが慣例となっている。[ 27 ^]

群 ⁠ ⁠ の元とが与えられたとき、方程式 ⁠ ⁠ には⁠ ⁠の唯一の解、すなわち⁠ ⁠が存在します。^{[c] [28]}従って、 の各 に対して、各 をに写像する関数は全単射であり、 ⁠ ⁠による左乗算または⁠ ⁠による左平行移動と呼ばれます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a\cdot x=b}$${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a\cdot x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

同様に、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠ が与えられた場合、 ⁠ ⁠ の唯一の解は⁠ ⁠です。 ⁠ ⁠に対して、それぞれを ⁠ ⁠にマッピングする関数は、 ⁠ ⁠による右乗算または⁠ ⁠による右平行移動と呼ばれる一対一関数です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x\cdot a=b}$${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G\to G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

単位元と逆元の群公理は、左単位元と左逆元の存在のみを主張するように「弱め」られることがある。これらの一方的な公理から、同じ元に対して左単位元は右単位元でもあり、左逆元は右逆元でもあることを証明できる。これらは群とまったく同じ構造を定義するため、全体として公理は弱くならない。^[29]

特に、結合法則と各要素の左単位元（つまり、⁠ ⁠）と左逆元（つまり、⁠ ⁠ ）の存在を仮定すると、すべての左逆元は同じ要素の右逆元でもあることが次のように示せます。^[29] 確かに、 ${\displaystyle e}$${\displaystyle e\cdot f=f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

同様に、左のアイデンティティは右のアイデンティティでもある。^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

これらの証明には、3 つの公理すべて (結合性、左単位元の存在、左逆の存在) が必要です。より緩い定義を持つ構造 (半群など) の場合、たとえば、左単位元は必ずしも右単位元ではないということになります。

右恒等変換と右逆変換の存在のみを仮定することによって、同じ結果を得ることができます。

ただし、左単位元と右逆元(またはその逆)が存在すると仮定するだけでは、グループを定義するのに十分ではありません。たとえば、および⁠ ⁠ を満たす演算子を持つセットを考えます。この構造には左単位元 (つまり、 ⁠ ⁠ )があり、各要素には右逆元 (両方の要素に対する逆元) があります。さらに、この演算は結合的です (これらの演算が実行される順序に関係なく、任意の数の要素の積は常にその積の右端の要素に等しいため)。ただし、は右単位元がないため、グループではありません。 ${\displaystyle G=\{e,f\}}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle (G,\cdot )}$

集合を研究する場合、部分集合、関数、同値関係による商などの概念を使用します。群を研究する場合、代わりに部分群、準同型、商群を使用します。これらは群構造を考慮に入れた類似物です。^[d]

群準同型^[e]は群の構造を尊重する関数であり、2つの群を関連付けるために使用できます。群から群への準同型は、 ${\displaystyle (G,\cdot )}$${\displaystyle (H,*)}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$

⁠ ⁠内のすべてのに対して、恒等式、⁠ ⁠、逆を尊重することも要求するのが自然でしょう。しかし、これらの追加要件は、群演算を尊重するという要件によってすでに暗示されているため、準同型の定義に含める必要はありません。^[30]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$

群の恒等準同型は、の各要素をそれ自身に写像する準同型です。準同型の逆準同型は、および⁠ ⁠となる準同型、つまり⁠ ⁠内のすべての に対してとなり、 ⁠ ⁠内のすべてのに対してとなるような準同型です。同型とは、逆準同型を持つ準同型です。つまり、それは全単射準同型です。同型⁠ ⁠が存在する場合、群とが同型であるといいます。この場合、 ⁠ ⁠ ⁠に従ってその要素の名前を変更するだけで、⁠ ⁠から取得できます。この場合、 ⁠ ⁠に対して真である任意のステートメントは、ステートメントで言及されている特定の要素の名前も変更されている限り、 ⁠ ⁠ ⁠に対して真です。${\displaystyle G}$${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$${\displaystyle \psi :H\to G}$${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi :G\to H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

すべての群の集合とそれらの間の準同型性は、群のカテゴリを形成する。[ 31 ^]

入射準同型は、⁠ ⁠の何らかの部分群に対して、同型とそれに続く包含として正規化されます。 入射準同型は、群のカテゴリにおける 単射です。${\displaystyle \phi :G'\to G}$${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

非公式には、部分群とは、より大きな群 ⁠ ⁠ に含まれる群、つまり、同じ演算を持つ ⁠ ⁠ の元の部分集合を持つ群です。[ 32 ]^具体的には、 ⁠ ⁠ の単位元は⁠ ⁠に含まれる必要があり、 とが両方とも⁠ ⁠に含まれる場合はいつでも、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠ も含まれることを意味します。そのため、 ⁠ ⁠の元は、 ⁠ ⁠ への群演算が⁠ ⁠に制限されていれば、実際に群を形成します。この場合、包含写像は準同型です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$${\displaystyle h_{1}^{-1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H\to G}$

正方形の対称性の例では、恒等回転と回転が部分群⁠ ⁠ を${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$構成し、例のケイリー表で赤く強調表示されています。合成された任意の 2 つの回転は依然として回転であり、回転は、90° の場合は 270°、180° の場合は 180°、270° の場合は 90° という相補回転によって元に戻すことができます (つまり、逆になります)。部分群テストは、グループの空でない部分集合⁠ ⁠ が部分群であるための必要かつ十分な条件を提供します。すべての要素に対して、および⁠ ⁠で であることを確認するだけで十分です。グループの部分群を知ることは、グループ全体を理解する上で重要です。^[f]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$

群⁠ ⁠の任意の部分集合が与えられたとき、によって生成される部分群は ⁠ ⁠の元とその逆元の積すべてから構成される。これは⁠ ⁠ を含む⁠ ⁠の最小の部分群である。^[33]正方形の対称性の例では、とによって生成される部分群は、これら 2 つの元、単位元⁠ ⁠、および元⁠ ⁠から構成される。この場合も、これら 4 つの元またはその逆元 (この特定のケースでは、同じ元) の任意の 2 つを組み合わせると、この部分群の元が得られるため、これは部分群である。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathrm {id} }$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

多くの場合、2 つのグループ要素が特定のサブグループの要素によって異なる場合、それらの要素を同じと見なすことが望ましい。たとえば、正方形の対称グループでは、一度反射が実行されると、回転だけでは正方形を元の位置に戻すことができないため、正方形の反射位置はすべて互いに等しく、反射されていない位置とは等しくないと考えることができる。回転操作は、反射が実行されたかどうかという問題とは無関係である。この洞察を形式化するためにコセットが使用される。サブグループは左コセットと右コセットを決定するが、これは任意のグループ要素⁠ ⁠による ⁠ ⁠の変換と考えることができる。記号的に言えば、要素⁠ ⁠を含む⁠ ⁠の左コセットと右コセットは、 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$

任意の部分群の左剰余類は⁠ ⁠の分割を形成します。つまり、すべての左剰余類の和はに等しく、2 つの左剰余類は等しいか、交差が空になります。^[35]最初のケースは⁠ ⁠のとき、つまり 2 つの要素が⁠ ⁠の要素だけ異なるときに発生します。同様の考慮事項が⁠ ⁠の右剰余類にも適用されます。 の左剰余類は、その右剰余類と同じである場合もそうでない場合もあります。同じである場合 (つまり、 のすべての剰余類が⁠ ⁠を満たす場合)、 は正規部分群であると言われています。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$ ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gH=Hg}$${\displaystyle H}$

⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ 、つまり正方形の対称群とその回転の部分群では、左剰余類は、が自身の元である場合は⁠ ⁠に等しく、そうでない場合は に等しくなります( ⁠ ⁠のケーリー表で緑色で強調表示)。 であるため、部分群は正規です。また、群の他の元についても同様です。 (実際、 ⁠ ⁠の場合、反射によって生成される剰余類はすべて等しくなります: ⁠ ⁠。) ${\displaystyle R}$${\displaystyle gR}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

が群⁠ ⁠の正規部分群であり、 が その剰余類の集合を表すと仮定します。すると、 に一意の群法則が存在し、各元を に送る写像は準同型になります。明示的には、2 つの剰余類との積は⁠ ⁠であり、剰余類は⁠ ⁠の恒等写像として機能し、商群におけるの逆は⁠ ⁠です。群⁠ ⁠は「 ⁠ ⁠ ⁠を法として」と読み、^{[36] は}商群または因数群と呼ばれます。商群は、普遍的性質によって特徴付けることもできます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G\to G/N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle hN}$${\displaystyle (gh)N}$${\displaystyle eN=N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$

商群の元はとです。商に対する群演算は表に示されています。たとえば、です。部分群と商は両方ともアーベルですが、 はそうではありません。半直積構成によって、部分群と商 (およびいくつかの追加データ) から群を再構築できる場合があります。 はその一例です。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

最初の同型定理は、任意の射影準同型が商準同型とそれに続く同型として標準的に因数分解されることを意味します: ⁠ ⁠。射影準同型は、群のカテゴリにおける エピモフィズムです。${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

すべての群は、多くの点で 自由群の商と同型です。

例えば、二面体群は右回転と垂直線での鏡映によって生成される（ のすべての元は、これらのコピーとその逆の有限積である）。したがって、 2つの生成元上の自由群から に、に送る⁠ ⁠ への射影準同型⁠ ⁠が存在する。 の元は関係 ⁠ ⁠と呼ばれ、例として⁠ ⁠がある。実際、 はこれら3つの元を含む の最小の正規部分群であることが判明している。言い換えれば、すべての関係はこれら3つの結果である。この正規部分群による自由群の商は⁠ ⁠ ⁠と表記される。これは、 ⁠ ⁠に対する最初の同型定理が同型 ⁠ ⁠ をもたらすため、生成元と関係による ⁠ ⁠の表示と呼ばれる。^[37]${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle r,f\rangle }$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle \ker \phi }$${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$${\displaystyle \ker \phi }$${\displaystyle \langle r,f\rangle }$${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

群の表現は、離散群のグラフ表現であるケイリーグラフを構築するために使用することができます。^[38]

群の例と応用は数多くあります。出発点は、上で紹介した、群演算として加算を行う整数の群です。加算の代わりに乗算を考慮すると、乗法群が得られます。これらの群は、抽象代数における重要な構成の前身です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

群は他の多くの数学の分野にも応用されています。数学的対象は、しばしば群をそれらに関連付け、対応する群の特性を研究することによって調べられます。例えば、アンリ・ポアンカレは、基本群を導入することによって、現在代数的位相幾何学と呼ばれているものを確立しました。^[39]この関係によって、近接性や連続性などの位相的特性は、群の特性に変換されます。^[g]

位相空間の基本群の要素はループの同値類であり、ループは、1 つのループが別のループに滑らかに変形でき、群演算が「連結」（1 つのループをトレースしてから別のループをトレースする）である場合に同値であると見なされます。たとえば、図に示すように、位相空間が 1 つの点が削除された平面である場合、失われた点 (青) をラップしないループは、1 つの点に滑らかに縮小でき、基本群の単位元になります。失われた点の周りを何度もラップするループは、ループを穴を横切って滑らかに変形できないため、回数をラップするループ ( ⁠ ⁠を使用)に変形することはできません。そのため、各ループのクラスは、失われた点の周りの巻き数によって特徴付けられます。結果として得られるグループは、加算に関して整数と同型です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\neq k}$

より最近の応用では、その影響は群論的背景による幾何学的構成の動機付けにも逆転している。^[h]同様に、幾何学的群論では、例えば双曲群の研究において幾何学的概念を採用している。^{[40]群を決定的に応用するさらなる分野には}、代数幾何学と数論がある。 ^[41]

上記の理論的応用に加えて、群の実際的な応用も数多く存在する。暗号は、特に有限群に対して実装される場合、抽象群論アプローチと計算群論で得られるアルゴリズムの知識の組み合わせに依存している。 ^{[42]群論の応用は数学に限定されず、}物理学、化学、コンピュータサイエンスなどの科学もこの概念の恩恵を受けている。

整数や有理数などの多くの数体系は、自然に与えられた群構造を持ちます。有理数の場合など、加算と乗算の両方の演算が群構造を生み出す場合もあります。このような数体系は、環や体として知られるより一般的な代数構造の前身です。さらに抽象的な代数概念であるモジュール、ベクトル空間、代数も群を形成します。

⁠ ⁠で表される加法による整数群については、上で説明しました。加法の代わりに乗法の演算を行う整数は、群を形成しません。結合公理と恒等公理は満たされますが、逆は存在しません。たとえば、は整数ですが、この場合の方程式の唯一の解は⁠ ⁠であり、これは有理数ではありますが整数ではありません。したがって、のすべての要素に（乗法的な）逆が存在するわけではありません。^[i]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle a\cdot b=1}$${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

乗法逆数の存在への欲求は分数を考慮することを示唆する。 $${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

整数の分数（非ゼロ）は有理数として知られています。^[j]このような既約分数全体の集合は、一般的に⁠ ⁠ と表記されます。 ⁠ ⁠ 、つまり乗法を伴う有理数が群になるには、まだ小さな障害があります。ゼロには乗法逆数がないため（つまり、⁠ ⁠となるものが存在しないため）、依然として群ではありません。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cdot 0=1}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

しかし、すべての非ゼロ有理数全体の集合は、乗法の下でアーベル群を形成し、⁠ ⁠とも表記されます。^[k]結合法則と単位元公理は、整数の性質から導かれます。2つの非ゼロ有理数の積がゼロになることは決してないため、ゼロを除去した後でも閉包要件は依然として成り立ちます。最後に、 ⁠ ⁠ の逆は⁠ ⁠であるため、逆元の公理は満たされます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle b/a}$

有理数（ゼロを含む）も加法のもとで群を形成します。加法と乗法を絡み合わせると、環と呼ばれるより複雑な構造が生まれ、また、たとえば のようにゼロ以外による除算が可能な場合は、体が形成されます。これらは抽象代数学において中心的な位置を占めています。したがって、群論的議論は、これらの実体の理論の一部に基礎を置いています。^[l]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

を法 とするモジュラ演算では、 の倍数だけ異なる任意の2 つの要素とが同等であると定義され、⁠ ⁠で表されます。すべての整数は⁠ ⁠ から⁠ ⁠までの整数のいずれかに相当し、モジュラ演算の演算では、任意の演算の結果をその同等の代表値で置き換えることにより、通常の演算が変更されます。 ⁠ ⁠ から ⁠ ⁠までの整数に対してこのように定義されるモジュラ加算は、を単位元、 を⁠ ⁠の逆元とする、または⁠ ⁠ ⁠で表されたグループを形成します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-a}$${\displaystyle a}$

よく知られている例としては、時計の文字盤上の時間の加算があります。ここでは、恒等式の代表として 0 ではなく 12 が選択されます。時針がオンで時間進んでいる場合、図に示すように、時針は⁠ ⁠になります。これは、 が「⁠ ⁠を法として」と一致すると表現されます。記号では、 ${\displaystyle 9}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 9+4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 12}$$${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

任意の素数⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle p}$⁠ ⁠を法とする整数の乗法群${\displaystyle p}$も存在します。^[43]その要素は ⁠ ⁠から⁠ ⁠で表すことができます。群演算である ⁠ ⁠ を法とする乗算は、通常の積をその代表値である⁠ ⁠で割った余りに置き換えます。たとえば⁠ ⁠ ⁠の場合、群の4つの要素は⁠ ⁠ ⁠で表すことができます。この群では、⁠ ⁠は、通常の積が⁠ ⁠と同等であるため、それを ⁠ ⁠ で割ると⁠ ⁠の余りが得られます。 が素数であることは、2つの代表値の通常の積が⁠ ⁠で割り切れないこと、したがってモジュラー積がゼロ以外になることを保証します。^{[m]単位元は}⁠ ⁠で表され 、結合法は整数の対応する特性から得られます。最後に、逆元公理は、 ⁠ ⁠で割り切れない整数が与えられたとき、 ⁠ ⁠ を割り切る整数が存在すること を要求します。逆元は 、ベズーの恒等式と、最大公約数が⁠ ⁠に等しい という事実を使用して見つけることができます。^[44]上記の場合、 ⁠ ⁠ で表される元の逆元は⁠ ⁠で表される元であり、 ⁠ ⁠ で表される元の逆元は⁠ ⁠で⁠ ⁠として表されます 。したがって、すべての群公理が満たされます。この例は上記の例に似ており、環内の乗法逆元を持つ要素のみで構成されています。^[45] ⁠ ⁠と表記されるこれらの群は、公開鍵暗号にとって重要です。^[n]${\displaystyle 1}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 1,2,3,4}$${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle a\cdot b-1}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gcd(a,p)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$

巡回群とは、そのすべての元が特定の元のべき乗である群である。^[46]乗法表記では、群の元は であり、は⁠ ⁠を意味し、 ⁠ ⁠などを表す。 ^[o]このような元は、群の生成元または原始元と呼ばれる。加法表記では、元が原始的であるための要件は、群の各元が次のように書けることである。 ${\displaystyle a}$$${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle a\cdot a}$${\displaystyle a^{-3}}$${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

上で紹介した群では、元は原始的であるため、これらの群は巡回的です。実際、各元は、そのすべての項が⁠ ⁠である和として表現できます。元を持つ任意の巡回群は、この群と同型です。巡回群の2番目の例は、⁠ ⁠を満たす複素数で与えられる、⁠ ⁠番目の複素根の群です。これらの数は、 ⁠ ⁠の図で青で示されているように、正多角形の頂点として視覚化できます。群の演算は複素数の乗算です。図では、 を乗算すると、反時計回りに60°回転します。^[47]体理論から、群は素数に対して巡回的です。たとえば、⁠ ⁠の場合、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠であるため、 は生成元です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{n}=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=6}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3^{1}=3}$${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$

いくつかの巡回群は無限個の元を持つ。これらの群では、すべての非ゼロ元⁠ ⁠${\displaystyle a}$に対して、 のすべてのべき乗は異なる。「巡回群」という名前にもかかわらず、元のべき乗は循環しない。無限巡回群は、上で紹介した加法による整数群⁠ ⁠と同型である。 ^[48]これら2つのプロトタイプは両方ともアーベル群であるため、すべての巡回群もアーベル群である。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

有限生成アーベル群の研究は、有限生成アーベル群の基本定理を含め、かなり成熟しており、この状況を反映して、中心や交換子などの多くの群関連の概念は、与えられた群がアーベル群でない程度を記述している。^[49]

対称群は、与えられた数学的対象、主に幾何学的実体の対称性からなる群であり、例えば上記の入門例として挙げた正方形の対称群などであるが、ガロア理論で扱われる多項式方程式の根の間の対称性など、代数学でも生じる（下記参照）。^[51]概念的には、群論は対称性の研究と考えることができる。^[p] 数学における対称性は、幾何学的または解析的な対象の研究を大幅に簡素化する。群が他の数学的対象に作用するとは、群のすべての要素が⁠ ⁠${\displaystyle X}$に対する何らかの演算に関連付けることができ、${\displaystyle X}$これらの演算の合成が群法則に従う場合を言う。例えば、(2,3,7)三角形群の要素は、三角形を並べ替えることによって双曲面の三角形タイル張りに作用する。[ 50 ]群の^作用によって、群のパターンは作用を受ける対象の構造と結び付けられる。

化学では、点群は分子の対称性を記述し、空間群は結晶学において結晶の対称性を記述します。これらの対称性はこれらのシステムの化学的および物理的挙動の基礎を成しており、群論はこれらの特性の量子力学的分析を簡素化することを可能にします。^[52]たとえば、群論は、特定の量子レベル間の光学遷移が、関与する状態の対称性のためだけに発生することはできないことを示すために使用されます。^[53]

群論は、例えば立方晶から四面体結晶への相転移などの物質の物理的性質の変化を予測するのに役立ちます。一例として強誘電体材料が挙げられます。強誘電体材料では、常誘電状態から強誘電状態への変化がキュリー温度で起こり、高対称性の常誘電状態から低対称性の強誘電状態への変化と関連しており、いわゆるソフトフォノンモード、つまり遷移時にゼロ周波数になる振動格子モードを伴います。^[54]

このような自発的な対称性の破れは素粒子物理学の分野でさらに応用されており、その発生はゴールドストーン粒子の出現と関連している。^[55]

マシュー群などの有限対称群は符号理論で使用され、符号理論は伝送データの誤り訂正やCDプレーヤーに応用されている。^[59]もう1つの応用は微分ガロア理論で、これは規定された形式の原始導関数を持つ関数を特徴付け、特定の微分方程式の解が適切に動作する群論的基準を与える。^{[q]群作用下で安定を保つ幾何学的性質は}、（幾何学的） 不変理論で研究されている。^[60]

行列群は、行列と行列の乗算から構成されます。一般線型群は、 実数要素を持つすべての可逆な⁠ ⁠行⁠ ⁠列の行列から構成されます。 ^[61]その部分群は、行列群または線型群と呼ばれます。上記の二面体群の例は、（非常に小さな）行列群と見なすことができます。もう1つの重要な行列群は、特殊直交群です。これは、次元内のすべての可能な回転を記述します。この群の回転行列は、コンピュータグラフィックスで使用されます。^[62]${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle n}$

表現論は群の概念の応用であり、群をより深く理解するために重要である。^{[63] [64]}表現論は、群が他の空間に及ぼす群の作用によって群を研究する。群の表現の広いクラスは、3次元ユークリッド空間 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$などのベクトル空間に群が作用する線型表現である。次元実ベクトル空間上の群の表現は、単に群から一般線型群への群準同型である 。このようにして、抽象的に与えられる群演算は行列の乗算に変換され、明示的な計算にアクセス可能になる。^[r]${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

群作用は作用を受ける対象を研究するためのさらなる手段を与える。^[s]一方、群に関する情報も得られる。群表現は有限群、リー群、代数群、位相群、特に（局所的に）コンパクト群の理論における組織化原理である。^{[63] [65]}

ガロア群は、多項式方程式の対称性を捉えることで、多項式方程式を解くために開発された。^{[66] [67]}たとえば、2次方程式 の解は次のように表される 。各解は、符号をまたはに 置き換えることで得られる。3次方程式と4次方程式では類似の公式が知られているが、5次以上では一般には存在しない。 ^[68] 2次方程式の式では、符号を変更する（結果として得られる2つの解を並べ替える）ことは、（非常に単純な）群演算と見なすことができる。類似のガロア群は、より高次の多項式方程式の解に作用し、その解の公式の存在と密接に関連している。これらの群の抽象的な性質（特に可解性）は、上記の式と同様に、加算、乗算、および根のみを使用してこれらの多項式の解を表現できるかどうかの基準となる。^[69]${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$${\displaystyle \pm }$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$

現代のガロア理論は、体論に移行し、多項式の分解体として形成される体の拡大を考慮することで、上記のタイプのガロア群を一般化します。この理論は、ガロア理論の基本定理を介して、体と群の間の正確な関係を確立し、数学における群の普遍性を再び強調しています。^[70]

群が有限であるとは、その群が有限個の要素を持つ場合である。要素の数は群の順序と呼ばれる。 ^[71]重要なクラスは対称群 、すなわちオブジェクト${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$の順列の群である。例えば、3 文字の対称群は、オブジェクトのすべての可能な並べ替えの群である。3 つの文字 ABC は、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA に並べ替えることができ、合計 6 ( 3 の階乗) 個の要素を形成できる。群演算はこれらの並べ替えの合成であり、単位元は順序を変更しない並べ替え演算である。このクラスは、ケイリーの定理に従って、任意の有限群を適切な整数⁠ ⁠の対称群のサブグループとして表現できる限りにおいて基本的である。上記の正方形の対称群と平行して、正三角形の対称群としても解釈できる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

群内の元の位数は、 ⁠ ⁠となる最小の正の整数です。ここで、は 、演算「⁠ ⁠ 」を⁠ ⁠のコピーに適用することを表します 。(「⁠ ⁠」が乗算を表す場合、 は⁠ ⁠の⁠ ⁠乗に対応します。) 無限群では、このような が存在しない可能性があり、その場合、 の位数は無限大であると言われます。元の位数は、この元によって生成される巡回部分群の位数に等しくなります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a^{n}=e}$${\displaystyle a^{n}}$$${\displaystyle \underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},}$$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$

より洗練された計数技法、例えば剰余類を計数すると、有限群についてのより正確な記述が得られます。ラグランジュの定理は、有限群に対して、任意の有限部分群の位数が⁠ ⁠の位数を割り切ることを述べています。シローの定理は、部分的な逆を与えます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

正方形の対称性の二面体群は、位数 8 の有限群です。この群では、 の位数は4 で、この要素が生成する部分群の位数も同じです。反射要素などの位数は2 です。ラグランジュの定理で予測されるように、両方の位数は 8 を割り切れます。素数を法とする乗法の群の位数は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p-1}$

任意の有限アーベル群は有限巡回群の積に同型である。この記述は有限生成アーベル群の基本定理の一部である。

素数位数の任意の群は巡回群と同型である（ラグランジュの定理の結果）。位数の任意の群はアーベル群であり、または⁠ ⁠と同型である。しかし、位数の非アーベル群も存在する。上記の位数の二面体群はその一例である。^[72]${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}}$${\displaystyle p^{3}}$${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$${\displaystyle 2^{3}}$

群がとそれ自身以外の正規部分群を持つ場合、 についての質問はと⁠ ⁠についての質問に簡約できることがあります。非自明な群は、そのような正規部分群を持たない場合、単純群と呼ばれます。有限単純群は有限群に対して素数と正の整数の関係に似ています。つまり、ジョルダン・ヘルダーの定理によって明確にされた意味で、構成要素として機能します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$

コンピュータ代数システムは、2000 までの位数のすべての群をリストするために使用されてきました。^[t] しかし、すべての有限群を分類することは、解決するには難しすぎる問題であると考えられています。

すべての有限単純群の分類は、現代の群論における大きな成果であった。そのような群にはいくつかの無限族があり、またどの族にも属さない「散在群」が26ある。最大の散在群はモンスター群と呼ばれる。リチャード・ボルチャーズによって証明されたモンスター・ムーンシャイン予想は、モンスター群を特定のモジュラー関数に関連付けている。^[73]

単純群の分類と全群の分類との間のギャップは、拡張問題にある。^[74]

グループの同等の定義は、グループ公理の「存在する」部分を、結果が必ず存在する要素となる演算に置き換えることです。したがって、グループとは、2 項演算(グループ演算)、単項演算(逆演算を提供)、およびオペランドがなく単位元となるゼロ項演算を備えたセットです。それ以外では、グループ公理はまったく同じです。この定義の変形は、存在量指定子を回避し、グループを使用した計算やコンピューター支援証明に使用されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G}$

この群の定義方法は、カテゴリ内の群オブジェクトの概念などの一般化に役立ちます。簡単に言えば、これは群の公理を模倣した射を持つオブジェクトです。 ^[75]

いくつかの位相空間は群法則を備えている場合がある。群法則と位相がうまく絡み合うためには、群演算は連続関数でなければならない。非公式には、とが少ししか変化しない場合に大きく変化してはならない。このような群は位相群と呼ばれ、位相空間のカテゴリにおける群オブジェクトである。^[76]最も基本的な例は、加算における実数群と乗算における非零実数群である。同様の例は、複素数体やp進数体など、他の任意の位相体から形成できる。これらの例は局所コンパクトであるため、ハール測度を持ち、調和解析を介して研究できる。他の局所コンパクトな位相群には、局所体またはアデール環上の代数群の点の群があり、これらは数論の基礎である。^{[77]無限代数体拡大のガロア群は、}無限ガロア理論で役割を果たすクルル位相を備えている。^[78]代数幾何学で使われる一般化はエタール基本群である。^[79]${\displaystyle g\cdot h}$${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

リー群は微分可能多様体の構造も持つ群である。非公式には、これは局所的に何らかの固定次元のユークリッド空間のように見えることを意味する。 ^{[80]ここでも、定義では追加の構造、ここでは多様体構造が互換性を持つことが要求される。つまり、乗算と逆写像は}滑らかであることが要求される。

標準的な例としては、上で紹介した一般線型群が挙げられる。これは、-行-列行列を表す不等式で与えられるため、すべての-行-列行列 の空間の開集合である。^[81]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \det(A)\neq 0,}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

リー群は現代物理学において基本的な重要性を持っている。ノイマンの定理は連続対称性と保存量を結び付けている。^[82] 回転、ならびに空間および時間における並進は、力学法則の基本的な対称性である。例えば、それらを使用して単純なモデルを構築することができる。たとえば、状況に軸対称性を課すと、通常、物理的な記述を提供するために解く必要のある方程式が大幅に単純化される。^{[u]もう1つの例は、}ローレンツ変換の群であり、これは、相対的に運動している2人の観測者の時間と速度の測定値を関連付ける。それらは、変換をミンコフスキー空間の回転対称性として表現することにより、純粋に群論的な方法で演繹することができる。後者は、有意な重力がない場合、特殊相対性理論における時空のモデルとして役立つ。^[83]ミンコフスキー空間の完全な対称群、すなわち平行移動を含む対称群はポアンカレ群として知られています。これにより、ポアンカレ群は特殊相対論において重要な役割を果たし、暗黙のうちに量子場の理論においても重要な役割を果たします。^[84]場所によって変化する対称性は、ゲージ理論の助けを借りた物理的相互作用の現代的な記述の中心です。ゲージ理論の重要な例は標準モデルであり、これは4つの既知の基本的な力のうち3つを記述し、すべての既知の素粒子を分類します。^[85]

群を定義する公理のいくつかを緩和することで、より一般的な構造を定義できます。^{[31] [86] [87]}表には、群を一般化するいくつかの構造のリストが示されています。

たとえば、すべての要素に逆元が存在するという要件が排除された場合、結果として得られる代数構造はモノイドと呼ばれます。自然数 (ゼロを含む) は加算の下でモノイドを形成し、非ゼロの整数は乗算の下でモノイドを形成します。モノイドのすべての要素の逆元を結合するとグループ⁠ ⁠が生成され、同様に任意の (アーベル) モノイド ⁠ ⁠ の逆元を結合すると、⁠ ⁠のグロタンディーク群と呼ばれるグループが生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$${\displaystyle (\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

群は、すべての射が同型である ⁠ ⁠ 対象 ⁠ ⁠ を持つ小さなカテゴリと考えることができます。そのようなカテゴリが与えられた場合、集合は群です。逆に、群⁠ ⁠が与えられた場合、 ⁠ ⁠である⁠ ⁠ 対象⁠ ⁠を持つ小さなカテゴリを構築できます。より一般的には、群素とは、すべての射が同型である小さなカテゴリです。群素では、カテゴリ内のすべての射の集合は通常、群ではありません。これは、構成が部分的にしか定義されていないためです。⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠のソースが⁠ ⁠のターゲットと一致する場合にのみ定義されます。群素は、位相幾何学 (たとえば、基本群素) やスタックの理論で発生します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)\simeq G}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

最後に、これらの概念はいずれも、二項演算をn項演算（つまり、 n個の引数を取る演算、 nは非負の整数）に置き換えることで一般化することができます。群の公理を適切に一般化すると、 n項群の概念が得られます。^[88]

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