リング（数学）

数学において、環は体を一般化する代数構造です。乗法は可換である必要はなく、乗法の逆が存在する必要もありません。非公式には、環は整数の加算と乗算に類似した特性を満たす2 つの二項演算を備えた集合です。環の要素は整数や複素数などの数値である場合がありますが、多項式、正方行列、関数、およびべき級数などの非数値オブジェクトである場合もあります。

正式には、環は加算と 乗算と呼ばれる 2 つの二項演算を備えた集合であり 、環は加算演算子に関して アーベル群であり、乗算演算子は結合的であり、加算演算に対して分配的であり、乗法単位元を持ちます。(一部の著者は、乗法単位元を必要とせずに環を定義し、代わりに上記で定義された構造を単位元 を持つ環と呼んでいます。§定義のバリエーションを参照してください。)

環が可換であるかどうかは、その動作に深い意味を持ちます。可換環の理論である可換代数は、環理論の主要分野です。その発展は、代数的数論と代数幾何学の問題とアイデアに大きく影響されてきました。最も単純な可換環は、ゼロでない元による除算が可能な環であり、そのような環は体と呼ばれます。

可換環の例には、標準的な加法と乗法を持つ整数の集合、加法と乗法を持つ多項式の集合、アフィン代数多様体の座標環、数体の整数の環などがあります。非可換環の例には、 n ≥ 2のn × n実数正方行列の環、表現論における群環、関数解析における作用素環、微分作用素の環、位相幾何学におけるコホモロジー環などがあります。

環の概念化は 1870 年代から 1920 年代にかけて行われ、デデキント、ヒルベルト、フランケル、ネーターが主要な貢献を果たしました。環は最初、数論に現れるデデキント域、および代数幾何学と不変量論に現れる多項式環と不変量環の一般化として形式化されました。後に、幾何学や解析学など、数学の他の分野でも有用であることが証明されました。

環とは、 2つの二項演算^{[a] + (加算)と⋅ (乗算)を備えた}集合 Rであり、環公理と呼ばれる次の3つの公理集合を満たす: ^{[1] [2] [3]}

1. R は加法に関してアーベル群であり、次のことを意味します。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 ( a + b ) + c = a + ( b + c )です(つまり、+は結合的です)。
   • Rのすべてのa、bについて、 a + b = b + a が成り立ちます(つまり、 +は可換です)。
   • Rには、Rのすべてのaに対してa + 0 = aとなる元0が存在する(つまり、0は加法単位元である)。
   • R内の各aに対して、 R内に− a が存在し、 a + (− a ) = 0となります(つまり、− aはaの加法逆数です)。
2. R は乗算に関してモノイドであり、次のことを意味します。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 ( a · b ) · c = a · ( b · c )である（つまり、⋅は結合的である）。
   • Rには元1が存在し、 Rのすべてのaに対してa · 1 = aかつ1 · a = aが成り立つ（つまり、1は乗法単位元である）。^[b]
3. 乗算は加算に対して 分配的であり、次のようになります。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )です(左分配法則)。
   • Rのすべてのa、b、cについて、 ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a )である(右分配法則)。

表記上、乗算記号·は省略されることが多く、その場合a · b はabと表記されます。

この記事の用語では、環は乗法単位元を持つと定義されていますが、同じ公理的定義を持ちながら乗法単位元を必要としない構造は、代わりに「i」が欠けた「rng」（IPA: / r ʊ ŋ /）と呼ばれます。たとえば、通常の + と ⋅ を持つ偶数の集合はrng ですが、環ではありません。以下の§ 歴史で説明するように、多くの著者は乗法単位元を必要とせずに「環」という用語を適用しています。

環の加算は可換ですが、環の乗算は可換である必要はありません。つまり、 ab はbaと必ずしも等しい必要はありません。乗算の可換性も満たす環 (整数の環など) は、可換環と呼ばれます。可換代数や代数幾何学に関する書籍では、用語を簡略化するために、環は可換環を意味するという慣例が採用されることがよくあります。

環では、乗法逆元が存在する必要はありません。すべての非ゼロ元に乗法逆元が存在する非ゼロ可換環は、体と呼ばれます。

環の加法群は、加法演算のみを備えた基底集合です。定義では加法群がアーベル群であることが要求されますが、これは他の環公理から推論できます。^[4]証明は「1」を使用しており、rng では機能しません。(rng の場合、加法の交換公理を省略すると、積である要素についてのみ、残りの rng 仮定から推論できます: ab + cd = cd + ab。)

結合的である乗算を必要としない構造を指すために「環」という用語を使用する著者が数人います。^[5]これらの著者にとって、すべての代数は「環」です。

環の最も身近な例は、すべての整数の集合である。${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$これは、

${\displaystyle \dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots }$

環の公理は、整数の加算と乗算のよく知られた性質の一般化として詳しく説明されました。

環のいくつかの基本的な性質は、公理から直接導かれます。

• 加法アイデンティティは一意です。
• 各要素の加法逆数は一意です。
• 乗法的な恒等式は一意です。
• 環Rの任意の元xに対して、x 0 = 0 = 0 x（ゼロは乗算に関して吸収元である）かつ(–1) x = – xが成り立ちます。
• 環Rにおいて0 = 1の場合（またはより一般的には、0は単位元）、Rには元が 1 つだけあり、零環と呼ばれます。
• 環Rが零環を部分環として含む場合、R自体は零環である。^[6]
• 二項式は、 xy = yxを満たす任意のxとyに対して成立します。

セットに次の操作を装備します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$

• ⁠ ⁠の合計は、整数x + yを4で割ったときの余りです( x + yは常に8より小さいので、この余りはx + yまたはx + y − 4のいずれかです)。たとえば、${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• ⁠ ⁠の積は、整数xy を4で割ったときの余りです。たとえば、${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

すると⁠ ⁠ は${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$環になります。各公理は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$の対応する公理から導かれます。xが整数の場合、 xを4で割った余りは⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$の元と見なすことができ、この元は「x mod 4」またはと表記されることが多く、0、1、2、3の表記と一致します。 ⁠ ⁠の任意の の加法逆元は、たとえば、${\displaystyle {\overline {x}},}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

⁠ ⁠ には${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$部分環⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$があり、が素数の場合、⁠ ⁠には部分環がありません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

体Fの要素を持つ2行2列の正方行列の集合は^{[7] [8] [9] [10]}である。

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

行列の加算と乗算の演算により、は上記の環の公理を満たします。 元は環の乗法単位元です。かつの場合、この例は環が非可換であることを示しています。 ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$

より一般的には、可換か否かを問わず任意の環Rと任意の非負整数nに対して、 Rを要素とするn次元の正方行列は環を形成します。行列環を参照してください。

環の研究は、多項式環の理論と代数的整数の理論から始まった。^[11] 1871年、リチャード・デデキントは数体の整数環の概念を定義した。^{[12]この文脈で、彼は「理想」（}エルンスト・クンマーの理想数の概念に触発された）と「モジュール」という用語を導入し、それらの特性を研究した。デデキントは「環」という用語は使用せず、一般的な設定で環の概念を定義しなかった。

「Zahlring」（数環）という用語は、 1892年にデイヴィッド・ヒルベルトによって造られ、1897年に発表されました。 ^[13] 19世紀のドイツ語で、「Ring」という単語は「関連付け」を意味し、これは今日でも英語で限定的な意味で使用されています（たとえば、スパイリング）^[要出典] 。したがって、それが語源であれば、「group」が「関連するものの集まり」を表す非専門用語として数学に登場した方法に似ています。ハーヴェイ・コーンによれば、ヒルベルトは、（同値性の意味で）それ自身の要素に「直接戻ってくる」性質を持つ環に対してこの用語を使用しました。^[14]具体的には、代数的整数の環では、代数的整数のすべての高次累乗は、固定されたセットの低次累乗の整数の組み合わせとして表すことができ、したがって累乗は「循環して戻ります」。たとえば、a ³ − 4 a + 1 = 0の場合：

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

などなど、一般に、a ^{n は}1、a、およびa ²の整線形結合になります。

環の最初の公理的定義は1915年にアドルフ・フランケルによって与えられたが^{[15] [16]}、彼の公理は現代の定義よりも厳密であった。例えば、彼はすべての非零約数に逆数があることを要求した。^[17] 1921年にエミー・ネーターは可換環（1の有無にかかわらず）の現代的な公理的定義を与え、論文「環に関する理想論」で可換環論の基礎を展開した。^[18]

フランケルの「環」の公理には乗法単位元が含まれていたが^[19]、ネーターの公理には含まれていなかった^{[18] 。}

1960年頃までの代数学に関する書籍のほとんど、あるいはすべて^{[20] [21]}は、「環」に1を必要としないというノイマンの慣例に従っていた。1960年代から、「環」の定義に1の存在を含める書籍がますます一般的になり、特にアルティン^{[22] 、ブルバキ[23]}、アイゼンバッド^{[24 ]、ラング[3]}などの著名な著者による高度な書籍で多く見られるようになった。2022年になっても、1を必要とせずにこの用語を使用している書籍が出版されている。^{[25] [26] [27] [28]}同様に、数学百科事典では環に単位元は必要とされていない。^[29]研究論文では、著者が論文の冒頭でどの環の定義を使用しているかを指定することが多い。

ガードナーとウィーガントは、環のカテゴリ内の複数のオブジェクトを扱う場合（固定された環を扱う場合とは対照的に）、すべての環が 1 を持つことを要求すると、環の無限直和が存在しない、環の適切な直和は部分環ではないなどの結果が生じると主張している。彼らは、「環理論の多くの、おそらくほとんどの分野で、単位元の存在の要件は理にかなっていないため、受け入れられない」と結論付けている。^[30] プーネンは、環の自然な概念は直和ではなく直積であるという反論を行っている。しかし、彼の主な議論は、乗法的単位元を持たない環は、空列を含む環元の有限列の積を含まないという意味で、完全に結合的ではないというものである。^{[c] [31]}

「リング」という用語の使用に関していずれかの規則に従う著者は、他の規則を満たすオブジェクトを参照するために、次のいずれかの用語を使用できます。

• 乗法的単位元を要件とする：「単位環」、「単位環」、「単位元を持つ環」、「単位元を持つ環」、「単位を持つ環」^[32]または「1を持つ環」^{[33] 。}
• 乗法的な単位元の必要性を省略するために、「rng」^[34]または「擬似環」^{[35]という}語が使われるが、後者は他の意味も持つため混乱を招く可能性がある。

• 典型的な例は、加算と乗算の 2 つの演算を持つ整数の環です。
• 有理数、実数、複素数は、体と呼ばれる型の可換環です。
• 可換環 R上の単位結合代数は、それ自体が環であると同時にR加群でもある。いくつか例を挙げる。
  • Rに係数を持つ多項式の代数R [ X ]。
  • Rの係数を持つ形式的なべき級数の代数。${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$
  • 実数直線上で定義されたすべての連続実数値関数の集合は、可換代数を形成します。演算は関数の各点の加算と乗算です。${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • X を集合、R を環とします。すると、XからRへのすべての関数の集合は環を形成し、Rが可換であれば環も可換になります。
• 二次整数の環、 ⁠ ⁠の二次拡大における⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$の整閉包。これはすべての代数的整数の環の部分環です。${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• 無限整数環 ⁠${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ ⁠ は、すべての素数p上のp進整数環⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$の (無限) 積です。
• ヘッケ環、ヘッケ演算子によって生成される環。
• Sが集合である場合、加算を集合の対称差、乗算を交差と定義すると、 Sの冪集合は環になります。これはブール環の例です。

• 任意の環Rと任意の自然数nに対して、 Rからの要素を持つすべてのn行n列の正方 行列の集合は、行列の加算と行列の乗算を演算として持つ環を形成します。n = 1の場合、この行列環はR自身と同型です。 n > 1 の場合（かつR が零環でない場合）、この行列環は非可換です。
• Gがアーベル群である場合、Gの自己準同型は環、つまりGの 自己準同型環End( G )を形成します。この環における演算は、自己準同型の加算と合成です。より一般的には、V が環R上の左加群である場合、すべてのR線型写像の集合は環を形成します。この環は自己準同型環とも呼ばれ、End _R ( V )と表記されます。
• 楕円曲線の自己準同型環。楕円曲線が特性 0 の体上で定義されている場合、それは可換環です。
• Gが群でR が環である場合、 R上のGの群環は、 G を基底とするR上の自由加群です。乗算は、 Gの元がRの元と交換され、群Gの場合と同じように乗算されるという規則によって定義されます。
• 微分作用素の環（文脈によって異なります）。実際、解析に現れる環の多くは非可換です。たとえば、ほとんどのバナッハ代数は非可換です。

• 通常の演算による自然数 集合⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$は環ではありません。なぜなら⁠ ⁠ は${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$群ですらないからです(すべての要素が加算に関して可逆というわけではありません。たとえば、 3に加算して結果として0になる自然数は存在しません)。負の数を含めて整数の環を生成することにより、それを環に拡大する自然な方法があります⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$自然数 ( 0を含む) は、半環(加法逆の公理を除く環の公理をすべて備えています)と呼ばれる代数構造を形成します。
• R を、関数に依存する有界区間の外側で消える実数直線上のすべての連続関数の集合とします。加算は通常どおりですが、乗算は畳み込みとして定義されます。このとき、Rは rng ですが、環ではありません。ディラックのデルタ関数は乗法単位関数の特性を持っていますが、関数ではないため、 Rの要素ではありません 。$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$

それぞれの非負整数nに対して、 Rのn要素のシーケンスが与えられると、積を再帰的に定義できます。つまり、1 ≤ m ≤ nに対してP ₀ = 1およびP _m = P _{m −1} a _mとします。 ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$

特別な場合として、環の元aの非負整数乗を定義できます: n ≥ 1に対してa ⁰ = 1かつa ⁿ = a ^{n −1} a。すると、すべてのm、n ≥ 0に対してa ^{m + n} = a ^m a ⁿ。

環Rの左零因子とは、環の元aであって、 ab = 0となるRの非零元bが存在するものである。^[d]右零因子も同様に定義される。

冪零元とは、あるn > 0に対してa ⁿ = 0となるような元aのことです。冪零元の一例として、冪零行列が挙げられます。非ゼロ環の冪零元は、必ずゼロ因子になります。

べき等 元とは、 e ² = eとなる元です。べき等元の一例としては、線形代数における 射影が挙げられます。${\displaystyle e}$

単位元は、乗法逆元を持つ元aです。この場合、逆元は一意であり、a ^–1で表されます。環の単位元の集合は、環の乗法による群です。この群は、 R ^×またはR *またはU ( R )で表されます。たとえば、Rが体上のサイズnの正方行列全体の環である場合、 R ^{× は}サイズnの可逆行列全体の集合で構成され、一般線型群と呼ばれます。

Rの部分集合S は、次の同値な条件のいずれかが成り立つ場合、 部分環と呼ばれます。

• R の加算と乗算は、S × S → Sの演算を与えるように制限され、 S はRと同じ乗法単位元を 持つ環になります。
• 1 ∈ Sであり、S内のすべてのx、 yに対して、要素xy、x + y、および−x はSに存在します 。
• S には、包含写像S → R が環準同型となるような環を作る演算を装備することができます。

たとえば、整数環は実数${\displaystyle \mathbb {Z} }$体の部分環であり、多項式環 の${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$部分環でもあります(どちらの場合も、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$には1 が含まれており、これはより大きな環の乗法的単位元です)。一方、偶数の部分集合⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$には単位元1 が含まれないため、 ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$⁠の部分環とは言えませんが 、 ⁠ ⁠ を${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$部分環と呼ぶことはできます。

部分環の交差は部分環である。 Rの部分集合E が与えられたとき、 Eを含むRの最小の部分環は、 Eを含む Rのすべての部分環の交差であり、これはEによって生成される部分環と 呼ばれる。

環Rについて、 Rの最小の部分環はRの特性部分環と呼ばれる。これは1と −1のコピーの加算によって生成できる。 n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n回) が 0 になる可能性がある。 n がこれが起こる最小の正の整数である場合、n はRの 特性と呼ばれる。一部の環では、任意の正の整数nに対してn · 1が 0 になることはなく、そのような環は特性 0を持つと言われる。

環Rが与えられたとき、Rのすべての元xの集合をZ( R )で表し、 x がRのすべての元と可換であるものとし、Rの 任意のyに対してxy = yx が成立するとします。このとき、Z( R )はRの部分環となり 、Rの 中心と呼ばれます。より一般的には、 Rの 部分集合Xが与えられたとき、S をXのすべての元と可換な Rのすべての元の集合とします。このとき、SはRの部分環となり 、Xの中心化元(または可換元) と呼ばれます。中心は環R全体の中心化元です 。中心の元または部分集合はRの 中心であるとされ、それらは (それぞれ個別に) 中心の部分環を生成します。

R を環とする。 Rの左イデアルは、 Rの空でない部分集合Iであり、 I内の任意のx、y、およびR内のrに対して、元x + yおよびrx がIに含まれる。RI がIのR範囲、つまり有限和の集合 を表す場合、

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I,}$

ならば、RI ⊆ Iであれば、 I は左イデアルです。同様に、右イデアルは、 IR ⊆ Iとなる部分集合Iです。部分集合Iが左イデアルと右イデアルの両方である場合、その部分集合 I は両側イデアルまたは単にイデアルと呼ばれます。片側または両側イデアルは、Rの加法部分群です。E がRの部分集合である場合、RE は左イデアルであり、 Eによって生成される左イデアルと呼ばれます。これは、 E を含む最小の左イデアルです。同様に、 Rの部分集合によって生成される右イデアルまたは両側イデアルを考えることができます。

x がRに含まれる場合、RxとxR はそれぞれ左イデアルと右イデアルであり、xによって生成される主左イデアルと主右イデアルと呼ばれます。主イデアルRxR は( x )と書きます。たとえば、2の正と負の倍数と0の集合は整数のイデアルを形成し、このイデアルは整数2によって生成されます 。実際、整数環のすべてのイデアルは主イデアルです。

群と同様に、環は非零であり、適切な非零の両側イデアルを持たない場合、 単純であると言われます。可換単純環はまさに体です。

環は、そのイデアルに特別な条件を課して研究されることが多い。たとえば、左イデアルの厳密に増加する無限連鎖が存在しない環は、左ノイデアル環と呼ばれる。左イデアルの厳密に減少する無限連鎖が存在しない環は、左アルティン環と呼ばれる。左アルティン環が左ノイデアルであるというのは、いくぶん意外な事実である (ホプキンス-レビツキーの定理)。しかし、整数はノイデアル環ではない環を形成する。

可換環の場合、イデアルは代数学における整数の割り切れる可能性と素数への分解の古典的な概念を一般化します。Rの適切なイデアルP は、任意の元に対してまたはのいずれかが成り立つ場合、素イデアルと呼ばれます。同様に、任意のイデアルI、Jに対して、 IJ ⊆ PがI ⊆ PまたはJ ⊆ Pのいずれかが成り立つ場合、 Pは素です。この後者の定式化は、イデアルが元の一般化であるという考え方を示しています。 ${\displaystyle x,y\in R}$${\displaystyle xy\in P}$${\displaystyle x\in P}$${\displaystyle y\in P.}$

環( R , +, ⋅ )から環( S , ‡, ∗ )への準同型写像は、環演算を保存するRからSへの 関数fです。つまり、Rのすべてのa、bに対して、次の恒等式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

rng を使用している場合は、3 番目の条件は削除されます。

環準同型f は、 fへの逆準同型（つまり、逆関数である環準同型）が存在する場合、またはそれと同等にそれが全単射である場合に同型であると言われます。

例:

• 各整数x を4を法とする剰余( {0, 1, 2, 3}の範囲の数) にマッピングする関数は、環⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$から商環⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$への準同型です(「商環」は以下で定義されます)。
• u が環Rの単位元である場合、 は環準同型であり、Rの内部自己同型と呼ばれます。${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• R を素特性pの可換環とする。このとき、x ↦ x ^{p は}Rの環自己準同型であり、フロベニウス準同型と呼ばれる。
• 体拡大L / Kのガロア群は、Kへの制限が恒等写像となるLのすべての自己同型写像​​の集合です。
• 任意の環Rに対して、一意の環準同型⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \mapsto R}$と一意の環準同型R → 0が存在します。
• 環のエピモーフィズム（つまり、右消去可能写像）は必ずしも射影的である必要はありません。たとえば、一意の写像⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$はエピモーフィズムです。
• k代数からk上のベクトル空間の自己準同型代数への代数準同型は、代数の表現と呼ばれます。

環準同型f  : R → Sが与えられたとき、 fによって 0 に写像されるすべての要素の集合はfの 核と呼ばれます。核はRの両側イデアルです 。一方、  fの像は 常にイデアルであるとは限りませんが、常にSの部分環になります。

可換環RからAの中心に像が含まれる環Aへの環準同型を与えることは、R上の代数の構造をAに 与えること（特にA加群の構造を与える） と同じである。

商環の概念は商群の概念に類似している。環( R , +, ⋅ )と( R , +, ⋅ )の両側イデアル Iが与えられ、 I を( R , +)の部分群と見なすと、商環R / I はIの剰余類の集合と 次の演算を組み合わせたものである。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

Rのすべてのa、bに対して。環R / Iは因子環とも呼ばれます。

商群と同様に、x ↦ x + Iで与えられる標準準同型p  : R → R / Iが存在する。これは全射であり、次の普遍的性質を満たす。

• f  : R → Sが環準同型でf ( I ) = 0ならば、次のような唯一の準同型が存在する。${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

任意の環準同型f  : R → Sに対して、 I = ker f の普遍性を適用すると、R / ker fからfの像への同型を与える準同型が生成されます。 ${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$

環上の加群の概念は、ベクトルと体の元の乗算 (スカラー乗算) から環の元の乗算に一般化することで、体上のベクトル空間の概念を一般化します。より正確には、環 R が与えられた場合、R加群Mは、特定の公理を満たす演算R × M → M ( Mの元をRの元とMの元のすべてのペアに関連付ける)を備えたアーベル群です。この演算は一般に並置で表され、乗算と呼ばれます。加群の公理は次のとおりです。Rのすべてのa、bおよびMのすべてのx、yに対して、

M は加法に関してアーベル群である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&a(x+y)=ax+ay\\&(a+b)x=ax+bx\\&1x=x\\&(ab)x=a(bx)\end{aligned}}}$

環が非可換である場合、これらの公理は左加群を定義します。右加群は、 axの代わりにxaと書くことで同様に定義されます。これは表記の変更だけではありません。右加群の最後の公理 (つまり、x ( ab ) = ( xa ) b ) は、左乗算 (環の要素による) が右加群に使用される場合、 ( ab ) x = b ( ax )になります。

モジュールの基本的な例は、リング自体を含むイデアルです。

同じように定義されているにもかかわらず、加群の理論はベクトル空間の理論よりもはるかに複雑です。主な理由は、ベクトル空間とは異なり、加群は単一の不変量（ベクトル空間の次元）によって特徴付けられない（同型性を除く）ためです。特に、すべての加群が基底を持つわけではありません。

加群の公理は(−1) x = − xを意味します。ここで、最初のマイナスは環の加法逆数を表し、2 番目のマイナスは加群の加法逆数を表します。これを使用し、繰り返し加算を正の整数による乗算で表すと、整数の環上の加群を持つアーベル群を識別できます。

任意の環準同型は、加群の構造を誘導します。f  : R → Sが環準同型である場合、乗算rs = f ( r ) sにより、 S はR上の左加群になります。Rが可換であるか、 f ( R )がSの中心に含まれている場合、環SはR代数と呼ばれます。特に、すべての環は整数上の代数です。

RとS を環とします。すると、積 R × Sは次の自然な環構造を備えることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

すべてのr ₁、r _{2 が}Rに、s ₁、s _{2 が}Sに それぞれ属する場合。上記の加算と乗算の演算と乗法単位元(1, 1)を持つ環R × S は、 Rと Sの直積と呼ばれます。同じ構成は任意の環族に対しても成り立ちます。つまり、R _{i が}集合Iでインデックス付けされた環である場合、は成分ごとの加算と乗算を持つ環です。 ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$

R を可換環とし、i ≠ jとなるイデアルとします。このとき、中国剰余定理によれば、標準環同型性があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$$${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

「有限」直積はイデアルの直和とみなすこともできる。^[36]つまり、を環、を像の包含（特に は環であるが部分環ではない）とする。すると はRのイデアルであり、 は アーベル群の直和である（アーベル群にとって有限積は直和と同じであるため）。明らかに、このようなイデアルの直和は、  Rと同型の環の積も定義する。同様に、上記は中心冪等元によって行うことができる。 R が上記の分解を持つと仮定する。すると と書くことができる。 上の条件により、 e _{i は}中心冪等元であり、e _i e _j = 0、i ≠ j （直交）であることが分かる 。ここでも、構成を逆にすることができる。つまり、直交中心冪等元 の 1 の分割が与えられた場合、が両側イデアルであるとする。各e _{i が}直交中心冪等元の和でない場合、^[e]それらの直和は Rと同型です。 ${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$$${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$$${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$

無限直積の重要な応用は、環の射影極限の構成である（下記参照）。別の応用は、環族の制限積である（アデル環を参照）。

記号t（変数と呼ばれる）と可換環 Rが与えられたとき、多項式の集合

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

通常の加算と乗算で可換環を形成し、R を部分環として含みます。これはR上の 多項式環と呼ばれます。より一般的には、変数のすべての多項式全体の集合は可換環を形成し、 を部分環として含みます。 ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

Rが整域であれば、R [ t ]も整域であり、その分数体は有理関数体である。Rがネーター環であれば、R [ t ] はネーター環である。Rが一意の因数分解域であれば、R [ t ] は一意の因数分解域である。最後に、R [ t ]が主イデアル域である場合に限り、Rは体である。

を可換環とする。Sの 元xが与えられたとき、環準同型を考えることができる。 ${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(つまり、置換)。S = R [ t ]かつx = tならば、f ( t ) = fです。このため、多項式f はf ( t )と表記されることもあります。写像⁠ ⁠の像は${\displaystyle f\mapsto f(x)}$R [ x ]と表記され、 Rと xによって生成されるSの部分環と同じものです。

例:準同型の像を表す ${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

言い換えれば、それはt ²と t ³によって生成されるk [ t ]の部分代数です。

例: f を1 変数の多項式、つまり多項式環Rの元とします。すると、f ( x + h )はR [ h ]の元となり、f ( x + h ) – f ( x )はその環のhで割り切れます。 ( f ( x + h ) – f ( x )) / hのhに 0 を代入した結果は、 xにおける fの導関数f' ( x )となります。

置換は多項式環の普遍的性質の特殊なケースである。この性質は、環準同型とSの元xが与えられたとき、ϕに制限される唯一の環準同型が存在する、ということを述べている。^[37]たとえば、基底を選択すると、対称代数は普遍的性質を満たし、多項式環もそれを満たす。 ${\displaystyle \phi :R\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

例を挙げると、S をRからそれ自身へのすべての関数の環とする。加算と乗算は関数のそれである。x を恒等関数とする。Rの各r は定数関数を定義し、準同型R → Sが生じる。普遍性は、この写像が一意に拡張されることを示している。

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t はxに写像されます) ここで はfによって定義される多項式関数です。結果の写像は、 Rが無限大の場合にのみ単射になります。 ${\displaystyle {\overline {f}}}$

R [ t ]内の非定数単項式fが与えられたとき、 Rを含む環Sが存在し、fはS [ t ]内の線型因子の積となる。^[38]

k を代数的に閉じた体とします。ヒルベルトの零点定理は、 のすべての素イデアルの集合とk ⁿの閉じた部分多様体の集合の間に自然な一対一の対応があることを述べています。特に、代数幾何学の多くの局所的な問題は、多項式環のイデアルの生成元の研究を通じて解決できます。(グレブナー基底を参照) ${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$

他にも関連する構成がいくつかある。形式冪級数環 は形式冪級数から構成される。 ${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

収束級数の乗算と加算を模倣した乗算と加算も含まれる。R [ t ]は部分環として含まれる。形式的冪級数環は多項式環の普遍的性質を持たないため、級数は置換後に収束しない可能性がある。形式的冪級数環が多項式環よりも優れている重要な点は、局所的（つまり完全）であることだ。

R を環とする（必ずしも可換ではない）。Rの要素を持つサイズnの正方行列全体の集合は、要素ごとの加算と通常の行列乗算によって環を形成する。これは行列環と呼ばれ、 M _n ( R )と表記される。右R加群Uが与えられたとき、 Uからそれ自身へのすべてのR線型写像の集合は、関数の加算と関数の合成の乗算によって環を形成する。これはUの自己準同型環と呼ばれ、 End _R ( U )と表記される。

線型代数と同様に、行列環は自己準同型環として標準的に解釈できる。これは、次の事実の特別な場合である。 がR線型写像である場合、f はS = End _R ( U )に要素f _{ij を}持つ行列として表すことができ、その結果、環同型となる。 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

任意の環準同型R → SはM _n ( R ) → M _n ( S )を誘導する。^[39]

シュアーの補題によれば、U が単純右R加群ならば、_R ( U )は除算環となる。^[40]が単純R加群のm _iコピーの直和ならば、 ${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

アルティン・ウェダーバーンの定理は、任意の半単純環（下記参照）がこの形式であることを述べています。

環Rとその上の行列環M _n ( R )は森田同値である。すなわち、 Rの右加群のカテゴリはM _n ( R )上の右加群のカテゴリと同値である。^{[39]特に、} Rの両側イデアルはM _n ( R )の両側イデアルに一対一で対応する。

R _{i を}環の列とし、すべてのiに対してR _{i + 1}の部分環とします。このとき、 R _iの和集合 (またはフィルターされた余極限) は次のように定義される環です。これは、十分に大きい i に対して_R i_においてx = yである場合に限り、同値関係 x ~ y を法とするすべて のR iの非_隣接和集合です。${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$

余極限の例:

• 無限変数の多項式環:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• 同じ特性を持つ有限体の代数的閉包${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• 体k上の形式ローラン級数の体: (形式冪級数環の分数の体)${\displaystyle k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• 体k上の代数多様体の関数体とは、極限が空でない開部分集合Uのすべての座標環k [ U ]を通る場所です（より簡潔に言えば、ジェネリック点における構造層の茎です）。${\displaystyle \varinjlim k[U]}$

任意の可換環は有限生成部分環の余極限である。

環の射影極限（またはフィルター極限）は次のように定義されます。たとえば、正の整数上の環族R _i、iと、環準同型R _j → R _i、j ≥ iが与えられていて、 R _i → R _iがすべて恒等写像であり、k ≥ j ≥ i のときはいつでもR _k → R _j → R _iがR _k → R _iであるとします。すると、 は( x _n )から成り、R _j → R _i、j ≥ iの下でx _{j が}x _iに写像されるようなの部分環です。 ${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$

射影極限の例については、§ 完成を参照してください。

局所化は、整域の分数体の構成を任意の環と加群に一般化する。環R （必ずしも可換ではない）とRの部分集合S が与えられると、S を「反転」する環準同型を持つ環が存在する。つまり、準同型はSの元を の単位元に写し、さらに、S を「反転」するRからの任意の環準同型は、 を介して一意に因数分解される^[41 ]。この環は、 Sに関するRの局所化と呼ばれる。たとえば、R が可換環でfがRの元である場合、局所化は（正確には）の形式の元で構成される^[42]。${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

局所化は、 R内の素イデアル（または素イデアルの和集合）の補集合に関する 可換環Rによく適用されます。その場合、を と書くことがよくあります。すると、 は最大イデアルを持つ局所環になります。これが「局所化」という用語の由来です。整域Rの分数体とは、素イデアルの零点におけるRの局所化です。 が可換環Rの素イデアルである 場合、 の分数体は局所環の留数体と同じであり、 と表されます。${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

Mが左R加群である場合、Sに関するMの局所化は環の変化によって与えられる。 ${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

局所化の最も重要な性質は次の通りである：Rが可換環であり、Sが乗法的に閉じた部分集合で あるとき

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$は、 Sと交わらないRのすべての素イデアルの集合と^[43]のすべての素イデアルの集合との間の一対一集合である。${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$ fはSの要素を、割り切れるかどうかによって決まる部分順序で通過する。 ^[44]
• 局所化は正確です:がR上で正確であればいつでも、は 上で正確 です。$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• 逆に、任意の最大イデアルに対して が正確であれば、は正確です。${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• 注意: 局所化は、グローバルな存在を証明するのに役立ちません。この例の 1 つは、2 つのモジュールがすべての素イデアルで同型である場合、それらが同型であるとは限らないことです。(これを説明する 1 つの方法は、局所化によってモジュールを素イデアル上の層として見ることができるようになり、層は本質的にローカルな概念であるということです。)

圏論では、圏の局所化は、いくつかの射を同型にすることを意味します。可換環Rの要素は、任意のR加群の自己準同型として考えることができます。したがって、圏論的には、RのサブセットSに関するRの局所化は、 R加群の圏からそれ自身への関数であり、自己準同型として見たSの要素を自己同型に送り、この特性に関して普遍的です。(もちろん、R はに写像され、R加群は 加群に写像されます。) ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

R を可換環とし、I をRのイデアルと する。IにおけるRの完備化は可換環であるときの射影極限である。 Rから商への標準準同型は準同型を誘導する。後者の準同型は、 Rがネーター整域でI が真イデアルである場合、またはR が最大イデアルIを持つネーター局所環である場合、クルルの交差定理により、単射である。^{[45]この構成は、} I が最大イデアルであるときに特に有用である。 ${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$${\displaystyle R/I^{n}}$${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$

基本的な例は、素数pによって生成される主イデアル( p )での⁠ ⁠の完備化です。これは${\displaystyle \mathbb {Z} }$p進整数の環と呼ばれ、 ⁠ ⁠と表記されます。この場合の完備化は、⁠ ⁠上のp進絶対値からも構築できます。 ⁠ ⁠上のp進絶対値は、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への写像で、 によって与えられます。ここで、 は、非ゼロ整数nを素数に素因数分解する際のpの指数を表します(およびも示します)。これは⁠ ⁠ ⁠上の距離関数を定義し、⁠ ⁠を距離空間として完備化すると、 ⁠ ⁠で表されます。これは、体の演算が完備化まで拡張されるため、やはり体です。 | x | _p ≤ 1となる要素xからなる⁠ ⁠のサブリングは、⁠ ⁠と同型です 。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle |0|_{p}=0}$${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

同様に、形式冪級数環R [{[ t ]}] はR [ t ]の( t )における完備化である（ヘンゼルの補題も参照）。

完備環は可換環よりも構造がずっと単純である。これはコーエン構造定理によるもので、大まかに言えば、完備局所環は形式的な冪級数環またはその商のように見える傾向があると述べている。一方、整閉包と完備化の相互作用は、現代の可換環理論をノイマンのような人々が発展させた古典的な理論と区別する最も重要な側面の1つである。永田が発見した病的な例は、ノイマン環の役割の再検討につながり、とりわけ優れた環の定義の動機となった。

環を構成する最も一般的な方法は、生成元と関係を指定することである。F を記号の集合X を持つ自由環（つまり、整数上の自由代数）とする。つまり、F はXの要素である非可換変数に整数係数を持つ多項式で構成される。自由環は普遍性を満たす。つまり、集合Xから環Rへの任意の関数はF を介して因数分解されるため、F → R は唯一の環準同型となる。群の場合と同様に、すべての環は自由環の商として表すことができる。^[46]

ここで、商を取ることで、X内のシンボル間に関係を課すことができます。明示的には、 E がFのサブセットである場合、 Eによって生成されたイデアルによるFの商環は、生成元Xと関係Eを持つ環と呼ばれます。 ⁠ ⁠の代わりに環、たとえばA を基本環として使用した場合、結果の環はA上になります。たとえば、の場合、結果の環は、 Aの係数がXの要素である変数である通常の多項式環になります(これは、シンボルXを持つA上の対称代数と同じものです)。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$

圏論の用語では、この形成は環の圏から集合への忘却関手の左随伴関手です(自由環関手と呼ばれることもあります)。 ${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$

A、B を可換環R上の代数と する。すると、 R加群のテンソル積は、乗法が次の式で表されるR代数となる。${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

非零の零因子を持たない非零環は、領域と呼ばれます。可換領域は、整域と呼ばれます。最も重要な整域は、主イデアル領域 (略して PID) と体です。主イデアル領域は、すべてのイデアルが主である整域です。PID を含む重要な整域のクラスは、一意因数分解領域(UFD) です。これは、すべての非単位元が素元の積である整域です(素イデアルを生成する場合、その元は素です)。代数的整数論における基本的な問題は、数体の(一般化された) 整数の環 ( 「イデアル」が素因数分解できる場合) が、どの程度までPID にならないかということです。

PID に関する定理の中で最も重要なのは、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理です。この定理は、次の線形代数への応用によって説明できます。^[47] V を体k上の有限次元ベクトル空間とし、f ​​ : V → V を最小多項式qを持つ線型写像とします。すると、k [ t ] は一意の因数分解領域であるため、q は異なる既約多項式 (つまり、素元) のべき乗に因数分解されます。 $${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

V をk [ t ]加群とします。構造定理によれば、Vは巡回加群の直和であり、各加群は形式 の加群と同型です。ここで、 の場合、このような巡回加群 ( p _iに対して) には、 fの制限がジョルダン行列によって表される基底があります。したがって、たとえばk が代数的に閉じている場合、すべてのp _iはt – λ _iの形式になり、上記の分解はfのジョルダン標準形式に対応します。 ${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$

代数幾何学では、UFDは滑らかさのせいで生じる。より正確には、多様体（完全体上）の点が滑らかであるとは、その点における局所環が正則局所環であることを意味する。正則局所環はUFDである。^[48]

以下は、リング、ドメイン、フィールド間の関係を記述する クラス包含のチェーンです。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

分割環は、すべての非ゼロ元が単位元であるような環です。可換分割環は体です。体ではない分割環の代表的な例は、四元数の環です。分割環の中心化元も分割環です。特に、分割環の中心は体です。すべての有限領域 (特に有限分割環) は体であり、特に可換であることが判明しました(ウェダーバーンの小定理)。

分割環上のすべてのモジュールは自由モジュール（基底を持つ）です。したがって、線型代数の多くは、体ではなく分割環上で実行できます。

共役類の研究は、古典的な除算環理論において重要な役割を果たします。たとえば、カルタン・ブラウアー・フアの定理を参照してください。

巡回代数は、LE Dicksonによって導入され、四元数代数の一般化です。

半単純加群は単純加群の直和です。半単純環は、それ自身の左加群（または右加群）として半単純である環です。

• 除算環は半単純（かつ単純）である。
• 任意の除算環Dと正の整数nに対して、行列環M _n ( D )は半単純（かつ単純）である。
• 体kと有限群Gに対して、群環kG が半単純であるための必要十分条件は、kの標数がGの位数を割り切らないことである(マシュケの定理)。
• クリフォード代数は半単純です。

体上のワイル代数は単純環だが、半単純ではない。同じことが多変数の微分作用素環にも当てはまる。

半単純環上の任意の加群は半単純です。(証明: 半単純環上の自由加群は半単純であり、任意の加群は自由加群の商です。)

環Rの場合、以下は同値です。

• R は半単純です。
• R はアルティニアンかつセミプリミティブです。
• R は有限直積 であり、各n _{i は}正の整数であり、各D _{i は}分割環である ( Artin–Wedderburn の定理)。${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

半単純性は分離可能性と密接に関係しています。体k上の単位結合代数A は、すべての体拡大F / kに対して基底拡大が半単純である場合に分離可能であると言われます。A が体である場合、これは体理論における通常の定義と同等です (分離可能拡大を参照)。 ${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

体kに対して、k代数はその中心がkであれば中心であり、単純環であれば単純です。単純k代数の中心は体なので、任意の単純k代数はその中心上の中心単純代数です。このセクションでは、中心単純代数は有限次元であると仮定します。また、ほとんどの場合、基本体を固定します。したがって、代数はk代数を指します。環R上の大きさnの行列環は、R _nと表されます。

スコーレム・ノイマン定理は、中心単純代数の任意の自己同型は内部自己同型であることを述べています。

二つの中心単純代数AとB は、整数nとmが存在して^[49]となるとき、相似であるという。相似性は同値関係であるからである。相似類[ A ]と乗法はkのBrauer 群と呼ばれるアーベル群を形成し、 Br( k )と表記される。アルティン・ウェダーバーンの定理によれば、中心単純代数は分割環の行列環である。したがって、各相似類は一意の分割環によって表される。 ${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$

たとえば、kが有限体または代数的に閉体（より一般的には準代数的に閉体;ツェンの定理を参照）である場合、 Br( k ) は自明です。 は位数 2 です（フロベニウスの定理の特殊なケース）。最後に、k が非アルキメデス的局所体（たとえば⁠ ⁠）である場合、不変写像を通じてです。 ${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

ここで、F がkの体拡大であれば、基底拡大はBr( k ) → Br( F )を誘導する。その核はBr( F / k )と表記される。これは[ A ]から成り、 はF上の行列環である（つまり、A はFで分割される）。拡大が有限かつガロアであれば、Br( F / k ) は^[50]と正準同型である。${\displaystyle -\otimes _{k}F}$${\displaystyle A\otimes _{k}F}$${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$

東谷代数は中心単純代数の概念を可換局所環に一般化します。

Kが体の場合、付値 vは乗法群K ^∗から全順序アーベル群Gへの群準同型であり、 Kの任意のf、gでf + gが非ゼロであるものに対して、v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )} が成り立つ。vの付値環は、ゼロと、v ( f ) ≥ 0 となるすべての非ゼロfからなるKの部分環である。

例:

• 体k上の形式ローラン級数 の体には、値vが伴い、v ( f ) はfの非零項の最小次数である。 vの値環は形式冪級数環である。${\displaystyle k(\!(t)\!)}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• より一般的には、体kと全順序付きアーベル群Gが与えられたとき、Gからkへの関数でサポート（関数が非ゼロである点の集合）が整列しているものすべての集合をとします。これは、畳み込みによって与えられる乗法を持つ体です。また、 v ( f ) がfのサポートの最小の元となるような値vも伴います。有限の台を持つ元からなる部分環は、Gの群環と呼ばれます（これは、 Gが可換でなくても意味をなします）。G が整数環である場合、前の例を復元します（ f を、 n番目の係数が f ( n )である級数と同一視することによって）。${\displaystyle k(\!(G)\!)}$$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$

環は、（加算演算を使用することで）追加の​​構造、つまり環の乗算を備えたアーベル群として見ることができます。同様に、追加の構造を持つ環として考えることができる他の数学的対象があります。たとえば、

• 結合代数は、スカラー乗算が環乗算と互換性があるような、体n上のベクトル空間でもある環です。たとえば、実体⁠ ⁠上のn行n列の行列の集合は、実ベクトル空間として次元n ^{2 を}持ちます。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 環Rが位相環であるとは、その元の集合Rに、加算写像 ( ) と乗算写像⋅ : R × R → R が両方とも位相空間間の写像として連続となるような位相が与えられることである(ただし、 X × X は積位相またはカテゴリ内の他の積を継承する)。たとえば、実数上のn行n列の行列には、ユークリッド位相またはザリスキー位相のいずれかを与えることができ、どちらの場合でも位相環が得られる。${\displaystyle +:R\times R\to R}$
• λ環は、 n^次の外冪のような操作λn : R → Rを伴う可換環Rである。

  ${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y).}$

たとえば、⁠ ⁠ は${\displaystyle \mathbb {Z} }$二項係数を持つ λ 環です。この概念は、リーマン・ロッホの定理への代数的アプローチにおいて中心的なルールとなります。${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}},}$

• 全順序リングは、リング演算と互換性のある全順序を持つリングです。

さまざまな種類の数学的対象は、何らかの関連環の観点から効果的に分析できます。

任意の位相空間 Xには、その整コホモロジー環を関連付けることができる。

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

次数付き環。空間のホモロジー群も 存在し、実際これらは、点集合位相学の方法があまり適していない球面とトーラスのような位相空間の特定のペアを区別するための便利なツールとして最初に定義された。コホモロジー群は、ベクトル空間の双対にほぼ類似した方法で、ホモロジー群の観点から後に定義された。普遍係数定理により、個々の積分ホモロジー群を知ることは、個々の積分コホモロジー群を知ることと本質的に同じである。しかし、コホモロジー群の利点は、自然積があることであり、これは、 k -多重線型形式とl -多重線型形式を点ごとに乗算して ( k + l )-多重線型形式を得ることができるという観察に類似している。 ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

コホモロジーにおける環構造は、ファイバー束の特性類、多様体と代数多様体上の交差理論、シューベルト計算など の基礎となります。

任意の群にはバーンサイド環が関連付けられており、バーンサイド環は環を使用して、群が有限集合に作用できるさまざまな方法を記述します。バーンサイド環の加法群は自由アーベル群であり、その基底は群の推移的作用の集合であり、その加法は作用の互いに素な和です。作用を基底で表すということは、作用をその推移的構成要素に分解することです。乗算は表現環で簡単に表すことができます。バーンサイド環での乗算は、2 つの置換モジュールのテンソル積を置換モジュールとして記述することによって形成されます。環構造により、1 つの作用を別の作用から減算する正式な方法が可能になります。バーンサイド環は表現環の有限インデックス部分環として含まれているため、係数を整数から有理数に拡張することで、一方から他方へ簡単に渡すことができます。

任意の群環またはホップ代数には、その表現環または「グリーン環」が関連付けられます。表現環の加法群は、その基底が分解不可能な加群であり、その加法が直和に対応する自由アーベル群です。加群を基底で表すと、加群の分解不可能な分解が求められます。乗算はテンソル積です。代数が半単純な場合、表現環は単に指標理論の指標環であり、これは多かれ少なかれ、環構造が与えられた グロタンディーク群です。

任意の既約代数多様体には、その関数体が関連付けられます。代数多様体の点は、関数体 に含まれ、座標環 を含む付値環に対応します。代数幾何学の研究では、環論的性質の観点から幾何学的概念を研究するために可換代数を多用します。双有理幾何学では、関数体の部分環間の写像を研究します。

すべての単体複体には、スタンレー・ライスナー環とも呼ばれる面環が関連付けられています。この環は単体複体の多くの組み合わせ特性を反映しているため、代数的組合せ論では特に興味深いものです。特に、スタンレー・ライスナー環の代数幾何学は、単体多面体の各次元の面の数を特徴付けるために使用されました。

すべての環は、アーベル群のカテゴリAb （ -加群のテンソル積の下でのモノイドカテゴリとして考えられます）のモノイドとして考えることができます。環R のアーベル群へのモノイド作用は、単にR -加群です。本質的に、R -加群はベクトル空間の概念の一般化であり、体上のベクトル空間ではなく、「環上のベクトル空間」を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

( A , +)をアーベル群とし、 End( A ) をその自己準同型環とする（上記参照）。本質的に、End( A )はAのすべての射の集合であり、 fがEnd( A )に含まれ、g がEnd( A )に含まれる場合、次の規則を使用してf + gとf ⋅ gを計算できることに注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(g(x)),\end{aligned}}}$

ここで、f ( x ) + g ( x )の+ はAにおける加算であり、関数合成は右から左に表記されます。したがって、任意のアーベル群に関連付けられている は環です。逆に、任意の環( R , +, ⋅ )が与えられると、( R , + )はアーベル群です。さらに、Rのすべてのrについて、 rによる右 (または左) 乗算により、右 (または左) 分配法則により、 ( R , +)の射が生じます。 A = ( R , +)とします。Rの右 (または左) 乗算を「介して因数分解する」Aの自己準同型を考えます。言い換えると、End _R ( A )を、 m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x )という特性を持つAのすべての射mの集合とします。Rの任意のr はAの射、すなわちrの右乗法を生じることがわかった。実際、RからEnd _R ( A )への関数としてのAの射へのRの任意の元とのこの関連付けは、環の同型であるというのは真実である。したがって、この意味では、任意の環は、何らかのアーベルX群の自己準同型環と見なすことができます（ X群とは、 Xがその演算子の集合である群を意味します）。^{[51]本質的に、環の最も一般的な形式は、何らかのアーベル}X群 の自己準同型群です。

任意の環は、単一のオブジェクトを持つ前加法カテゴリとして見ることができます。したがって、任意の前加法カテゴリを環の一般化と見なすのは自然なことです。実際、環に対して最初に与えられた多くの定義と定理は、このより一般的なコンテキストに翻訳できます。前加法カテゴリ間の加法関数は、環準同型の概念を一般化し、加法カテゴリのイデアルは、任意の射との加算および合成に対して閉じた 射の集合として定義できます。

代数学者は環の公理の一部を弱めたり削除したりすることで、環よりも一般的な構造を定義してきました。

rngは、乗法単位元の存在が仮定されていないことを除いて、リングと同じです。^[52]

非結合環は、結合性および乗法単位元の存在を除くすべての環公理を満たす代数構造である。注目すべき例としてはリー代数が挙げられる。このような代数には、リー代数と結合代数に対する類似の結果を一般化する構造理論が存在する。^[要出典]

半環（場合によってはrig）は、（R、 + ）が可換モノイドであるという仮定に対して、 （R、 + ）がアーベル群であるという仮定を弱め、 Rのすべてのaに対して0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0という公理を追加することによって得られます（これは他の公理から従わなくなるため）。

例:

• 通常の加算と乗算による非負整数。${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$
• 熱帯半環。

C を有限積を持つカテゴリとします。pt はCの終端オブジェクト(空積)を表します。Cのリング オブジェクトは、通常のリング公理を満たす射(加算)、(乗算)、(加法恒等)、(加法逆)、 (乗法恒等)を備えたオブジェクトRです。同様に、リング オブジェクトは、点の関数をリングのカテゴリを通じて因数分解したオブジェクトRです。${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

代数幾何学において、基本スキームS上の環スキームはS -スキームのカテゴリ内の環オブジェクトです。一例として、⁠ ⁠上の環スキームW _{n が}あり、これは任意の可換環Aに対して、 A上の長さnのp -同型ウィットベクトルの環W _n ( A )を返します。^[53] ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$

代数位相幾何学において、環スペクトルは、スペクトル Xと球面スペクトルSからの乗法および単位写像S → X を組み合わせたもので、環公理図はホモトピーまで可換である。実際には、対称スペクトルのカテゴリなどのスペクトルの良いカテゴリ内のモノイドオブジェクトとして環スペクトルを定義するのが一般的です。 ${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$

特殊なタイプのリング: