代数的組み合わせ論

対称関数環は、n個の不定元に関する対称多項式環をnが無限大に近づく極限として表したものです。この環は、対称多項式間の関係を不定元nの数に依存しない形で表現できる普遍的な構造として機能します（ただし、その要素は多項式でも関数でもありません）。とりわけ、この環は対称群の表現論において重要な役割を果たします。

連想スキームは、特定の互換性条件を満たす二項関係の集合です。連想スキームは、組み合わせ設計や符号理論など、多くのトピックに対して統一的なアプローチを提供します。^{[ 2 ] [ 3 ]}代数学では、連想スキームは群を一般化し、連想スキームの理論は群の線形表現の指標理論を一般化します。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

強正則グラフは次のように定義される。頂点数v、次数kの正則グラフG = ( V , E )とする。G は、以下の条件を満たす整数λおよびμが存在する場合に強正則であると言う。

• 隣接する2つの頂点は、λ個の共通の隣接頂点を持つ。
• 隣接していない任意の2つの頂点は、μ個の共通の隣接頂点を持つ。

このようなグラフは、srg( v , k , λ, μ) と呼ばれることもあります。

^{一部の著者は、}定義を自明に満たすグラフ、すなわち、1つ以上の同サイズの完全グラフ[ ^{7 ] [ 8 ]}とその補グラフであるトゥラングラフの非交和であるグラフを除外している。

ヤング表（複数形：タブロー）は、表現論やシューベルト計算で有用な組み合わせ論的対象です。対称群や一般線形群の群表現を記述し、その性質を研究するための便利な方法を提供します。ヤング表は、 1900 年にケンブリッジ大学の数学者アルフレッド・ヤングによって導入されました。その後、1903 年にゲオルク・フロベニウスによって対称群の研究に応用されました。その理論は、パーシー・マクマホン、WVD ホッジ、G. ド・B・ロビンソン、ジャン＝カルロ・ロータ、アラン・ラスクー、マルセル＝ポール・シュッツェンベルガー、リチャード・P・スタンレーなど、多くの数学者によってさらに発展させられました。

マトロイドは、ベクトル空間における線形独立性の概念を捉え、一般化した構造である。マトロイドを定義する方法は数多く存在するが、最も重要なのは、独立集合、基底、回路、閉集合（フラット）、閉包演算子、およびランク関数を用いた定義である。

マトロイド理論は、線形代数やグラフ理論の用語を多用しているが、これは主に、これらの分野で中心的に重要なさまざまな概念を抽象化したものであるためである。マトロイドは、幾何学、トポロジー、組み合わせ最適化、ネットワーク理論、符号理論に応用されている。^{[ 9 ] [ 10 ]}

有限幾何学とは、有限個の点しか持たない幾何学的システムのことです。よく知られているユークリッド幾何学は有限ではありません。なぜなら、ユークリッド直線には無限個の点が含まれているからです。コンピュータ画面に表示されるグラフィックスに基づく幾何学（ピクセルを点とみなす）は、有限幾何学です。有限幾何学と呼ばれるシステムは数多くありますが、規則性と単純さから、主に有限射影空間と有限アフィン空間に注目が集まります。その他の重要な有限幾何学の種類としては、有限メビウス平面または反転平面、ラゲール平面（これらはベンツ平面と呼ばれる一般的なタイプの例です）、およびそれらの高次元版である高次元有限反転幾何学などがあります。

有限幾何学は、有限体上のベクトル空間から出発して線形代数を用いて構成することができます。このようにして構成されたアフィン平面と射影平面は、ガロア幾何学と呼ばれます。有限幾何学は、純粋に公理的に定義することもできます。最も一般的な有限幾何学はガロア幾何学です。なぜなら、 3次元以上の任意の有限射影空間は、有限体上の射影空間（すなわち、有限体上のベクトル空間の射影化）と同型だからです。しかし、2次元には、ガロア幾何学と同型ではないアフィン平面と射影平面、すなわち非デサルグ平面が存在します。他の種類の有限幾何学についても同様の結果が得られます。