有限リング

数学、より具体的には抽象代数学において、有限環は有限個の元を持つ環である。すべての有限体は有限環の例であり、すべての有限環の加法部分はアーベル有限群の例であるが、有限環の概念自体はより最近の歴史を持つ。

環は群よりも構造が複雑ですが、有限環の理論は有限群の理論よりも単純です。たとえば、有限単純群の分類は20 世紀数学の大きな進歩の 1 つであり、その証明は数千ページに及ぶ論文に及びました。一方、1907 年以来、任意の有限単純環は環、つまりq位の有限体上のn行n列の行列と同型であることが知られています(以下で説明する Wedderburn の定理の結果として)。 $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {F} _{q})$

m個の元 ( mは自然数)を持つ環の数は、 On-Line Encyclopedia of Integer SequencesのOEIS : A027623に記載されています。

有限体

有限体理論は、代数幾何学、ガロア理論、数論と密接な関係があるため、有限環理論の最も重要な側面であると言えるでしょう。この理論の重要な、しかしかなり古い側面は、有限体の分類です。^[1]

有限体の元の順序または数はp ^{n に}等しく、ここでpは体の特性と呼ばれる素数、n は正の整数です。
すべての素数pと正の整数nに対して、 p ⁿ元を持つ有限体が存在する。
同じ位数を持つ任意の 2 つの有限体は同型です。

分類にもかかわらず、有限体は、Kakeya 予想に関する最近の結果や、最小の原始根のサイズに関する未解決問題(数論) など、現在でも活発な研究分野です。

有限体F は、F上の n 次元のベクトル空間を構築するために使用できます。Fの要素を持つn × n行列の行列環Aはガロア幾何学で使用され、射影線型群はAの乗法群として機能します。

ウェダーバーンの定理

ウェダーバーンの小定理は、任意の有限分割環は必ず可換であると主張している。

有限環Rのすべての非ゼロ元r に逆元がある場合、R は可換である (したがって有限体である)。

ネイサン・ジェイコブソンは後に、環の可換性を保証するさらに別の条件を発見した。Rのあらゆる元rに対してr ⁿ = rとなる整数n > 1が存在する場合、R は可換であるという。^[2]環の可換性を意味するより一般的な条件も知られている。^[3]

ウェダーバーンのもう一つの定理は、結果として、有限単純環の理論が本質的に比較的簡単であることを示す結果をもたらします。より具体的には、任意の有限単純環は、位数qの有限体上のn行n列の行列である環と同型です。これは、ジョセフ・ウェダーバーンが 1905 年と 1907 年に確立した2 つの定理(そのうちの 1 つはウェダーバーンの小定理) から導かれます。 $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {F} _{q})$

列挙

(注意: このセクションの列挙には、必ずしも乗法単位元を持たない環 ( rngsと呼ばれることもあります) が含まれます。) 1964 年にDavid Singmaster はAmerican Mathematical Monthlyで次の問題を提案しました。「(1) 体ではない単位元を持つ最小の非自明な環の位数は何か? この最小位数を持つそのような環を 2 つ見つけてください。他にもありますか? (2) 位数 4 の環はいくつありますか?」 DM Bloom による 2 ページの証明^[4]で、位数 4 の環は 11 個あり、そのうち 4 個は乗法単位元を持つという解答を見つけることができます。実際、4 元環は問題の複雑さをもたらします。巡回群C _{4には 3 つの環があり、}クラインの 4 元群には 8 つの環があります。グレゴリー・ドレスデンの講義ノートには、識別ツール（冪等元、零因子、冪等元、左恒等元と右恒等元）の興味深い展示があります。^[5]

有限環における非可換性の発生は、(Eldridge 1968) の 2 つの定理で説明されています。1の有限環の位数m が立方体分解を持たない場合、その環は可換です。また、 1 の非可換有限環が素数の 3 乗の位数を持つ場合、その環は素数のガロア体上の上三角 2 × 2 行列環に同型です。素数の 3 乗の位数の環の研究は、(Raghavendran 1969) と (Gilmer & Mott 1973) でさらに発展しました。次に、Flor と Wessenbauer (1975) は素数の 3 乗の場合に改良を加えました。同型類に関する決定的な研究は、(Antipkin & Elizarov 1982) によってもたらされ、p > 2 の場合、類の数は 3 p + 50 であることが証明されました。

^{有限環の話題については、ロバート・バリウ[6]やスコルザ}^[7]などの先行研究がある。

以下は、与えられた順序の有限環の数（必ずしも 1 である必要はない）について知られている事実の一部です（pとq が異なる素数を表すと仮定します）。

位数pの有限環が 2 つあります。
pq位数の有限環は 4 つあります。
位数p ²の有限環は 11 個あります。
位数p ²qの有限環は 22 個あります。
位数 8 の有限環は 52 個あります。
位数p ³、 p > 2 の有限環は 3 p + 50 個あります。

n個の元を持つ環の数は（a (0) = 1）

1、1、2、2、11、2、4、2、52、11、4、2、22、2、4、4、390、2、22、2、22、4、4、2、104、11、4、59、22、2、8、2、>18590、4、4、4、121、2、4、4、104、2、8、2、22、22、4、2、780、11、22、...（OEISのシーケンスA027623）

参照

ガロア環、 Z / p ⁿ Zを一般化する有限可換環、有限体
環上の射影直線 § 離散環上

注記

^ (ジェイコブソン 1985、287 ページ)
^ ジェイコブソン 1945
^ Pinter-Lucke, J. (2007 年 5 月)、「環の可換性条件: 1950–2005」、Expositiones Mathematicae、25 (2): 165–174、doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001
^ シングマスター、デイビッド; ブルーム、DM (1964年10月)、「E1648」、アメリカ数学月刊誌、71 (8): 918–920、doi :10.2307/2312421、JSTOR 2312421
^ Dresden, Gregory (2005)、「4つの要素を持つリング」、2010年8月2日にオリジナルからアーカイブ、2009年7月28日に取得
^ Ballieu、Robert (1947)、「Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif」、Ann.社会科学。ブリュッセル、セリエ I、61 : 222–7、MR 0022841、Zbl 0031.10802
^ Scorza 1935、Mathematical Reviews 誌のIrving Kaplanskyによる Ballieu のレビューを参照

参考文献

アンティプキン、バージニア州。 Elizarov、VP (1982)、「Rings of order p ³」、Siberian Mathematical Journal、23 (4): 457–464、doi :10.1007/BF00968650、S2CID 121484642
ビニ、G; Flamini、F (2002)、有限可換環とその応用、Kluwer、ISBN 978-1-4020-7039-6、Zbl 1095.13032
ドレスデン、グレゴリー（2005）、Small Rings、2017-05-01にオリジナルからアーカイブワシントン・アンド・リー大学の抽象代数学（数学322）の授業で13人の学生とシーラー教授が行った研究報告書。
ジェイコブソン、ネイサン(1945)、「任意の環の根号と半単純性」、アメリカ数学誌、67 :300–320、doi :10.2307/2371731、ISSN 0002-9327、MR 0012271
ジェイコブソン、ネイサン（1985）。基礎代数I。WHフリーマン。ISBN 978-0-7167-1480-4。
エルドリッジ、KE (1968 年 5 月)、「単位元を持つ有限非可換環の順序」、アメリカ数学月刊誌、75 (5): 512–4、doi :10.2307/2314716、JSTOR 2314716
ギルマー、ロバート; モット、ジョー (1973)、「p3 位の結合環」、日本学士院紀要、49 (10): 795–9、doi : 10.3792/pja/1195519146
マクドナルド、バーナード A. (1974)、有限環とアイデンティティ、マルセル・デッカー、ISBN 978-0-8247-6161-5、ZBL 0294.16012
ラガヴェンドラン、R. (1969)、「有限結合環」、Compositio Mathematica、21 (2): 195–229、Zbl 0179.33602
スコルツァ、ガエターノ (1935)。「Le algebre regolari e le varietà di Segre che conesse si riconnettono」。ロセッティ著、パヴィア編（編）。Scritti matematici offerti a Luigi Berzolari (イタリア語)。 R. Università マテマティコ大学。
Saniga, Metod; Planat, Michel; Kibler, Maurice R.; Pracna, Petr (2007)、「小さなリング上の射影線の分類」、Chaos, Solitons & Fractals、33 (4): 1095–1102、arXiv : math/0605301、Bibcode :2007CSF....33.1095S、doi :10.1016/j.chaos.2007.01.008、MR 2318902、S2CID 8973277

外部リンク

有限可換環の分類

[1] (ジェイコブソン 1985、287 ページ)

[2] ジェイコブソン 1945

[3] Pinter-Lucke, J. (2007 年 5 月)、「環の可換性条件: 1950–2005」、Expositiones Mathematicae、25 (2): 165–174、doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001

[4] シングマスター、デイビッド; ブルーム、DM (1964年10月)、「E1648」、アメリカ数学月刊誌、71 (8): 918–920、doi :10.2307/2312421、JSTOR 2312421

[5] Dresden, Gregory (2005)、「4つの要素を持つリング」、2010年8月2日にオリジナルからアーカイブ、2009年7月28日に取得

[6] Ballieu、Robert (1947)、「Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif」、Ann.社会科学。ブリュッセル、セリエ I、61 : 222–7、MR 0022841、Zbl 0031.10802

[7] Scorza 1935、Mathematical Reviews 誌のIrving Kaplanskyによる Ballieu のレビューを参照