形式的冪級数

特徴づけることができる${\displaystyle R[[X]]}$抽象的には多項式環の完成として${\displaystyle R[X]}$特定のメトリックを備えています。これにより自動的に${\displaystyle R[[X]]}$位相環（さらには完備距離空間）の構造。しかし、距離空間の完備化の一般的な構成はここで必要なよりも複雑であり、形式的冪級数を実際よりも複雑に見せてしまうだろう。${\displaystyle R[[X]]}$より明確に、環構造と位相構造を以下のように別々に定義する。

指輪${\displaystyle R[[X]]}$次の普遍的な性質によって特徴づけられる可能性がある。${\displaystyle S}$は、上の可換結合代数である。${\displaystyle R}$、 もし${\displaystyle I}$理想は${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle I}$上の -進位相${\displaystyle S}$完了しました。${\displaystyle x}$は${\displaystyle I}$すると、ユニークな${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$以下の特性を持つ：

• ${\displaystyle \Phi }$は${\displaystyle R}$-代数準同型
• ${\displaystyle \Phi }$連続的である
• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$。

任意の自然数nに対して、形式的冪級数Sのn乗は、次のように再帰的に定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S^{1}&=S\\S^{n}&=S\cdot S^{n-1}\quad {\text{for }}n>1.\end{aligned}}}$$係数環において 0 が可逆であれば、展開において次のことが 証明_できる 。$${\displaystyle {\Big (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}{\Big )}^{n}=\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$$ 係数は次のように与えられる。${\displaystyle c_{0}=a_{0}^{n}}$そして $${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k}}$$ のために${\displaystyle m\geq 1}$mが係数環で可逆である場合。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ a ]} 複素係数を持つ形式的べき級数の場合、定数項が1に等しい級数fに対して複素べき乗が適切に定義されます。この場合、${\displaystyle f^{\alpha }}$は、二項級数(1 + x ) ^αとの合成、または指数級数と対数級数との合成によって定義できます。${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$または、微分方程式の解（級数による）として${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$定数項1を含む。3つの定義は同等である。指数法則${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$そして${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$形式的な冪級数f、gについては簡単に理解できます。

シリーズ

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

は可逆である${\displaystyle R[[X]]}$定数係数が${\displaystyle a_{0}}$は可逆である${\displaystyle R}$この条件は、次の理由から必要です。${\displaystyle A}$逆数を持つ${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots }$定数項${\displaystyle a_{0}b_{0}}$の${\displaystyle A\cdot B}$は恒等級数の定数項、すなわち 1 です。この条件は十分条件でもあります。逆級数の係数を計算できます。${\displaystyle B}$明示的な再帰式を介して

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

重要な特殊なケースは、等比級数の公式が有効な場合である。${\displaystyle R[[X]]}$:

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

もし${\displaystyle R=K}$が体である場合、級数が可逆であるのは定数項がゼロでない場合、すなわち級数が で割り切れない場合に限る。${\displaystyle X}$これはつまり${\displaystyle K[[X]]}$は、均一化パラメータを持つ離散評価環である。${\displaystyle X}$。

商の計算${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

分母が可逆であると仮定すると（つまり、${\displaystyle a_{0}}$（スカラー環において可逆である）は、積として実行できる。${\displaystyle f}$そしてその逆は${\displaystyle g}$または、係数を直接等しくする${\displaystyle f=gh}$:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

形式的べき級数に適用される係数抽出演算子

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

Xでは次のように書かれています

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

そして、 X ^mの係数を抽出するので、

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

2 つの形式的冪級数が与えられた場合

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots }$

そのため ${\displaystyle a_{0}=0,}$構成 を形成することができる

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

ここで、係数c _nはf ( X )のべき乗を「展開」することによって決定されます。

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

ここで、和はすべての ( k , j ) にわたって拡張され、${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$そして${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$と${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

以来${\displaystyle a_{0}=0,}$必ず${\displaystyle k\leq n}$そして${\displaystyle j_{i}\leq n}$すべての${\displaystyle i.}$これは、上記の和が有限であり、係数が${\displaystyle c_{n}}$は係数です${\displaystyle X^{n}}$多項式において${\displaystyle g_{n}(f_{n}(X))}$、 どこ${\displaystyle f_{n}}$そして${\displaystyle g_{n}}$は、級数をで打ち切ることによって得られる多項式です。${\displaystyle x^{n},}$つまり、べき乗を含むすべての項を取り除くことによって${\displaystyle X}$ より高い${\displaystyle n.}$

これらの係数のより明確な記述は、少なくとも係数環が標数0の体である場合には、ファア・ディ・ブルーノの公式によって提供される。

構成は、以下の場合にのみ有効です。${\displaystyle f(X)}$定数項がないため、各${\displaystyle c_{n}}$有限個の係数のみに依存する${\displaystyle f(X)}$そして${\displaystyle g(X)}$言い換えれば、シリーズは${\displaystyle g(f(X))}$トポロジーにおいて収束する${\displaystyle R[[X]]}$。

正式なシリーズ

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

f ₀ = 0であり、 f _1がRの可逆元である場合、次の級数が存在する。

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

それは、${\displaystyle f}$つまり、${\displaystyle f}$と${\displaystyle g}$恒等関数を表す級数を与える${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$係数${\displaystyle g}$は、上記の合成の係数の公式を用いて、合成恒等式Xの係数(つまり、次数 1 では 1、次数が 1 より大きいすべての次数では 0) と等しくすることで再帰的に求めることができます。係数環が標数 0 の体である場合、ラグランジュ反転公式(後述)は、 gの係数、およびgの (乗法) べき乗の係数を計算するための強力なツールとなります。

形式的な冪級数が与えられた場合

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

我々は、その形式的導関数を、Dfまたはf ′ と表記して、次のように定義する。

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

記号Dは形式微分演算子と呼ばれます。この定義は、多項式の項ごとの微分を単純に模倣したものです。

この操作はR線形です。

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

任意のa、b ∈ Rおよび任意のf、g ∈ Rに対して${\displaystyle R[[X]].}$さらに、形式微分は、通常の微積分における微分と多くの性質を共有しています。例えば、積の法則は成り立ちます。

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

連鎖律も同様に有効です。

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

適切な級数の構成が定義されている場合（上記「級数の構成」の項を参照）。

したがって、これらの点において形式的冪級数はテイラー級数のように振る舞う。実際、上で定義したfについては、次のことがわかる。

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

ここで、D ^{k は}k次形式微分（つまり、 k回形式微分した結果）を表す。

もし${\displaystyle R}$は特性がゼロの環であり、非ゼロ整数は で可逆である${\displaystyle R}$形式的な冪級数が与えられた場合

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

我々は、その形式的原始関数または形式的不定積分を次のように定義する。

${\displaystyle D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.}$

任意の定数に対して${\displaystyle C\in R}$。

この操作はR線形です。

${\displaystyle D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g}$

任意のa、b ∈ Rおよび任意のf、g ∈ Rに対して${\displaystyle R[[X]].}$さらに、形式的原始関数は、微積分における通常の原始関数と多くの性質を共有しています。例えば、形式的原始関数は形式的微分の右逆関数です。

${\displaystyle D(D^{-1}(f))=f}$

いかなる場合でも${\displaystyle f\in R[[X]]}$。

${\displaystyle R[[X]]}$は結合代数である${\displaystyle R}$リングを含む${\displaystyle R[X]}$多項式の${\displaystyle R}$多項式は、末尾がゼロの数列に対応する。

ジェイコブソン根号の${\displaystyle R[[X]]}$は、​${\displaystyle X}$そしてジェイコブソン根号${\displaystyle R}$これは、上述の要素の可逆性基準によって示唆される。

最高の理想${\displaystyle R[[X]]}$すべては${\displaystyle R}$次のような方法で：理想的な${\displaystyle M}$の${\displaystyle R[[X]]}$最大となるのは、${\displaystyle M\cap R}$は、${\displaystyle R}$そして${\displaystyle M}$理想として生成される${\displaystyle X}$そして${\displaystyle M\cap R}$。

いくつかの代数的性質${\displaystyle R}$継承される${\displaystyle R[[X]]}$:

• もし${\displaystyle R}$はローカルリングなので、${\displaystyle R[[X]]}$（非単位の集合は唯一の最大イデアルである）
• もし${\displaystyle R}$がネーター的であれば、${\displaystyle R[[X]]}$（ヒルベルト基底定理の一種）
• もし${\displaystyle R}$が整域であれば、${\displaystyle R[[X]]}$、 そして
• もし${\displaystyle K}$フィールドである場合、${\displaystyle K[[X]]}$これは離散的な評価環です。

距離空間${\displaystyle (R[[X]],d)}$完了しました。

指輪${\displaystyle R[[X]]}$がコンパクトであるのは、 Rが有限である場合に限る。これは、チコノフの定理と、上の位相の特性から導かれる。${\displaystyle R[[X]]}$プロダクトトポロジーとして。

完全局所環の係数を持つ形式的冪級数の環は、ワイエルシュトラスの準備定理を満たす。

フォーマルなローランシリーズはリングの上にあります${\displaystyle R}$は形式的な冪級数と同様の方法で定義されますが、負の次数を持つ項も有限個許容します。つまり、これらは次のように書ける級数です。

${\displaystyle f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

ある整数に対して${\displaystyle N}$負の数は有限個しかない${\displaystyle n}$と${\displaystyle a_{n}\neq 0}$（これは複素解析の古典的なローラン級数とは異なります。）ゼロでない形式的ローラン級数の場合、最小の整数${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle a_{n}\neq 0}$の順序と呼ばれる${\displaystyle f}$そして、と表記される${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$（ゼロ級数の次数 ord(0) は${\displaystyle +\infty }$）

例えば、${\displaystyle X^{-3}+{\frac {1}{2}}X^{-2}+{\frac {1}{3}}X^{-1}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}X+{\frac {1}{6}}X^{2}+{\frac {1}{7}}X^{3}+{\frac {1}{8}}X^{4}+\dots }$これは次数-3の形式的なローラン級数である。

このような級数の乗算を定義することができる。実際、形式的べき級数の定義と同様に、係数は${\displaystyle X^{k}}$係数の系列がそれぞれ異なる2つの系列${\displaystyle \{a_{n}\}}$そして${\displaystyle \{b_{n}\}}$は $${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}$$ この和は、十分に負の指数における係数がゼロになると仮定しているため、非ゼロの項は有限個しか存在しない。

形式的なローラン系列は、形式的なローラン系列の環を形成します。${\displaystyle R}$、で示される${\displaystyle R((X))}$[ ^{b ]}それはリングの局在化^に 等しい${\displaystyle R[[X]]}$正のべき乗の集合に関する形式的べき級数の${\displaystyle X}$。 もし${\displaystyle R=K}$フィールドである場合、${\displaystyle K((X))}$実際には体であり、これは積分領域の分数の体として得られる場合もある。${\displaystyle K[[X]]}$。

と同様に${\displaystyle R[[X]]}$指輪${\displaystyle R((X))}$形式的なローラン級数は、計量を導入することによって位相環の構造を持つことができる。 $${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$$ （特に、${\displaystyle \operatorname {ord} (0)=+\infty }$意味するところは${\displaystyle d(f,f)=2^{-\operatorname {ord} (0)}=0}$）

形式ローラン級数の形式微分は、自然な（項ごとの）方法で定義することができる。正確には、形式ローラン級数の形式微分は、${\displaystyle f}$上記は $${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}$$ これはまたもや正式なローランシリーズです。${\displaystyle f}$は非定数形式ローラン級数であり、係数は標数0の体にある。このとき、次の式が成り立つ。 $${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$$ しかし、一般的にはそうではありません。${\displaystyle n}$最低次の項は 0 に等しくなる可能性がある${\displaystyle R}$。

前述の通り、正式なシリーズ${\displaystyle f\in K[[X]]}$f ₀ = 0 かつf ₁ ≠ 0の場合、合成逆関数を持つ${\displaystyle g\in K[[X]].}$g ⁿとf ^{− k}の係数の間には次の関係が成り立つ（"ラグランジュ反転公式"):

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

特に、n  =  1 およびすべてのk  ≥  1 の場合、

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

ラグランジュ逆変換公式の証明は非常に短い計算なので、ここで証明の一つを報告する価値がある。^{[ c ]}${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$上記の微積分法の規則を適用できます。特に規則（iv）を代入すると${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$、 取得するため：

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

一般化。上記の計算は、 K (( X ))よりも一般的な設定で簡単に繰り返すことができることがわかります。ラグランジュ反転公式の一般化は、すでに次の方法で利用できます。${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$-モジュール${\displaystyle X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),}$ここで α は複素指数である。したがって、fとgが上記のように、${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$、 f / Xとg / Xの複素数の関係は次のようになります。具体的には、α と β が負の整数和を持つ非ゼロの複素数である場合、${\displaystyle m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,}$それから

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$

例えば、この方法でランベルト関数の複素数のべき級数を求めることができる。

任意の数の不定元 (無限に多い場合でも) の形式的冪級数は定義できます。Iがインデックス集合であり、X _Iがi ∈ Iの不定元X _iの集合である場合、単項式X ^αはX _Iの要素の任意の有限積 (重複可) です。環Rの係数を持つX _Iの形式的冪級数は、単項式の集合X ^αから対応する係数c _αへの任意の写像によって決定され、次のように表されます。${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$このような形式的冪級数の総和は、${\displaystyle R[[X_{I}]],}$そして、定義することによってリング構造が与えられる。

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

そして

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\beta }d_{\beta }X^{\beta }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}$