冪等性（環論）

環論は数学の一分野であり、環の冪等元、または単に冪等元とは、 $a$ $2$ $=$ $a$ となるような元 $a の$ ことである。^[¹^]^[^a^]つまり、その元は環の乗法に関して冪等である。したがって、帰納的に、任意の正の整数 $n$ に対して $a$ $=$ $a$ $2$ $=$ $a$ $3$ $=$ $a$ $4$ $= ... =$ $a$ $n$ と結論付けることもできる。たとえば、行列環の冪等元は、まさに冪等行列である。

一般的な環においては、乗法に関して冪等な要素は加群の分解に関与し、環のホモロジー的性質と結びついている。ブール代数においては、すべての要素が加法と乗法の両方に関して冪等である環が主な研究対象である。

例

Zの商

$n$ を法とする整数環を考えてみましょう。ここで $n$ は平方因子を持たない整数です。中国剰余定理によれば、この環は $p$ を法とする整数環の積に分解されます。ここで $p$ は素数です。これらの因子はそれぞれ体なので、因子の冪等元は $0$ と $1 のみ$ であることは明らかです。つまり、各因子は 2 つの冪等元を持ちます。したがって、因子が $m$ 個ある場合、 $2$ $m$ 個の冪等元が存在します。

これを整数 $mod 6$ で確認できます。R $=$ $Z / 6 Z$ 。6 には 2 つの素因数 (2 と 3) があるので、 $2$ 2 $個$ の $冪$ $等$ $数が$ あるはずです。

02 \equiv 0 \equiv 0 (mod 6)

12 \equiv 1 \equiv 1 (mod 6)

22 \equiv 4 \equiv 4 (mod 6)

32 \equiv 9 \equiv 3 (mod 6)

42 \equiv 16 \equiv 4 (mod 6)

52 \equiv 25 \equiv 1 (mod 6)

これらの計算から、 $0、1、3、4$ $は$ この環の冪等元であるが、 $2$ と $5 は$ そうではないことが $わかる$ 。これはまた、以下に説明する分解特性を示している。3 + 4 ≡ 1 (mod 6) であるため $、$ $環の分解$ $3$ $Z$ $/ 6$ $Z$ $\oplus 4$ $Z$ $/ 6$ $Z$ が存在する。3 $Z$ $/ 6$ $Z$ $では$ 乗法単位元は $3 + 6$ $Z$ $であり、 4$ $Z$ $/ 6$ $Z$ では乗法単位元は $4 + 6$ $Z$ である。

多項式環の商

環 $Rと、$ $f$ $2$ $\neq 0を$ $満たす$ $R$ の要素 $f$ が与えられたとき、商環は

R / (f 2 - f)

冪等関数 $f$ を持つ。例えば、これは $x \in Z [x]$ や任意の多項式 $f \in k [x 1, ..., x n]$ に適用できる。

分割四元数の環における冪等元

分割四元数の環には冪等元群の環が存在する。分割四元数は実代数の構造を持つため、要素は基底{1, i, j, k}上でw + x i + y j + z kと書くことができ、j ² = k ² = +1 である。任意のθに対して、

s=j\cos \theta +k\sin \theta

jとkが反交換性を満たすため、 s ² = +1を満たす。

\left({\frac {1+s}{2}}\right)^{2}={\frac {1+2s+s^{2}}{4}}={\frac {1+s}{2}},

冪等性。

要素sは双曲単位と呼ばれ、これまで i 座標はゼロとされてきました。この座標がゼロでない場合、分割四元数には双曲単位の1 シートの双曲面が存在します。同じ等式は、冪等性を示しています。 ${\frac {1+s}{2}}$ ここで、sは双曲面上にある。

環冪等性の種類

重要な冪等関数の種類の一部を以下に示します。

2つの冪等元 $a$ と $b は、$ $ab$ $=$ $ba$ $= 0 が$ 成り立つとき直交すると呼ばれます。a $が$ 環 $R$ (単位元を持つ) において冪等元であれば、 $b$ $= 1 -$ $a$ も冪等元であり、さらに $a$ と $b$ は直交します。
$R$ の冪等元 $aは、$ $R$ のすべての $x$ に対して $ax$ $=$ $xa が$ 成り立つ場合、つまり $a が$ $R$ の中心にある場合、中心冪等元と呼ばれます。
自明な冪等性とは、常に冪等性を持つ要素 $0$ と $1$ のいずれかを指します。
環 $R$ の原始冪等元とは、 $aR が$ 右 $R$ 加群として分解できないような非零冪等元 $a の$ ことである。すなわち、 $aR が$ 2 つの非零部分加群の直和ではないような冪等元である。言い換えれば、 a が $R$ の非零直交冪等元 $e$ と $fに対して$ $a$ $=$ $e$ $+$ $f$ と書けない場合、 $a$ は原始冪等元である。
局所冪等元とは、 $aRa$ が局所環となるような冪等元 $a$ のことである。これは $aR$ が直接分解不可能であることを意味するので、局所冪等元は原始的でもある。
右既約冪等元とは、 $aR$ が単純加群となるような冪等元 $a$ のことである。シューアの補題により、 $End$ $R$ $($ $aR$ $) =$ $aRa$ は除法環であり、したがって局所環である。そのため、右（および左）既約冪等元は局所的である。
中心原始冪等性とは、 2つの非ゼロ直交中心冪等性の和として表すことができない中心冪等性 $a のことである。$
商環 $R$ $/$ $I$ における冪等元 $a + Iは、$ $R$ における冪等元 $b$ が存在し、 $b$ $+$ $I$ $=$ $a$ $+$ $I$ となる場合に、 $I を$ 法として持ち上げられると言われる。
$R$ の冪等元 $aは、$ $RaR$ $=$ $R$ の場合、完全冪等元と呼ばれます。
分離性冪等元。分離代数を参照。

自明でない冪等元 $a$ は零因子である( $a$ も $b$ も零でない場合、ab = 0 となるため、b = 1 − a である) $。この$ $こと$ $から$ $、$ 整域や除法環にはそのような冪等元は存在しないことがわかる。局所環にもそのような冪等元は存在しないが、理由は異なる。環のヤコブソン根基に含まれる唯一の冪等元は $0$ である。

冪等元によって特徴付けられる環

すべての要素が冪等である環をブール環と呼びます。この種の環を「冪等環」と呼ぶ著者もいます。このような環では、乗法は可換であり、すべての要素は自身の加法逆元となります。
環が半単純であるのは、すべての右（またはすべての左）イデアルが冪等イデアルによって生成される場合、かつその場合に限る。
環がフォン・ノイマン正則であるのは、有限生成右イデアル（または有限生成左イデアル）がすべて冪等イデアルによって生成される場合、かつその場合に限る。
環の零化器 $r .Ann(S) が、$ $R$ のすべての部分集合 $S$ に対して冪等元によって生成されるような環をベア環と呼びます。条件が $R$ のすべての単一要素部分集合に対してのみ成り立つ場合、その環は右リッカート環と呼ばれます。これらの2種類の環は、乗法単位元を持たない場合でも興味深いものです。
すべての冪等元が中心となる環をアーベル環と呼ぶ。このような環は必ずしも可換である必要はない。
環が直接既約であるのは、中心冪等元が $0$ と $1$ のみである場合に限る。
環 $R$ は、各 $e$ $i が$ 局所冪等元である場合に限り、 $e 1 R \oplus e 2 R \oplus ... \oplus e n R$ と書くことができ、 $R$ は半完全環である。
環は、 $R$ のすべての冪等元がJacobson 根基を法として持ち上げられる場合、 SBI 環またはLift/rad環と呼ばれます。
環が右直和項に関して昇鎖条件を満たすのは、環が左直和項に関して降鎖条件を満たすのは、任意の対直交冪等元集合が有限である場合に限る。
環 $Rにおいて$ $a が$ 冪等である場合、 $aRa は$ 再び環となり、乗法単位元は $a$ となります。環 $aRaはしばしば$ $R$ のコーナー環と呼ばれます。コーナー環は、自己準同型の環 $End$ $R$ $($ $aR$ $) ≅$ $aRa$ であることから自然に生じます。

分解における役割

$R$ の冪等元は、 $R$ 加群の分解と重要な関係があります。M $が$ $R$ 加群であり、 $E = End R (M)$ がその自己準同型の環である場合、 $A \oplus B = Mとなるのは、$ $E$ に $A$ $=$ $eM$ かつ $B$ $= (1 -$ $e$ $)$ $M$ となるような一意の冪等元 $e$ が存在する場合に限ります。明らかに、 $Mが直接分解不可能となるのは、$ $E$ $に0$ と $1$ だけが冪等元である場合に限ります。^[²^]

$M = R$ (単位元を持つと仮定)の場合、自己準同型環 $End R (R) = R$ となり、各自己準同型は固定された環要素による左乗算として生じます。この表記法の変更により、 $A \oplus B = R が右加群となるのは、$ $eR$ $=$ $A$ かつ $(1 -$ $e$ $)$ $R$ $=$ $B$ となるような一意の冪等元 $e が$ 存在する場合に限ります。したがって、 $R$ のすべての直和因子は冪等元によって生成されます。

$a が$ 中心冪等元である場合、コーナー環 $aRa = Raは乗法単位元$ $a$ を持つ環です。冪等元が $R$ の加群としての直分解を決定するのと同様に、 $R$ の中心冪等元は、環の直和としての $R$ の分解を決定します。Rが環 R 1 、 ...、 R n の直和である $場合$ $、$ $環$ R $i$ $の$ $単位$ $元$ は $R$ の中心冪等元であり、互いに直交し、それらの和は $1$ です。逆に、互いに直交し、和が $1$ である $R$ の中心冪等元 $a$ $1$ 、 ...、 $a$ $n$ が与えられた場合、 $R$ は環 $Ra$ $1$ 、 ...、 $Ra$ $n$ の直和です。したがって、特に、 $R$ のすべての中心冪等元 $aは、コーナー環$ $aRa$ と $(1 -$ $a$ $)$ $R$ $(1 -$ $a$ $)$ の直和としての $R$ の分解を生み出します。その結果、環 $R$ が環として直接分解できないのは、単位元 $1$ が中心原始的である場合に限る。

$帰納的に作業すると、 1 を$ 中心原始要素の和に分解することができます。1 が中心原始であれば、これで完了です。そうでなければ、 $1$ は中心直交冪等元の和であり、それらはさらに原始的であるか、より中心的な冪等元の和であり、以下同様です。問題となるのは、これが無限に続き、中心直交冪等元の無限族を生成する可能性があることです。条件「 $R は$ 中心直交冪等元の無限集合を含まない」は、環の有限性条件の一種です。これは、環が右ネーター環であることを要求するなど、多くの方法で達成できます。各 $c$ $i が$ 中心原始冪等元である分解 $R = c 1 R \oplus c 2 R \oplus ... \oplus c n Rが存在する場合、$ $Rはコーナー環$ $c$ $i$ $Rc$ $i$ の直和であり、それぞれが環既約です。^[³^]

体上の結合代数またはジョルダン代数の場合、ピアース分解は、可換冪等元からなる固有空間の和として代数を分解したものである。

内反との関係

$a が$ 環 $R$ の冪等元である場合、 $f = 1 - 2 a$ の二乗は1 に等しくなります。したがって、すべての左 $R$ $加群に対して、 f$ による乗算は $M$ の対合です。つまり、 $f$ $2が$ $M$ の恒等自己準同型となるような $R$ 加群準同型です。

もし $M$ ⁠は⁠ $R$ ⁠ -双加群、特に、もし⁠ $M=R$ 左と右の乗算は⁠ $f$ ⁠はモジュールの2つの対合を生み出す。

逆に、 $bが$ の要素である場合 $R$ ⁠そのため⁠ $b^{2}=1$ ⁠、それから⁠ $(1-b)^{2}=2(1-b)$ また、 $2 が$ $R$ の可逆元である、 $a=2$ $-1$ $(1 -$ $b$ $)は$ $b$ $= 1 - 2$ $a$ となるような冪等元です $。したがって、 2 が$ 可逆である環では、冪等元は、その二乗が 1 となる元と1 対 1 で対応します。

Rモジュールのカテゴリ

$冪等元を持ち上げることも、 R$ 加群の圏に大きな影響を及ぼします。すべての冪等元は、 $R$ $/$ $Iのすべての$ $R$ 直和因子が $R$ 加群として射影被覆を持つ場合に限り、 $I$ を法として持ち上げられます。^[⁴^] $冪等元は常に、 R$ が $I$ 進的に完備であるような零イデアルと環を法として持ち上げます。

$リフティングは、 I = J(R)$ 、つまり $R$ のヤコブソン根基の場合に最も重要です。半完全環のもう 1 つの特徴は、それらが $J($ $R$ $)$ を法として冪等元がリフティングする半局所環であるということです。^[⁵^]

冪等元格子

環の冪等元に関する半順序は次のように定義できます。a $と$ $b$ が冪等元である場合、 $ab$ $=$ $ba$ $=$ $a$ の場合に限り $a \leq b$ と書きます。この順序に関して、 $0$ は最小の冪等元、 $1 は$ 最大の冪等元です。直交する冪等元 $a$ と $b$ の場合、 $a$ $+$ $b$ も冪等元であり、 $a$ $\leq$ $a$ $+$ $b$ および $b$ $\leq$ $a$ $+$ $b$ が成り立ちます。この半順序の原子は、まさに原始冪等元です。^[⁶^]

$上記の半順序をR$ の中心冪等元に制限すると、格子構造、あるいはブール代数構造さえも得られる。2 つの中心冪等元 $e$ と $f$ の場合、補元は次のように与えられる。

\neg e = 1 - e

、

会合は

e \land f = ef

。

そして結合は次のように与えられる。

e \lor f = \neg(\neg e \land \neg f) = e + f - ef

順序は、 $eR$ $\subseteq$ $f$ $R$ の場合に限り $e \leq f$ となり、結合と交わりは $($ $e$ $\lor$ $f$ $)$ $R$ $=$ $eR$ $+$ $f$ $R$ および $($ $e$ $\land$ $f$ $)$ $R$ $=$ $eR$ $\cap$ $f$ $R$ $= ($ $eR$ $)($ $f$ $R$ $)を満たす。R が$ $フォン$ ・ノイマン正則かつ右自己単射である場合、束は完全束となることが Goodearl 1991 、p. 99で示されている。

注記

↑冪等性と冪零性は、1870年にベンジャミン・パースによって導入されました。

参考文献

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FOLDOCでは冪等性があります
Goodearl, KR (1991), von Neumann regular rings (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., pp. xviii+412, ISBN 0-89464-632-XMR 1150975
Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、VV (2004)、代数、リング、モジュール。 Vol. 1、数学とその応用、vol. 575、ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers、pp. xii+380、ISBN 1-4020-2690-0MR 2106764
Lam, TY (2001), 『非可換環入門』、Graduate Texts in Mathematics、第 131巻（第2 版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、doi：10.1007/978-1-4419-8616-0、ISBN 0-387-95183-0MR 1838439
ラング、セルジュ（1993）、『代数学』（第3 版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー、443ページ、ISBN 978-0-201-55540-0、Zbl 0848.13001
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Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. (2002), An introduction to group rings , Algebras and Applications, vol. 1, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. xii+371, doi : 10.1007/978-94-010-0405-3 , ISBN 1-4020-0238-6MR 1896125

[2] 冪等性と冪零性は、1870年にベンジャミン・パースによって導入されました。

[FOOTNOTEHazewinkelGubareniKirichenko20042-1] ヘイゼウィンケル、グバレーニ、キリチェンコ、2004 年、p. 2

[FOOTNOTEAndersonFuller1992p._69–72-3] アンダーソン＆フラー 1992、69～72ページ

[FOOTNOTELam2001p._326-4] ラム 2001、p.326

[FOOTNOTEAndersonFuller1992p._302-5] アンダーソン＆フラー 1992、p.302

[FOOTNOTELam2001p._336-6] ラム 2001、p. 336

[FOOTNOTELam2001323-7] ラム 2001、p. 323

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例

Zの商