離散評価リング

させて${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$のローカライズである${\displaystyle \mathbb {Z} }$2によって生成される理想において、形式的には、

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{は奇数}}}\}.}$

分数の場${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$は${\displaystyle \mathbb {Q} }$任意の非ゼロ要素に対して${\displaystyle r}$の${\displaystyle \mathbb {Q} }$分子と分母に一意因数分解を適用できます。${\displaystyle r}$書く${\displaystyle r}$として${\displaystyle {\tfrac {2^{k}z}{n}}}$どこ${\displaystyle z}$、${\displaystyle n}$、 そして${\displaystyle k}$は整数で${\displaystyle z}$そして${\displaystyle n}$奇妙だ。この場合、我々は定義する${\displaystyle \nu (r)=k}$。

それから${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$離散評価リングは、${\displaystyle \nu }$の最大の理想${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$は 2 によって生成される主イデアルです。${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$、そして「一意の」既約要素（単位を除いて）は2（均一化パラメータとも呼ばれる）である。

より一般的には、デデキント整域の非零素イデアルへの局所化は離散付値環であり、実際には、これが離散付値環が生じる一般的な方法です。特に、環を定義することができます。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,p\nmid n\}}$

どのプライムでも${\displaystyle p}$全く同じように。

指輪​${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$p進整数のDVR は、任意の素数に対して${\displaystyle p}$。 ここ${\displaystyle p}$は還元不可能な要素であり、評価はそれぞれに割り当てます。${\displaystyle p}$-進整数${\displaystyle x}$最大の整数${\displaystyle k}$そのため${\displaystyle p^{k}}$分ける${\displaystyle x}$。

DVRのもう一つの重要な例は、形式的冪級数の環である。${\displaystyle R=k[[T]]}$1つの変数で${\displaystyle T}$あるフィールド上で${\displaystyle k}$「固有の」既約要素は${\displaystyle T}$の最大の理想${\displaystyle R}$は、${\displaystyle T}$、そして評価${\displaystyle \nu }$各べき級数に、最初の非ゼロ係数のインデックス（つまり次数）を割り当てます。

係数を実数または複素数に限定すれば、1変数のべき級数の環を考えることができ、これらのべき級数は0の近傍で収束します（近傍はべき級数に依存します）。これは離散的な評価環です。これは、適切性という評価基準に対する直感を養うのに役立ちます。

より幾何学的な例として、指輪を考えてみましょう。

${\displaystyle R=\{f/g:f,g\in \mathbb {R} [x],\,g(0)\neq 0\},}$

有理関数の体の部分環とみなされる${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$。${\displaystyle R}$これは、実軸上の0の近傍で定義された（つまり有限な）すべての実数値有理関数の環と同一視できる（近傍は関数によって異なる）。これは離散付値環であり、「唯一の」既約元は${\displaystyle x}$そして、各機能に割り当てられた評価額${\displaystyle f}$ゼロの次数（おそらく0）${\displaystyle f}$0 において。この例は、非特異点付近の一般的な代数曲線を研究するためのテンプレートを提供します。この場合の代数曲線は実数直線です。

DVR用${\displaystyle R}$分数フィールドは次のように書くのが一般的です。${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$そして${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$剰余体。これらは、一般点および閉点に対応します。${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$例えば、閉点${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$は$\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$そして一般的なポイントは$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$時には、これは次のように表記されます。

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

どこ${\displaystyle \eta }$一般的なポイントであり、${\displaystyle s}$は閉点です。

代数曲線が与えられた場合${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ローカルリング${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$滑らかな（閉じた）点${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$これは離散評価環です。なぜなら、これは主評価環だからです。点が${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$が滑らかであれば、局所環の完成は、の局所化の完成と同型である。$\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ある時点で${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$。

任意の非特異多様体に対して、同様に余次元 1 の点における局所環を考えることができる。より一般的には、（局所的に）ネーター正規スキームでは、素ワイル因子の一般点における局所環は離散付値環であり、離散付値は因子に沿った正則関数の消滅次数を与える。^{[ 2 ]}