零除数

抽象代数学 では、環Rの要素aは、R内にax = 0となるような零でないxが存在する場合、^{[ 1 ]}または同等に、x をaxに写すRからRへの写像が単射でない場合^{[ a ]}に、左零因子と呼ばれます。同様に、環の 要素aは、 R内にya = 0となるような零でないy が存在する場合、右零因子と呼ばれます。これは、環における可除性の部分的なケースです。左零因子または右零因子である要素は、単に零因子と呼ばれます。^{[ 2 ]}左零因子と右零因子の両方である要素a は、両側零因子と呼ばれます( ax = 0となる零でないx は、 ya = 0となる零でないyと異なる場合があります)。環が可換である場合、左零因子と右零因子は同じです。 

左零因子でない（または右零因子でない）環の要素は、左正則または左可約（または右正則または右可約）と呼ばれます。左可約かつ右可約であり、したがって零因子でない環の要素は、正則または可約[3]、または非零因子と呼ばれます。（注：^「非零因子」では、接頭辞「non-」は「零因子」全体を修飾するものと理解され、「零」という単語だけではなくなります。一部のテキストでは、明確にするために、「零因子」は「zerodivisor」、非零因子は「nonzerodivisor」^{[ 4 ]}または「non-zerodivisor」^{[ 5 ]}と書かれています）。零因子であって零でないものは、非零零因子または非自明零因子と呼ばれます。非自明な零因子を持たない非零環を領域と呼ぶ。

• リングの中で${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$残基クラス${\displaystyle {\overline {2}}}$は零因子です。${\displaystyle {\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}}$。
• 環の唯一の零因子${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の​${\displaystyle 0}$。
• 非零環の冪零元は、常に両側零因子である。
• 冪等要素${\displaystyle e\neq 1}$環の は常に両側零因子である。${\displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$。
• 体上のn × n行列環は、n ≥ 2の場合、零因子を持たない。2 × 2行列環（零因子を持たない任意の環上）における零因子の例を以下に示す。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

• 2つ以上の非零環の直積は、常に非零の零因子を持つ。例えば、${\displaystyle R_{1}\times R_{2}}$それぞれ${\displaystyle R_{i}}$ゼロ以外、${\displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$、 それで${\displaystyle (1,0)}$は零因子です。
• させて${\displaystyle K}$分野であり、${\displaystyle G}$グループであると仮定します。${\displaystyle G}$要素があります${\displaystyle g}$有限オーダーの${\displaystyle n>1}$.次にグループリングで${\displaystyle K[G]}$1つは${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0}$どちらの因子もゼロではないので、${\displaystyle 1-g}$は、${\displaystyle K[G]}$。

• 素数を法とする整数環には、零でない零因子は存在しない。すべての零でない要素は単元であるため、この環は有限体である。
• より一般的に言えば、除法環には零でない零因子は存在しない。
• 零因子が 0 のみである非零可換環を整域と呼ぶ。

• 体上のn × n行列の環では、左零因子と右零因子は一致し、それらはまさに特異行列である。整域上のn × n行列の環では、零因子はまさに行列式がゼロの行列である。
• 左または右の零因子は決して単位にはなり得ません。なぜなら、a が可逆であり、ある非零のxに対してax = 0である場合、0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = xとなり、矛盾が生じるからです。
• 要素は、それが正則である側で取り消し可能である。つまり、aが左正則であれば、ax = ayはx = yを意味し、右正則の場合も同様である。

a = 0 の場合についても、別途規約を設ける必要はありません。なぜなら、この定義はこの場合にも適用されるからです。

• R が零環以外の環である場合、0は（両側の）零因子である。なぜなら、任意の非零要素x は0 x = 0 = x 0を満たすからである。
• Rが0 = 1である零環である場合、 0 は零因子ではありません。なぜなら、 0を掛けても0になるような零でない要素は存在しないからです。

慣例として、すべての環において0を零因子として含める、あるいは除外する文献もあるが、その場合、次のような記述で例外を導入する必要が生じるという問題が生じる。

• 可換環Rにおいて、零因子でない集合はRの乗法集合である。（これは、全商環の定義において重要である。）可換環であるか否かを問わず、任意の環において、左零因子でない集合および右零因子でない集合についても同様である。
• 可換ネーター環Rにおいて、零因子の集合はRの対応する素イデアルの和集合である。

R を可換環、M をR加群、a をRの要素とする。aが M正則であるとは、「 aによる乗算」が写像されることを意味する。${\displaystyle M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M}$は単射であり、それ以外の場合はaはM上の零因子である。^{[ 6 ]} M正則要素 の集合はRの乗法集合である。^{[ 6 ]}

「 M正則」と「 M上の零因子」の定義をM = Rの場合に特化することで、この記事の前半で述べた「正則」と「零因子」の定義が得られます。

• ゼロ積特性
• 可換代数の用語集（厳密な零因子）
• 零因子グラフ
• 零因子を持たないセデニオン

• 「零因子」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ミシェル・ヘイズウィンケル;ナディヤ・グバレニ。ナデジダ・ミハイロヴナ・グバレニ。ウラジミール・V・キリチェンコ。 (2004)、代数、環およびモジュール、vol.  1、シュプリンガー、ISBN 1-4020-2690-0