ウィットベクトル

数学において、ウィットベクトルは可換環の無限の要素列である。エルンスト・ウィットは、ウィットベクトルの集合に環構造を置く方法を示した。その方法では、素数位数pの有限体上のウィットベクトルの環は、 p進整数の環である と同型となる。一見すると、その加法構造と乗法構造は、標準的なp進整数の加法式や乗法式のようには動作しない、無限の再帰式の集合に依存するため、非常に非直感的な構造となっている^[1]。 ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

ウィットベクトルの背後にある主なアイデア^{[1]は、標準的な}p進展開を使用する代わりに、

${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

の要素を表すために、代わりにタイヒミュラー指標を用いた展開を考えることができる。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$

これは、の解集合の各要素を の の解集合の要素に代入する。つまり、 の要素をの profinite 要素としてではなく、単位根として展開する。すると、 p進整数を無限和として表すことができる。${\displaystyle x^{p-1}-1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle x^{p-1}-1}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \prod \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \omega (a)=\omega (a_{0})+\omega (a_{1})p+\omega (a_{2})p^{2}+\cdots }$

これはウィットベクトルを与える

${\displaystyle (\omega (a_{0}),\omega (a_{1}),\omega (a_{2}),\ldots )}$

そして、ウィットベクトルの非自明な加法構造と乗法構造は、この写像を使用して、可換環準同型を誘導するような加法構造と乗法構造を与えることから生じます。 ${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle \omega}$

19 世紀、エルンスト・エドゥアルト・クンマーは、フェルマーの最終定理に関する研究の一環として、体の巡回 拡大を研究しました。これが、現在クンマー理論として知られる主題につながりました。を原始- 乗根を含む体とします。クンマー理論は、の次数巡回体拡大を分類します。このような体は、 の位数巡回群と一対一であり、 はに対応します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq k^{\times }/(k^{\times })^{n}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle K=k({\sqrt[{n}]{\Delta }}\,)}$

しかし、 が特性 を持つと仮定します。の次数拡大、またはより一般的には次数拡大を検討する問題は、表面的にはクンマー理論に似ているように見えるかもしれません。 しかし、この状況では、は原始 乗根を含むことができません。 実際、が の 乗根である場合、 を満たします。 しかし、式 について考えてみましょう。二項係数を使用して展開すると、ここではフロベニウス準同型として知られる乗の演算により、最初と最後の係数を除くすべての係数に 因子が導入され、したがってこれらの式を法として同じになることがわかります。 したがって。 したがって、クンマー理論は、次数が特性 で割り切れる拡大には決して適用できません。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x^{p}=1}$${\displaystyle (x-1)^{p}=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x=1}$

標数が次数を割り切るケースは、今日ではアルティン＝シュライアー理論と呼ばれている。これは、最初の進歩がアルティンとシュライアーによってなされたからである。彼らの最初の動機は、絶対ガロア群が位数 2 である実閉体を特徴付けるアルティン＝シュライアーの定理であった。 ^[2]これは、他にどんな体が有限の絶対ガロア群を持つかという疑問を彼らに抱かせた。他にそのような体が存在しないことを証明する過程で、彼らは、標数の体の次数拡大がアルティン＝シュライアー多項式の分解体と同じであることを証明した。これらは、定義により、 の形式である。彼らは、その構築を繰り返すことで、次数拡大を説明した。エイブラハム・エイドリアン・アルバートはこのアイデアを次数拡大の説明に使用した。各繰り返しには、体の拡大が正規 であることを保証するための複雑な代数条件が必要であった。^[3]${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{p}-xa.}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle p^{n}}$

シュミット^[4]は、次数 の非可換巡回代数にさらに一般化した。その過程で、-進整数の加算に関連する特定の多項式が出現した。ウィットはこれらの多項式に注目した。それらを体系的に使用することで、彼は次数体拡大と巡回代数の単純で統一された構成を与えることができた。具体的には、彼は現在 と呼ばれる環、つまり -切断された-典型的ウィットベクトルの環を導入した。この環は商を持ち、上のフロベニウス演算子に簡約されるためフロベニウス演算子と呼ばれる演算子を伴う。ウィットは、アルティン-シュライアー多項式の 次数類似体は${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle W_{n}(k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle F(x)-xa,}$

ここで です。クンマー理論との類似性を完成させるために、 を演算子 と定義します。すると、 の次数拡大は の位数の巡回部分群と全単射に対応します。ここで は体 に対応します。 ${\displaystyle a\in W_{n}(k)}$${\displaystyle \wp}$${\displaystyle x\mapsto F(x)-x.}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle k(\wp ^{-1}(\Delta ))}$

任意の -進整数（ の元、 と混同しないでください）は、べき級数として表すことができます。ここで、 は通常、整数区間から取られます。桁間の繰り上がりの問題に直面するため、この表現を使用して加算と乗算の代数式を提供することは困難です。ただし、代表係数を取ることは多くの選択肢の1つにすぎず、ヘンゼル自身（ -進数の考案者）は、代表として体 の単位根を提案しました。したがって、これらの代表は、単位根を伴う数、つまりにおけるの解であるため、 となります。この選択は、の何らかのべき乗である で剰余体が に拡大される の環拡大に自然に拡張されます。実際、これらの体（環の分数の体）がヘンゼルの選択の動機となりました。ここで、代表はの体 の解です。適切な原始単位根（ 上）を持つ体と呼びます。すると、に対しておよび となります。これらの代表は乗法集合を形成するので、これらは指標と考えることができる。ヘンゼルの研究の約 30 年後、タイヒミュラーは、現在彼の名前を冠しているこれらの指標を研究し、これにより、剰余体の観点から全体の体の構造を特徴付けることに成功した。これらのタイヒミュラーの代表は、を法として剰余をとることによって、 の位数の有限体の元と同一視することができ、の元は、タイヒミュラー指標によってその代表に取られる。この操作により、 の整数の集合は、の元の無限列と同一視される。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots }$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$${\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle (p-1)^{\text{st}}}$${\displaystyle x^{p}-x=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{i}=a_{i}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q=p^{f}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x^{q}-x=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle (q-1)^{\text{th}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \eta^{i}}$${\displaystyle 0\leq i\leq q-2}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{\times }}$ ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{q}^{\times }\to \mathbb {Z} _{p}(\eta )^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{q}^{\times })\cup \{0\}}$

これらの代表値を取ると、加算と乗算の式は閉じた形式で記述できます。ここで、次の問題が発生します (最も単純なケースとして記述: )。 の要素の 2 つの無限シーケンスが与えられた場合、それらの和と積をp進整数として明示的に記述します。この問題は、Witt ベクトルを使用して Witt によって解決されました。 ${\displaystyle q=p}$${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{p}^{\times })\cup \{0\},}$

ウィットベクトル構成に自然に一般化される構成を使用して、 有限体から- 進整数の環を導出します。${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

p進整数の環は、明らかな射影に沿った環の逆極限として理解できる。具体的には、に対して となる数列から構成される。つまり、数列の各連続する要素は、 pの下乗を法として前の要素に等しい。これは射影の逆極限である。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (n_{0},n_{1},\ldots )}$${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle n_{j}\equiv n_{i}{\bmod {p}}^{i+1}}$${\displaystyle j\geq i.}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} .}$

の要素は（形式的な）べき級数として展開できる。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots ,}$

ここで、係数は整数区間から取られます。もちろん、このべき級数は、実数上の標準計量を使用すると通常は収束しませんが、 p進計量を使用すると収束します。このようなべき級数の環演算を定義する方法を概説します。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,\ldots ,p-1\}.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

を と表記すると、加算について次の定義が考えられます。 ${\displaystyle a+b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}+c_{1}p&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}+c_{1}p+c_{2}p^{2}&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p+(a_{2}+b_{2})p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

乗算についても同様の式を定義できる。しかし、新しい係数が許容される集合に含まれていないため、これは閉じた式ではない。${\displaystyle [0,p-1].}$

よりよい係数サブセットがあり、その係数サブセットは閉じた公式、つまりTeichmüller 代表: 0 と 1 の根を結び付けます。これらは、ヘンゼルのリフティング、つまりニュートン法のp進バージョンによって、 (元の係数代表 に関して) の根として明示的に計算できます。たとえば、での代表 を計算するには、での唯一の解を見つけることから始めます。 が得られます。これを および の条件で繰り返して、などを得ます。結果として得られる の Teichmüller 代表( と表記)は、シーケンスです。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle (p-1)^{\text{th}}}$${\displaystyle [0,p-1]}$${\displaystyle x^{p-1}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{5},}$${\displaystyle 2,}$${\displaystyle x^{4}-1=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} /25\mathbb {Z} }$${\displaystyle x\equiv 2{\bmod {5}}}$${\displaystyle 7.}$${\displaystyle \mathbb {Z} /125\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle x^{4}-1=0}$${\displaystyle x\equiv 7{\bmod {2}}5}$${\displaystyle 57,}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \omega (2)}$

${\displaystyle \omega (2)=(2,7,57,\ldots )\in W(\mathbb {F} _{5}).}$

各ステップにおけるリフトの存在は、すべてのステップにおける最大公約数によって保証される。 ${\displaystyle (x^{p-1}-1,(p-1)x^{p-2})=1}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

このアルゴリズムは、任意の に対して、 となるTeichmüller 代表がちょうど 1 つ存在し、これを と表記することを示しています。実際、これはTeichmüller 指標を(乗法的)群準同型として定義し、さらに を標準射影とするとを満たします。ただし、 は加法的ではないことに注意してください。これは、合計が代表である必要がないためです。それにもかかわらず、の場合、では${\displaystyle j\in [0,p-1]}$${\displaystyle a_{0}=j}$${\displaystyle \omega (j).}$ ${\displaystyle \omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}}$${\displaystyle m\circ \omega =\mathrm {id} _{\mathbb {F} _{p}}}$${\displaystyle m:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}/p\mathbb {Z} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (k)\equiv \omega (i)+\omega (j){\bmod {p}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle i+j=k}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

によって与えられるこの一対一の対応により、すべてのp進整数を、係数を Teichmüller 代表から取ったpのべき級数として展開することができます。明示的なアルゴリズムは次のように与えられます。 Teichmüller 代表を次のように書きます。 次に、形式の任意のp進整数がある場合、差をとって で割り切れる値を残します。 したがって、 です。 次に、 と を減算して同様に処理を繰り返します。 これにより、合同のシーケンスが生成されます。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (t_{0})=t_{0}+t_{1}p^{1}+t_{2}p^{2}+\cdots .}$${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}p^{1}+x_{2}p^{2}+\cdots ,}$${\displaystyle x-\omega (x_{0})=x'_{1}p^{1}+x'_{2}p^{2}+\cdots ,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x-\omega (x_{0})=0{\bmod {p}}}$${\displaystyle \omega (x'_{1})p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv \omega (x_{0})&&{\bmod {p}}\\x&\equiv \omega (x_{0})+\omega (x'_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$

となることによって

${\displaystyle x\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

そして次のことを意味します: ${\displaystyle i'>i}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{i'}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}}$

のために

${\displaystyle {\bar {x}}_{i}:=m\left({\frac {x-\sum _{j=0}^{i-1}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}{p^{i}}}\right).}$

したがって、 pのべき乗を法とするxの各剰余に対するべき級数が得られるが、係数は ではなく Teichmüller 代表値になる。 ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}=x,}$

以来

${\displaystyle p^{i+1}\mid x-\sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}$

すべてに対してとなるので、差はp進計量に関して 0 に近づきます。結果の係数は、通常、最初の係数を除いて法 と異なります。${\displaystyle i}$${\displaystyle i\to \infty ,}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle p^{i}}$

タイヒミュラー係数には、 の数には欠けている重要な追加特性があります。これは、次のように加算を記述するために使用できます。 の方程式を考え、係数がタイヒミュラー展開の のようになるとします。 タイヒミュラー指標は加法的ではないため、では は成り立ちません。 しかし、最初の合同式が示すように では成り立ちます。特に、 ${\displaystyle \omega ({\bar {x}}_{i})^{p}=\omega ({\bar {x}}_{i}),}$${\displaystyle [0,p-1]}$${\textstyle c=a+b}$${\textstyle \mathbb {Z} _{p}}$${\textstyle a_{i},b_{i},c_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle c_{0}=a_{0}+b_{0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$

${\displaystyle c_{0}^{p}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}{\bmod {p}}^{2},}$

そしてこうして

${\displaystyle c_{0}-a_{0}-b_{0}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}-a_{0}-b_{0}\equiv {\binom {p}{1}}a_{0}^{p-1}b_{0}+\cdots +{\binom {p}{p-1}}a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}^{2}.}$

二項係数は で割り切れるので、 ${\displaystyle {\binom {p}{i}}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{1}\equiv a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}.}$

これは揚力によって完全に決定されます。さらに、合同法は、単純な加法構造を定義するという基本的な目的を満たす 計算が実際に実行できることを示しています。${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p},}$

このステップはすでに非常に面倒です。 ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle c_{1}=c_{1}^{p}\equiv \left(a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}\right)^{p}{\bmod {p}}^{2}.}$

1乗だけでは十分ではない のと同じように、${\displaystyle c_{0},}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle c_{0}=c_{0}^{p^{2}}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p^{2}}{\bmod {p}}^{3}.}$

しかし、は一般に で割り切れませんが、 のときは割り切れます。その場合、 の類似の単項式と組み合わせると の倍数になります。 ${\displaystyle {\binom {p^{2}}{i}}}$${\displaystyle p^{2},}$${\displaystyle i=pd,}$${\displaystyle a^{i}b^{p^{2}-i}=a^{d}b^{p-d}}$${\displaystyle c_{1}^{p}}$${\displaystyle p^{2}}$

このステップでは、実際にフォームの追加を扱っていることが明らかになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}^{p}+c_{1}p&\equiv a_{0}^{p}+a_{1}p+b_{0}^{p}+b_{1}p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}^{p^{2}}+c_{1}^{p}p+c_{2}p^{2}&\equiv a_{0}^{p^{2}}+a_{1}^{p}p+a_{2}p^{2}+b_{0}^{p^{2}}+b_{1}^{p}p+b_{2}p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}}$

これが Witt ベクトルの定義の動機となります。

素数p を固定する。可換環（素数 に対して）上のウィットベクトル^[5]は の元の列である。ウィット多項式を次のように 定義する。${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle W_{i}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=X_{0}}$
2. ${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$
3. ${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}$

そして一般的に

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.}$

はウィット ベクトル のゴースト成分と呼ばれ、通常は で表されます。これらを合わせると、へのゴースト マップが定義されます。 がpねじれなしである場合、ゴースト マップは単射であり、ゴースト成分はシーケンスの-モジュールの代替座標系と考えることができます(ただし、がp割り切れない限り、ゴースト マップは射影的ではないことに注意してください)。 ${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$${\displaystyle X^{(n)}}$${\displaystyle W_{n}}$${\textstyle \prod _{i=0}^{\infty }R}$${\textstyle R}$${\displaystyle R}$${\textstyle R}$

( p -典型的) ウィット ベクトル の環は、ゴースト成分の成分ごとの加算と乗算によって定義されます。つまり、任意の可換環上のウィット ベクトルの集合を次のような環にする唯一の方法があります。 ${\displaystyle W(R)}$${\displaystyle R}$

1. 和と積はに依存しない整数係数の多項式で与えられ、${\displaystyle R}$
2. 各ゴースト成分への射影は、 上のウィットベクトルから への環準同型です。${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

言い換えると、

• ${\displaystyle (X+Y)_{i}}$はRに依存しない整数係数の多項式で与えられ、${\displaystyle (XY)_{i}}$

• ${\displaystyle X^{(i)}+Y^{(i)}=(X+Y)^{(i)}}$そして${\displaystyle X^{(i)}Y^{(i)}=(XY)^{(i)}.}$

ウィットベクトルの和と積を与える最初のいくつかの多項式は明示的に書き表すことができます。たとえば、

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )+(Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}-((X_{0}+Y_{0})^{p}-X_{0}^{p}-Y_{0}^{p})/p,\ldots )}$

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )\times (Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1},\ldots )}$

これらは実際の公式の近道として理解されるべきです。たとえば、環が特性 を持つ場合、上記の最初の公式での による除算、次の要素に現れる による除算などは意味をなしません。ただし、和の - 乗を展開し、項を前の項でキャンセルし、残りの項を で簡略化すると、 による除算はなくなり、公式は意味をなします。同じ考慮が後続の要素にも適用されます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

予想通り、ウィットベクトルの環の単位元は、${\displaystyle W(A)}$

${\displaystyle {\underline {1}}=(1,0,0,\ldots )}$

この要素をそれ自身に加えると、例えば のような非自明なシーケンスが得られる。${\displaystyle W(\mathbb {F} _{5})}$

${\displaystyle {\underline {1}}+{\underline {1}}=(2,4,\ldots )}$

以来

${\displaystyle {\begin{aligned}2&=1+1\\4&=-{\frac {32-1-1}{5}}\mod 5\\&\cdots \end{aligned}}}$

これは と等しくないので、期待される動作ではありません。しかし、マップ で縮小すると になります。要素と要素がある場合、${\displaystyle {\underline {2}}}$${\displaystyle m:W(\mathbb {F} _{5})\to \mathbb {F} _{5}}$${\displaystyle m(\omega (1)+\omega (1))=m(\omega (2))}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle a\in W(A)}$

${\displaystyle {\underline {x}}a=(xa_{0},x^{p}a_{1},\ldots ,x^{p^{n}}a_{n},\ldots )}$

乗算を示すことも、非常に非自明な方法で動作します。

• が可逆である任意の可換環のウィット環は、 （ の可算な個数のコピーの積）と同型です。実際、ウィット多項式は常にウィットベクトルの環から への準同型を与え、 が可逆である場合、この準同型は同型です。${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle p}$

• 有限順序体のウィット環は、上で示したように、タイヒミュラー代表で書かれた -進整数の環です。${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

• 有限位数のウィット環は、 -進数環の次数の一意な非分岐拡大の整数環です。 - 次根は 1 であるため、注意してください。${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle K\cong \mathbb {Q} _{p}(\mu _{q-1})}$${\displaystyle \mu _{q-1}}$${\displaystyle (q-1)}$${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong \mathbb {Z} _{p}[\mu _{q-1}]}$

異なる素数に対するウィット多項式は普遍ウィット多項式の特別な場合であり、普遍ウィット環を形成するために使用できます（素数の選択に依存しません）。に対する普遍ウィット多項式を次のよう に定義します。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

1. ${\displaystyle W_{1}=X_{1}}$
2. ${\displaystyle W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}}$
3. ${\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}}$
4. ${\displaystyle W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}}$

そして一般的に

${\displaystyle W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.}$

また、はウィットベクトル のゴースト成分のベクトルと呼ばれ、通常は と表記されます。 ${\displaystyle (W_{1},W_{2},W_{3},\ldots )}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )}$${\displaystyle (X^{(1)},X^{(2)},X^{(3)},\ldots )}$

これらの多項式を使用して、上記とほぼ同じ方法で、普遍ウィット ベクトルの環または任意の可換環の大ウィット環を定義できます(したがって、普遍ウィット多項式はすべて環 への準同型です)。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

ウィットは生成関数を使った別のアプローチも提案した。^[6]

をウィットベクトルとし、定義する 。${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-X_{n}t^{n})=\sum _{n\geq 0}A_{n}t^{n}}$

を の要素の合計が となる部分集合の集合とすると、 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{n}}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{X_{i}}.}$

対数微分を取ることでゴースト成分を得ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}-t{\frac {d}{dt}}\log f_{X}(t)&=-t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\log(1-X_{n}t^{n})\\&=t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}{\frac {X_{n}^{d}t^{nd}}{d}}\\&=\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}nX_{n}^{d}t^{nd}\\&=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}t^{m}\\&=\sum _{m\geq 1}X^{(m)}t^{m}\end{aligned}}}$

これで、かどうかが分かります。 ${\displaystyle f_{Z}(t)=f_{X}(t)f_{Y}(t)}$${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle C_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i},}$

がべき級数のそれぞれの係数である場合、 ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$${\displaystyle f_{X}(t),f_{Y}(t),f_{Z}(t)}$

${\displaystyle Z_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i}-\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n},I\neq \{n\}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{Z_{i}}.}$

は の多項式でありについても同様に、 はの多項式であることを帰納的に証明できる。${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

設定すると ${\displaystyle W=XY}$

${\displaystyle -t{\frac {d}{dt}}\log f_{W}(t)=-\sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}.}$

しかし

${\displaystyle \sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}\sum _{e|m}eY_{e}^{m/e}t^{m}}$。

ここで、の3組は の3組と一対一であり、は最小公倍数であるため、級数は ${\displaystyle {m,d,e}}$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+},d\,|\,m,e\,|\,m}$${\displaystyle {d,e,n}}$${\displaystyle d,e,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle n=m/[d,e]}$${\displaystyle [d,e]}$

${\displaystyle \sum _{d,e\geq 1}de\sum _{n\geq 1}\left(X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{n}=-t{\frac {d}{dt}}\log \prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}}$

となることによって

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}=\sum _{n\geq 0}D_{n}t^{n},}$

ここでの多項式は、同様の帰納法により、 ${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

${\displaystyle f_{W}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-W_{n}t^{n}),}$

は、次の多項式として解くことができる。${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.}$

可換環を上のウィットベクトルの環に写す写像は（固定された素数 に対して）可換環から可換環への関数であり、 で表現することもできるため、 上のウィットスキームと呼ばれる環スキームと考えることができます。ウィットスキームは、対称関数の環のスペクトルと標準的に同一視できます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} ).}$

同様に、切断されたウィット ベクトルの環と普遍的なウィット ベクトルの環は、切断されたウィット スキームと普遍的なウィット スキームと呼ばれる環スキームに対応します。

さらに、可換環を集合 へ運ぶ関数はアフィン空間で表され、 上の環構造はで表される環スキーム を作成します。切断されたウィット ベクトルの構成から、それらに関連付けられた環スキームは、ウィット多項式によって与えられる射が環スキームの射となるような一意の環構造を持つスキームであることがわかります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {W} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$${\displaystyle \mathbb {W} _{n}\to {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$

特性 0 の代数的に閉じた体上では、任意の単能アーベル連結代数群は加法群 のコピーの積に同型です。特性 の体に対するこの類似は偽です。つまり、切断された Witt スキームは反例です。(乗算を忘れて加法構造のみを使用することで、これらを代数群にします。) ただし、これらは本質的に唯一の反例です。特性 の代数的に閉じた体上では、任意の単能アーベル連結代数群は、切断された Witt 群スキームの積に 同型です。${\displaystyle G_{a}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

アンドレ・ジョワイアルは、（p典型的）ウィットベクトルの普遍的性質を明らかにした。 ^[7]基本的な直感は、ウィットベクトルの形成は、特性p環を特性 0 に変形する普遍的な方法であり、そのフロベニウス自己準同型性も同時に持つということである。^[8]これを明確にするために、-環を、可換環とp微分である集合の写像から構成されるように定義し、次の関係を満たす 。${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle (R,\delta )}$${\textstyle R}$${\textstyle \delta :R\to R}$${\textstyle \delta }$

• ${\displaystyle \delta (0)=\delta (1)=0}$;
• ${\displaystyle \delta (xy)=x^{p}\delta (y)+y^{p}\delta (x)+p\delta (x)\delta (y)}$;
• ${\displaystyle \delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)+{\frac {x^{p}+y^{p}-(x+y)^{p}}{p}}}$。

定義は、-環が与えられた場合、写像を公式 で定義すると、 は上でフロベニウスを持ち上げる環準同型になるというものである。逆に、 がp -ねじれなしである場合、この公式は 上の-環の構造をフロベニウスの持ち上げの構造から一意に定義する。したがって、-環の概念は、 p -ねじれなしではない場合のフロベニウスの持ち上げの適切な代替とみなすことができる。 ${\displaystyle \delta }$${\textstyle (R,\delta )}$${\textstyle \phi :R\to R}$${\textstyle \phi (x)=x^{p}+p\delta (x)}$${\textstyle \phi }$${\displaystyle R/p}$${\textstyle R}$${\displaystyle \delta }$${\textstyle R}$${\displaystyle \delta }$

-環の集合と、-構造に関するその環準同型は、カテゴリに組み立てられます。すると、右随伴関数がウィット ベクトルの関数と同一視される忘却関数が得られます。実際、関数は極限と余極限を作成し、自由関数の一種として明示的に記述可能な左随伴関数を許容します。このことから、がから局所的提示可能性を継承することを示すのは難しくありません。そのため、随伴関数定理を利用して関数を構築できます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$ ${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$$${\displaystyle U:\mathrm {CRing} _{\delta }\to \mathrm {CRing} }$$${\textstyle W}$${\textstyle U}$${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$${\displaystyle \mathrm {CRing} }$${\textstyle W}$

さらに、特性pの完全環の完全なサブカテゴリ上の完全に忠実な関数に制限されるが存在する。その本質的な像は、（関連する写像が同型であるという意味で）完全であり、その基礎となる環がp進完備である -環から構成される。^[9]${\textstyle W}$${\displaystyle \delta }$${\textstyle \phi }$

• p導出
• 正式なグループ
• アルティン・ハッセ指数
• ネックレスリング

• Witt ベクトルに関するメモ: 動機付けされたアプローチ - 主要なアイデアと直感を示す基本的なメモ。ここから始めるのが最適です。
• ウィット ベクトルの理論 - 理論の初歩的な入門。
• ラム・ヴィット錯体と結晶コホモロジー - この記事とは異なりますが同等の慣例を使用していることに注意してください。また、序論の主なポイントは依然として有効です。

• マンフォード、デイビッド（1966-08-21）、代数面上の曲線に関する講義、数学研究年報、第59巻、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-07993-6
• Serre、Jean-Pierre (1979)、ローカルフィールド、Graduate Texts in Mathematics、vol. 67、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90424-5、MR  0554237、セクションII.6
• セール、ジャン＝ピエール（1988）、代数群と類体、Graduate Texts in Mathematics、vol. 117、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007 / 978-1-4612-1035-1、ISBN 978-0-387-96648-9、MR  0918564
• グリーンバーグ、マーヴィン J. (1969)。『多変数形式に関する講義』。ニューヨークおよびアムステルダム: ベンジャミン。ASIN  B0006BX17M。MR 0241358  。

• ドルガチェフ、イゴール V. (2001) [1994]、「ウィットベクトル」、数学百科事典、EMS プレス
• Hazewinkel、Michiel (2009)、「Witt Vectors. I.」、代数ハンドブック。 Vol. 6、アムステルダム: Elsevier/North-Holland、pp. 319–472、arXiv : 0804.3888、doi :10.1016/S1570-7954(08)00207-6、ISBN 978-0-444-53257-2、MR  2553661
• ウィット、エルンスト(1936)、「Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pn. Struktur discret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pn」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、1937 (176): 126–140、土井:10.1515/crll.1937.176.126