ジョーダンマトリックス

数学の分野である行列理論において、カミーユ・ジョルダンにちなんで名付けられたジョルダン行列は、環R (単位元は0と1である)上のブロック対角行列であり、対角線に沿った各ブロックはジョルダン ブロックと呼ばれ、次の形式を持ちます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.}$$

すべてのジョルダンブロックは次元nと固有値 で指定され、J _{λ, n}と表記されます。これは、対角要素 を除くすべての要素がゼロの行列です。対角要素 は で埋められ、上対角要素 は 1 で構成されます。 ${\displaystyle \lambda \in R}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \lambda}$

ブロックがジョルダンブロックであるブロック対角行列は、ジョルダン行列と呼ばれます。r個の対角ブロックで構成されるこの( n ₁ + ⋯ + n _r ) × ( n ₁ + ⋯ + n _r )正方行列は、またはと簡潔に表すことができます。ここで、i番目のジョルダンブロックはJ _{λ i、n i}です。 ${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}}$${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)}$

たとえば、行列は 、固有値0の3 × 3ブロック、固有値が虚数単位iの2 × 2ブロック 2 つ、および固有値 7 の3 × 3ブロックを持つ10 × 10 のジョルダン行列 です。そのジョルダンブロック構造は、またはdiag( J _0,3 , J _{i ,2} , J _{i ,2} , J _7,3 )と記述されます。 $${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{配列}}\right]}$$ ${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}$

代数的に閉体Kに属する要素を持つ任意のn × n正方行列Aは、同じく に属するジョルダン行列Jと相似であり、その対角ブロック自体の順列を除いて一意である。Jは Aのジョルダン標準形と呼ばれ、対角化手順の一般化に対応する。^{[1] [2] [3]}対角化可能な行列は 、実際には、ジョルダン行列の特殊なケース、つまりブロックがすべて1 × 1である行列に似ている。^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}$

より一般的には、ジョルダン行列、つまりk番目の対角ブロックがジョルダンブロックJ _{λ k , m k}であり、その対角要素がすべて異なるとは限らない行列Jに対するの幾何学的重複度( と表示) は、固有値がλであるジョルダンブロックの数に対応します。一方、として表示されるJの固有値のインデックスは、その固有値に関連付けられた最大のジョルダンブロックの次元として定義されます。 ${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$${\displaystyle 1\leq k\leq N}$${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda \in K}$${\displaystyle \operatorname {gmul} _{J}\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \operatorname {idx} _{J}\lambda }$

同じことがJに類似するすべての行列Aにも当てはまるため、A の任意の固有値 について、Aのジョルダン標準形に関して定義できます。この場合、 Aに対するのインデックスが、Aの最小多項式の根としての重複度に等しいことを確認できます(一方、定義により、Aに対する の代数的重複度、は、 Aの特性多項式の根としての重複度、つまり です)。 AがKで対角化可能であるための同等の必要十分条件は、そのすべての固有値のインデックスが1に等しいことです。つまり、その最小多項式は単純な根のみを持ちます。 ${\displaystyle \operatorname {idx} _{A}\lambda }$${\displaystyle \lambda \in \operatorname {spec} A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \operatorname {mul} _{A}\lambda }$${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}$

行列のスペクトルとその代数的/幾何的重複度およびインデックスのすべてを知っていても、必ずしもそのジョルダン正規形の計算が可能になるとは限らないことに注意してください(これは、スペクトル的に単純で、通常は低次元の行列に対してのみ十分な条件となる場合があります)。実際、ジョルダン正規形の決定は、一般的に計算上困難な作業です。ベクトル空間の観点から見ると、ジョルダン正規形は、関連する一般化固有ベクトルが基底となる領域の直交分解 (つまり、ジョルダン ブロックによって表される固有空間の直和を介して) を見つけることと同等です。

（つまり、n × n複素行列）を基底行列からAのジョルダン標準形への変換、つまりA = C ⁻¹ JCとします。ここで、 f  ( z ) をとなる開集合上の正則関数とします。つまり、行列のスペクトルは f の正則領域内に含まれるとします。をの 周りのfのべき級数展開 とします。これは、簡単のため、以下では0であると仮定します。行列f  ( A )は、次の形式的なべき級数によって定義され 、のユークリッドノルムに関して絶対収束します。言い換えると、f  ( A ) は、スペクトル半径が0 の周りのfの収束半径よりも小さいすべての正方行列に対して絶対収束し、行列リー群位相でこの特性を満たすの任意のコンパクト部分集合に対して一様収束します。 ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C} }$$${\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}}$$${\displaystyle z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A}$ $${\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}}$$${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$

ジョルダン正規形は、行列の関数を無限級数を明示的に計算せずに計算することを可能にする。これはジョルダン行列の主な成果の1つである。対角ブロック行列のk乗（）は、ブロックがそれぞれのブロックのk乗である対角ブロック行列であるという事実、つまり、A ^k = C ⁻¹ J ^k Cという事実を使用すると、上記の行列のべき級数は、 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }$

$${\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C}$$

ここで、最後の級数は、すべてのジョルダンブロックのべき級数を介して明示的に計算する必要はありません。実際、 の場合、ジョルダンブロックの任意の正則関数はのため、の周りで有限のべき級数を持ちます。ここで、 はのべき零部分であり、上対角線に沿って 1 以外のすべての 0 を持ちます。したがって、これは次の上三角行列です。 ${\displaystyle \lambda \in \Omega }$${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)}$${\displaystyle \lambda I}$${\displaystyle Z^{n}=0}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle J}$${\displaystyle Z^{k}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$$${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.}$$

この結果、ジョルダン正規形と基底変換行列が分かっている場合は、行列の任意の関数の計算は簡単です。たとえば、 を使用すると、 の逆関数は次のようになります。 ${\displaystyle f(z)=1/z}$${\displaystyle J_{\lambda ,n}}$$${\displaystyle J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.}$$

また、spec  f ( A ) = f  (spec  A )です。つまり、すべての固有値は固有値に対応しますが、一般に、代数的重複度、幾何的重複度、およびインデックスは異なります。ただし、代数的重複度は次のように計算できます。 ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$${\displaystyle f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)}$$${\displaystyle {\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .}$$

ベクトル空間間の線型変換Tの関数f  ( T )は、正則関数解析に従って同様に定義することができ、そこではバナッハ空間とリーマン面の理論が基本的な役割を果たします。有限次元空間の場合、両方の理論は完全に一致します。

ここで、（複雑な）力学系が単純に次の式で定義されると 仮定する。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}}$$

ここで、は力学系のリーマン面上の軌道の（n次元）曲線パラメータ化であり、 A（c）は要素がd次元パラメータの複素関数であるn × n複素行列である。 ${\displaystyle \mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}}$

たとえ(つまり、A が連続的にパラメータcに依存する)行列のジョルダン標準形がのほぼすべての場所で連続的に変形されるとしても、一般にすべての場所で変形されるわけではありません。 の臨界部分多様体が存在し、その部分多様体上では、パラメータが交差するか、単にその周りを「移動する」たびに、ジョルダン形式の構造が突然変化します (モノドロミー)。このような変化は、複数のジョルダン ブロック (異なる固有値に属するかどうかは関係ありません) が 1 つの固有のジョルダン ブロックに結合するか、その逆 (つまり、1 つのジョルダン ブロックが 2 つ以上の異なるブロックに分割される) を意味します。連続および離散動的システムの分岐理論の多くの側面は、関数ジョルダン行列の分析によって解釈できます。 ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

接空間ダイナミクスから見ると、これは、力学系の位相空間の直交分解が変化し、たとえば、異なる軌道が周期性を獲得したり、周期性を失ったり、ある種の周期性から別の周期性（周期倍加など、ロジスティック マップを参照）にシフトしたりすることを意味します。

文中では、このような動的システムの質的挙動は、 A ( c )のジョルダン標準形の変形によって大きく変化する可能性がある。

動的システムの最も単純な例は、定数係数の線形常微分方程式のシステムです。つまり、と です。 その直接的な閉形式の解は、行列指数の計算を伴います。 ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$$

もう一つの方法は、解がn次元ベクトル場の局所ルベーグ空間に限定されている場合、そのラプラス変換を使用することである。この場合、 ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)}$$${\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$$

行列関数( A − sI ) ^{−1 は}、微分演算子の分解行列と呼ばれます。行列要素は、分母がすべてのdet( A − sI )に等しい有理関数であるため、複素パラメータに関して有理型です。その極座標特異点はAの固有値であり、その位数は A のインデックスに等しくなります。つまり、 です。 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }$

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• 動的システム
• 分岐理論
• 状態空間（コントロール）

• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門: 群、環、体へのオプション入門』、ボストン:ホートン ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• ゴルブ、ジーン H.; ヴァン・ローン、チャールズ F. (1996)、マトリックス計算(第 3 版)、ボルチモア:ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-5414-8
• ネリング、エヴァー・D.（1970）、線形代数と行列理論（第2版）、ニューヨーク：ワイリー、LCCN  76091646