べき零行列

線型代数学において、冪零行列とは、次の式を満たす正方行列 Nのことで ある。

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

ある正の整数 に対して、 となる。そのような最小のものは の指数^{[1] 、}あるいはの次数と呼ばれる。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

より一般的には、べき零変換とは、ある正の整数に対して（したがって、すべての に対して）となるベクトル空間の線型変換 である。 ^{[2] [3] [4]これらの概念は両方とも、}環の元に適用されるより一般的なべき零の概念の特殊なケースである。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{k}=0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L^{j}=0}$${\displaystyle j\geq k}$

マトリックス

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

は指数 2 の冪零です。 ${\displaystyle A^{2}=0}$

より一般的には、主対角線上に零点を持つ任意の次元三角行列は指数^[要出典]を持つべき零行列である。例えば、行列 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \leq n}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

冪零であり、

${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

したがってのインデックスは4 です。 ${\displaystyle B}$

上記の例には多数のゼロ要素がありますが、典型的な冪零行列にはゼロ要素はありません。たとえば、

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

ただし、行列には​​ゼロ要素はありません。

さらに、次の形式の行列は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$

のような

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}$

または

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}$

ゼロに二乗します。

おそらく、冪零行列の最も印象的な例は、次の形式の正方行列です。 ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$

最初のいくつかは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }$

これらの行列は冪零行列であるが、指数より小さいどの冪にもゼロ要素は存在しない。^[5]

制限された次数の多項式の線形空間を考えてみましょう。導関数演算子は線形写像です。多項式に導関数を適用すると次数が 1 減少することがわかっているので、これを繰り返し適用すると、最終的には 0 になります。したがって、このような空間では、導関数はべき零行列で表現できます。

実数（または複素数）要素を持つ正方行列の場合、次の式は同等です。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle N}$零位である。
• の特性多項式は です。${\displaystyle N}$${\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}}$
• の最小多項式は、ある正の整数に対してです。${\displaystyle N}$${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle k\leq n}$
• の唯一の複素固有値は 0 です。${\displaystyle N}$

最後の定理は、特性が 0 または十分に大きい特性を持つ任意の体上の行列に対して成り立ちます。(ニュートンの恒等式を参照)

この定理には次のようないくつかの結果があります。

• べき零行列のインデックスは常に 以下です。たとえば、すべてのべき零行列は 2 乗すると 0 になります。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\times 2}$
• べき零行列の行列式とトレースは常にゼロです。したがって、べき零行列は逆行列にはなりません。
• 唯一のべき零対角化可能な行列はゼロ行列です。

参照:ジョルダン・シュヴァレー分解#べき零性基準。

（上の）シフト行列を考えてみましょう： ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

この行列は、上対角線に沿って 1 を持ち、他のすべての場所に 0 を持ちます。線形変換として、シフト行列はベクトルの要素を 1 つ左に「シフト」し、最後の位置に 0 が現れます。

${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).}$^[6]

この行列は次数 のべき零行列であり、標準べき零行列です。 ${\displaystyle n}$

具体的には、が任意の 冪零行列である場合、は次のようなブロック対角行列に類似する。${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$

ここで、各ブロックはシフト行列（異なるサイズの場合もある）である。この形式は、行列のジョルダン標準形の特殊なケースである。 ^[7]${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}}$

例えば、任意の非ゼロ2×2冪零行列は、次の行列と相似である。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

つまり、が任意の非ゼロの 2 × 2 冪零行列である場合、 N b ₁  = 0かつN b ₂  =  b ₁となる基底b ₁、  b ₂が存在します。 ${\displaystyle N}$

この分類定理は、任意の体上の行列に対して成り立ちます。(体 が代数的に閉じている必要はありません。)

上のべき零変換は自然に部分空間の 旗を決定する。${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$

署名

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

署名は可逆な線形変換までを特徴付ける。さらに、それは不等式を満たす。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.}$

逆に、これらの不等式を満たす任意の自然数のシーケンスは、べき零変換のシグネチャです。

線形作用素 が局所冪零であるとは、任意の ベクトルに対して、${\displaystyle T}$${\displaystyle v}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}$

有限次元ベクトル空間上の演算子の場合、局所冪零性は冪零性と同等です。

• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門: 群、環、体へのオプション入門』、ボストン:ホートン ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, IN (1975)、Topics In Algebra (第 2 版)、John Wiley & Sons
• ネリング、エヴァー・D.（1970）、線形代数と行列理論（第2版）、ニューヨーク：ワイリー、LCCN  76091646

• PlanetMath上のべき零行列とべき零変換。