周期（数論）

数学、特に数論において、周期または代数周期^{[ 1 ]}とは、代数領域上の代数関数の積分として表すことができる複素数である。周期は、代数数に加えて、 πなどの多くのよく知られた数学定数を含む数のクラスである。周期の和と積は周期のままであり、したがって周期は${\displaystyle {\mathcal {P}}}$リングを形成する。

マキシム・コンツェヴィッチとドン・ザギエルは、周期に関する概説を行い、それらに関するいくつかの推測を紹介した。

周期は、微分方程式や超越数の理論、および現代の算術代数幾何学の未解決問題において重要な役割を果たしています。^{[ 2 ]}また、ファインマン図から生じる積分を計算する際にも周期が現れ、その関連性を理解しようとする集中的な研究が行われてきました。^{[ 3 ]}

番号${\displaystyle \alpha }$が次の形式の積分として表せる場合、それは周期である。

${\displaystyle \alpha =\int _{P(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq 0}Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}$

どこ${\displaystyle P}$は多項式であり、${\displaystyle Q}$有理関数​$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$有理係数を持つ。^{[ 1 ]}複素数は、その実部と虚部が周期である場合、周期である。

別の定義では${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$代数関数であること。これはより一般的に見えるが、同等である。無理代数数は適切な領域の面積で表現できるため、有理関数と多項式の係数も代数数に一般化できる。

反対方向には、${\displaystyle Q}$定数関数に制限することができる${\displaystyle 1}$または${\displaystyle -1}$被積分関数を次の積分に置き換えることによって${\displaystyle \pm 1}$追加変数を含む多項式によって定義される領域において。

言い換えれば、（非負の）周期は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$有理係数を持つ多項式不等式によって定義される。^{[ 2 ] [ 4 ]}

これらの期間は、多くの一般的な数学定数を含むには狭すぎるクラスを形成する、性質の良い代数的数と、数えきれない数であり、ごく少数の特殊な例を除いて記述が難しい超越数との間のギャップを埋めることを目的としている。後者は一般に計算可能でもない。

周期の環${\displaystyle {\mathcal {P}}}$代数的数の領域の間に位置します${\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }$複素数${\displaystyle \mathbb {C} }$（つまり）$\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} \subset {\mathcal {P}}\subset \mathbb {C} }$）であり、可算である。^{[ 5 ]}期間自体はすべて計算可能であり、^{[ 6 ]}特に定義可能である。

周期には、アルゴリズム的に記述でき、有限量の情報しか含まない超越数の一部が含まれます。^{[ 2 ]}

以下の数字は、周期であることが知られている数字の中に含まれています。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 7 ]}

周期であることが知られている定数の多くは、超越関数の積分によっても与えられる。コンツェヴィッチとザギエールは、「特定の超越関数の無限和や積分が周期である理由を説明する普遍的な規則はないようだ」と指摘している。

コンツェヴィッチとザギエールは、周期が2つの異なる積分で与えられる場合、それぞれの積分は、積分の線形性（被積分関数と定義域の両方において）、変数変換、およびニュートン・ライプニッツの公式のみを使用して、もう一方の積分に変換できると推測した。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}$

（あるいは、より一般的には、ストークスの公式）。

代数的数の有用な性質の一つは、2つの代数式の等価性をアルゴリズム的に判定できることである。コンツェヴィッチとザギエールの予想によれば、周期の等価性も判定可能である。計算可能な実数の不等性は再帰的に列挙可能であることが知られており、逆に2つの積分が一致する場合、アルゴリズムは一方を他方に変換するあらゆる方法を試すことで、その一致を確認できる。

さらに未解決の問題としては、既知の数学定数のうちどれが周期環に属さないかを証明することが挙げられる。周期ではない実数の例として、チャイティン定数Ωが挙げられる。他の計算不可能な数も、周期ではない実数の例となる。周期ではない計算可能な数の人工的な例を構成することも可能である。^{[ 8 ]}しかし、その目的のために人工的に構成されていない、周期ではないことが証明された計算可能な数は存在しない。

1/ π、オイラー数e、オイラー・マスケローニ定数γは周期ではないと推測されている。^{[ 2 ]}

コンツェビッチとザギエルは、これらの問題は非常に難しく、長期間未解決のまま残るだろうと推測している。

周期環は拡張周期環に拡張することができる${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}$要素 1/ π を隣接させることにより。^{[ 2 ]}

被積分関数を許容する${\displaystyle Q}$代数関数と代数関数の指数関数の積であることは、別の拡張、すなわち指数周期をもたらす。${\displaystyle {\mathcal {E}}{\mathcal {P}}}$[ ^{2 ] [ 4 ] [ 9 ]}これらは環を形成し、数えられる^。${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}\subset {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {EP}}\subset \mathbb {C} }$。

以下の数値は、指数周期であることが知られている数値の一部です。^{[ 2 ] [ 4 ] [ 10 ]}

• 超越数論
• 数学定数
• L関数
• ヤコビアン多様体
• ガウス・マニン接続
• 混合動機（数学）
• タナキアン形式主義

• PlanetMath: 期間