対称差

数学において、 2つの集合の対称差（選言和または集合和とも呼ばれる）は、いずれかの集合に含まれるが、それらの共通部分には含まれない要素の集合である。例えば、集合の対称差は${\displaystyle \{1,2,3\}}$そして${\displaystyle \{3,4\}}$は${\displaystyle \{1,2,4\}}$。

集合AとBの対称差は、一般に次のように表される。${\displaystyle A\operatorname {\Delta } B}$（あるいは、${\displaystyle A\operatorname {\vartriangle } B}$)${\displaystyle A\oplus B}$、 または${\displaystyle A\ominus B}$これは、 2 を法とする加算の一種と見なすことができます。

任意の集合の冪集合は、対称差演算の下でアーベル群となり、空集合が群の中立元となり、この群のすべての要素は自身の逆元となる。任意の集合の冪集合はブール環となり、対称差演算は環の加算、共通部分演算は環の乗算となる。

対称差は、両方の相対補数の和集合に等しい。すなわち、次のようになる。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A\,\Delta \,B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right),}$

対称差は、集合構成記法で2つの集合を記述する述語に対してXOR演算⊕を用いて表現することもできます。

${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}$

同じ事実は、指示関数（ここではで表す）としても述べることができる。${\displaystyle \chi }$）対称差の ）は、その 2 つの引数の指示関数のXOR（またはmod 2による加算）である。${\displaystyle \chi _{(A\,\Delta \,B)}=\chi _{A}\oplus \chi _{B}}$またはアイバーソン式ブラケット表記を使用する${\displaystyle [x\in A\,\Delta \,B]=[x\in A]\oplus [x\in B]}$。

対称差は、2つの集合の和集合からそれらの共通部分を引いたものとしても表すことができる。

${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),}$^{[ 1 ]}

特に、${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B\subseteq A\cup B}$; この非厳密包含関係における等号は、以下の場合に限り成立する。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は互いに素な集合である。さらに、${\displaystyle D=A\mathbin {\Delta } B}$そして${\displaystyle I=A\cap B}$、 それから${\displaystyle D}$そして${\displaystyle I}$常に互いに素なので、${\displaystyle D}$そして${\displaystyle I}$パーティション${\displaystyle A\cup B}$したがって、交差と対称差を基本演算と仮定すると、2 つの集合の和集合は、等式の右辺によって対称差の観点から適切に定義できます。

${\displaystyle A\,\cup \,B=(A\,\Delta \,B)\,\Delta \,(A\cap B)}$。

対称差は可換かつ結合的である。

${\displaystyle {\begin{aligned}A\,\Delta \,B&=B\,\Delta \,A,\\(A\,\Delta \,B)\,\Delta \,C&=A\,\Delta \,(B\,\Delta \,C).\end{aligned}}}$

空集合は中立であり、すべての集合はそれ自身の逆集合である。

${\displaystyle {\begin{aligned}A\,\Delta \,\varnothing &=A,\\A\,\Delta \,A&=\varnothing .\end{aligned}}}$

したがって、任意の集合Xの冪集合は、対称差演算の下でアーベル群になります。（より一般的には、任意の集合体は、対称差を演算とする群を形成します。）すべての要素が自身の逆元である群（または同等に、すべての要素の位数が2 である群）は、ブール群と呼ばれることがあります。^{[ 2 ] [ 3 ]}対称差は、そのような群の典型的な例を提供します。ブール群は、実際には集合上の対称差演算として定義されることがあります。^{[ 4 ]} X が2 つの要素しか持たない場合、このようにして得られる群はクラインの 4 群です。

同様に、ブール群は初等アーベル2群である。したがって、対称差によって誘導される群は、実際には2つの要素Z2を持つ体上のベクトル空間である_。Xが有限の場合、単元はこのベクトル空間の基底を形成し、したがってその次元はXの要素の数に等しくなる。この構成はグラフ理論において、グラフのサイクル空間を定義するために用いられる。

ブール群における逆元の性質から、2つの繰り返し対称差の対称差は、 2つの多重集合の結合の繰り返し対称差と等価であることが導かれる。ただし、各二重集合については、両方とも削除できる。具体的には、次のようになる。

${\displaystyle (A\,\デルタ \,B)\,\デルタ \,(B\,\デルタ \,C)=A\,\デルタ \,C.}$

これは三角不等式を意味します。^{[ 5 ]} AとCの対称差は、 AとBの対称差とBとCの対称差の和集合に含まれます。

交差は対称差に対して分配される：

${\displaystyle A\cap (B\,\Delta \,C)=(A\cap B)\,\Delta \,(A\cap C),}$

そしてこれは、 Xの冪集合が環となり、対称差が加算、積が乗算となることを示している。これはブール環の典型的な例である。

対称差のその他の特性には以下が含まれる。

• ${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B=\emptyset }$かつその場合に限り${\displaystyle A=B}$。
• ${\displaystyle A\mathbin {\Delta } B=A^{c}\mathbin {\Delta } B^{c}}$、 どこ${\displaystyle A^{c}}$、${\displaystyle B^{c}}$は${\displaystyle A}$の補数、${\displaystyle B}$それぞれ、両方を含む任意の（固定された）集合に対する補集合。
• ${\displaystyle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)\Delta \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}B_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\left(A_{\alpha }\mathbin {\Delta } B_{\alpha }\right)}$、 どこ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$は任意の空でないインデックス集合です。
• もし${\displaystyle f:S\rightarrow T}$は任意の関数であり、${\displaystyle A,B\subseteq T}$集合は${\displaystyle f}$の終域、${\displaystyle f^{-1}\left(A\mathbin {\Delta } B\right)=f^{-1}\left(A\right)\mathbin {\Delta } f^{-1}\left(B\right).}$

対称差は、任意のブール代数において次のように定義できる。

${\displaystyle x\,\Delta \,y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)=(x\land \lnot y)\lor (y\land \lnot x)=x\oplus y.}$

この演算は、集合の対称差と同じ性質を持つ。

繰り返し対称差は、ある意味で、多数の集合（同じ集合が複数回出現する可能性もある）に対する演算と同等であり、奇数個の集合に含まれる要素の集合を与える。

集合の対称差には、その集合に含まれる奇数個の集合に含まれる要素のみが含まれる。 $${\displaystyle \Delta M=\left\{a\in \bigcup M:\left|\{A\in M:a\in A\}\right|{\text{は奇数}}\right\}.}$$

明らかに、これは、和集合の各要素が${\textstyle \bigcup M}$有限個の要素によって寄与される${\displaystyle M}$。

仮定する${\displaystyle M=\left\{M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}\right\}}$は多重集合であり、${\displaystyle n\geq 2}$すると、次の式があります。${\displaystyle |\Delta M|}$要素の数${\displaystyle \Delta M}$要素の交差のみで与えられる${\displaystyle M}$: $${\displaystyle |\Delta M|=\sum _{l=1}^{n}(-2)^{l-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{l}\leq n}\left|M_{i_{1}}\cap M_{i_{2}}\cap \ldots \cap M_{i_{l}}\right|.}$$

集合の「大きさ」という概念が存在する限り、2つの集合間の対称差は、それらが「どれだけ離れているか」を測る尺度とみなすことができる。

まず、有限集合Sと、そのサイズによって与えられる部分集合の計数尺度を考えます。次に、 Sの 2 つの部分集合を考え、それらの間の距離を対称差の大きさとします。この距離は実際には距離であり、S上の冪集合は距離空間になります。Sがn個の要素を持つ場合、空集合からSまでの距離はnであり、これは任意の部分集合のペアに対する最大距離です。^{[ 6 ]}

測度論の考え方を用いると、可測集合の分離はそれらの対称差の尺度として定義できる。μ がσ-代数Σ上で定義されたσ-有限測度である場合、関数

${\displaystyle d_{\mu }(X,Y)=\mu (X\,\Delta \,Y)}$

は Σ 上の擬距離である。d _{μ は}、Σ が同値関係X ~ Yを法として考えられる場合に限り距離となる。${\displaystyle \mu (X\,\Delta \,Y)=0}$これはフレシェ・ニコディム距離と呼ばれることもあります。結果として得られる距離空間が可分であるのは、 L ² (μ)が可分である場合に限ります。

もし${\displaystyle \mu (X),\mu (Y)<\infty }$、 我々は持っています：${\displaystyle |\mu (X)-\mu (Y)|\leq \mu (X\,\Delta \,Y)}$。 確かに、

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mu (X)-\mu (Y)|&=\left|\left(\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(X\cap Y\right)\right)-\left(\mu \left(X\cap Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\right)\right|\\&=\left|\mu \left(X\setminus Y\right)-\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&\leq \left|\mu \left(X\setminus Y\right)\right|+\left|\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&=\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\\&=\mu \left(\left(X\setminus Y\right)\cup \left(Y\setminus X\right)\right)\\&=\mu \left(X\,\Delta \,Y\right)\end{aligned}}}$

もし${\displaystyle S=\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu \right)}$は測定空間であり、${\displaystyle F,G\in {\mathcal {A}}}$集合が可測集合であるならば、それらの対称差も可測である。${\displaystyle F\Delta G\in {\mathcal {A}}}$可測集合上の同値関係は、次のように定義できる。${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$ 関係がある場合${\displaystyle \mu \left(F\Delta G\right)=0}$この関係は次のように表されます。${\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$。

与えられた${\displaystyle {\mathcal {D}},{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}}$とある人は書いている${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$それぞれに対して${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$いくつかあります${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$そのため${\displaystyle D=E\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$関係「${\displaystyle \subseteq \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$「は、部分集合の族上の半順序である」${\displaystyle {\mathcal {A}}}$。

私たちは書く${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$もし${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$そして${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$関係「${\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$「は、部分集合間の同値関係である」${\displaystyle {\mathcal {A}}}$。

対称閉包​${\displaystyle {\mathcal {D}}}$すべてのコレクション${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-測定可能な集合${\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$一部の人にとって${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$対称閉包​${\displaystyle {\mathcal {D}}}$を含む${\displaystyle {\mathcal {D}}}$。 もし${\displaystyle {\mathcal {D}}}$サブ${\displaystyle \sigma }$-代数の${\displaystyle {\mathcal {A}}}$対称閉包も同様です${\displaystyle {\mathcal {D}}}$。

${\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$もし${\displaystyle \left|\mathbf {1} _{F}-\mathbf {1} _{G}\right|=0}$${\displaystyle \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ほぼどこにでも。

ハウスドルフ距離と対称差（の面積）は、どちらも測定可能な幾何学的形状の集合上の擬似距離です。しかし、その振る舞いは全く異なります。右の図は、「赤」と「赤∪緑」という2つの形状のシーケンスを示しています。これらの間のハウスドルフ距離が小さくなると、対称差の面積は大きくなり、その逆もまた然りです。これらのシーケンスを両方向に続けることで、ハウスドルフ距離が0に収束し、対称距離が発散する、あるいはその逆となる2つのシーケンスを得ることができます。

• Halmos, Paul R. (1960).素朴な集合論. 大学学部数学シリーズ. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403 . 
• 集合の対称差。数学百科事典より