コホモロジー環

数学、特に代数的位相幾何学において、位相空間Xのコホモロジー環は、 Xのコホモロジー群と、環の乗法として機能するカップ積から形成される環である。ここで「コホモロジー」は通常、特異コホモロジーとして理解されるが、環構造はド・ラーム・コホモロジーなどの他の理論にも存在する。これは関数的でもある。つまり、空間の連続写像に対して、コホモロジー環上の環準同型が得られ、これは反変である。

具体的には、可換環R（典型的にはRはZ _n、Z、Q、R、またはC ）の係数を持つX上のコホモロジー群の列H ^k ( X ; R )が与えられた場合、カップ積を定義することができ、これは次の形式になります。

H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).

カップ積はコホモロジー群の直和の乗算を与える。

H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).

この乗算により、 H ^• ( X ; R ) は環になります。実際、これは自然にN次環となり、非負整数kが次数として使用されます。カップ積はこの次数に従います。

コホモロジー環は、カップ積が次数によって決まる符号まで可換であるという意味で次数可換である。具体的には、次数kとℓの純粋元に対して、

(\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).

コホモロジー環から導かれる数値不変量はカップ長で、これは乗算すると非ゼロの結果を与える次数 ≥ 1 の次数付き要素の最大数を意味します。たとえば、複素射影空間のカップ長はその複素次元に等しくなります。

例

$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ どこ。 $|\alpha |=1$
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]$ どこ。 $|\alpha |=1$
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ どこ。 $|\alpha |=2$
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ どこ。 $|\alpha |=2$
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ どこ。 $|\alpha |=4$
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ どこ。 $|\alpha |=4$
キュネスの公式によれば、のn個のコピーの直積の mod 2 コホモロジー環は、の係数を持つn変数の多項式環です。 $\mathbb {R} P^{\infty}$ $\mathbb {F} _{2}$
ウェッジ和の縮小コホモロジー環は、それらの縮小コホモロジー環の直積です。
サスペンションのコホモロジー環は次数 0 の部分を除いて消えます。