演算子によるグループ化

数学の一分野である抽象代数学において、演算子を持つ群またはΩ群は、群の要素に対して特別な方法で作用する 集合Ωとともに群として見ることができる代数構造です。

作用素を持つ群は、1920 年代にエミー・ネーターとその一派によって広範に研究されました。彼女はこの概念を、3 つのネーター同型定理の独自の定式化に採用しました。

演算子を持つ群は、 集合の作用を伴う群として定義できます^[1]。 ${\displaystyle (G,\Omega )}$${\displaystyle G=(G,\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

これは群法則に対して 分配的である：

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

各 に対して、その応用はGの自己準同型である。このことから、Ω 群はGの自己準同型のインデックス付き族を持つ群Gとみなすこともできるということになる。 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle g\mapsto g^{\omega }}$ ${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$

${\displaystyle \Omega }$は作用素領域と呼ばれる。同型写像^[2]はGの相似性と呼ばれる。

同じ作用素領域を持つ2つの群G、H が与えられたとき、から までの作用素を持つ群の準同型は、次を満たす 群準同型である。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle (G,\Omega )}$${\displaystyle (H,\Omega )}$ ${\displaystyle \phi :G\to H}$

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$すべての人のために${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle g\in G.}$

Gの部分群 Sは、相似性、すなわち​ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$すべての人のために${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

圏理論では、演算子を持つ群は、関数圏Grp ^Mのオブジェクトとして定義できます^[3] 。ここで、Mはモノイド（つまり、 1つのオブジェクトを持つカテゴリー）であり、Grpは群のカテゴリーを表します。 がモノイドである場合、この定義は前の定義と同等です（そうでない場合は、恒等関数とすべての合成を含むように拡張できます）。 ${\displaystyle \Omega }$

このカテゴリの射は、2 つの関数 (つまり、同じ演算子ドメイン M を共有する演算子を持つ 2 つのグループ) 間の自然な変換です。ここでも、演算子を持つグループの準同型 ( f は自然変換のコンポーネント)の定義を 復元 します。

演算子を含むグループもマッピングである

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

ここで、 はGの群準同型の集合です。 ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$

• 任意の群Gが与えられたとき、 ( G , ∅) は自明に、作用素
• 環R上の加群 Mが与えられた場合、R はMの基礎となるアーベル群に対してスカラー乗算として作用するため、( M , R ) は演算子を持つ群です。
• 上記の特別なケースとして、体K上のすべてのベクトル空間は、演算子 ( V、K )を持つ群です。

ジョーダン・ヘルダーの定理は、演算子を持つ群のコンテキストでも成立します。群が合成系列を持つという要件は、位相幾何学におけるコンパクト性の要件に類似しており、時には強すぎる要件となることがあります。「集合に対するコンパクト性」について話すこと、つまり、各（通常の）部分群が、問題の群の 演算子集合Xに対する演算子部分群である合成系列について話すことは自然です。

• グループアクション

• ブルバキ、ニコラス（1974）。数学の要素：代数I第1章から第3章。ヘルマン。ISBN 2-7056-5675-8。
• ブルバキ、ニコラス（1998年）。数学の要素：代数I第1章から第3章。シュプリンガー出版社。ISBN 3-540-64243-9。
• マック・レーン、サンダース（1998年）。働く数学者のためのカテゴリー。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-98403-8。