評価（代数）

体K上の離散評価は関数である: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

条件を満たす：

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

$\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

すべての人々のために${\displaystyle x,y\in K}$。

多くの場合、価値のみを取る些細な評価は${\displaystyle 0,\infty }$明示的に除外されています。

非自明な離散付値を持つ体は、離散付値体と呼ばれる。

あらゆる分野へ${\displaystyle K}$離散的な評価${\displaystyle \nu }$サブリングを関連付けることができます

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

の${\displaystyle K}$これは離散的な評価リングです。逆に、評価は${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$離散的な評価リング上で${\displaystyle A}$商体上の離散評価に独自の方法で拡張できる${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$; 関連する離散評価リング${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$はただ${\displaystyle A}$。

離散評価リング${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$極大イデアルを持つ局所環

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\nu }:=\left\{x\in {\mathcal {O}}_{\nu }\mid \nu (x)>0\right\},}$

つまり、剰余体の概念があるということだ。${\displaystyle \kappa ={\mathcal {O}}_{\nu }/{\mathfrak {m}}_{\nu }}$. 一部の著者は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$地元の${\displaystyle K}$-代数${\displaystyle \kappa }$そして${\displaystyle K}$同型である。

まず、以下のオブジェクトから始めます。

• 体K とその乗法群K ^×、
• アーベル全順序群( Γ , +, ≥)。

Γ上の順序付けと群法則は、規則によって集合Γ ∪ {∞ } ^{[ a ]に拡張される。}

• すべてのα ∈ Γに対して∞ ≥ α、
• すべてのα ∈ Γに対して、∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ です。

すると、Kの評価は任意の写像である

v  : K → Γ ∪ {∞}

Kのすべてのa、bに対して、以下の性質を満たすもの:

• v ( a ) = ∞ はa = 0の場合に限り成り立つ。
• v ( ab ) = v ( a ) + v ( b )、
• v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b ))、 v ( a ) ≠ v ( b ) の場合は等号が成立する。

評価vは、K ^×のすべてのaに対してv ( a ) = 0であれば自明であり、そうでなければ非自明である。  

2番目の性質は、任意の評価がK ^×上の群準同型であることを主張する。3番目の性質は、任意のΓに適合させた距離空間上の三角不等式のバージョンである（下記の§乗法表記を参照）。幾何学的応用で使用される評価の場合、最初の性質は、ある点の近くにある解析多様体の空でない芽が、その点を含むことを意味する。 

評価は、最高位項の位数として解釈できます。^{[ b ]} 3番目の性質は、和の位数がより大きな項の位数であることに対応します。^{[ c ]}ただし、2つの項の位数が同じ場合は、それらが相殺され、和の位数が高くなることがあります。

多くの応用において、Γは実数の加法部分群である。${\displaystyle \mathbb {R} }$^{[ d ]}この場合、∞ は拡張実数。${\displaystyle \min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a}$任意の実数aに対して、+∞ は最小値の二項演算の単位です。最小値と加算の演算を持つ実数 (+∞ で拡張) は、minトロピカル半環^{[ e ]}と呼ばれる半環を形成し、評価vはKからトロピカル半環へのほぼ半環準同型ですが、同じ評価を持つ 2 つの要素を加算すると準同型の性質が成り立たなくなる場合があります。

離散的な場合と同様に、与えられた評価v  : K → Γ ∪ {∞}から定義されるオブジェクトがいくつかあります。

• 値群または評価群Γ _v = v ( K ^{× ) は}Γの部分群です(ただし、vは通常全射であると仮定されるため、Γ _v = Γとなります)。
• 評価環R _vは、 v ( a ) ≥ 0となるa ∈ Kの集合 (部分環) である。  
• 素イデアルm _vは、 v ( a ) > 0を満たすa ∈ Kの集合です(実際にはR _vの極大イデアルであり、そのようなイデアルは一つだけです)。  
• 残留場k _v = R _v / m _v。

この概念は、エミール・アルティンが著書『幾何代数』の中で、群を乗法表記で(Γ, ·, ≥)と表記して展開した^{[ 2 ]}。

∞の代わりに、Γに形式的な記号Oを付加し、規則によって順序と群法則を拡張する。

• O ≤ α はすべてのα ∈ Γに対して成り立つ。
• すべてのα ∈ Γに対して、 O · α = α · O = O です。

すると、Kの評価は任意の写像である

| ⋅ | _v  : K → Γ ∪ { O }

すべてのa、b ∈ Kに対して、以下の性質を満たす。

• | a | _v = O はa = 0の場合に限る。
• | ab | _v = | a | _v · | b | _v、
• | a+b | _v ≤ max( | a | _v , | b | _v )、 | a | _v ≠ | b | _vの場合は等号が成立する。

（なお、不等号の向きは加法表記の場合とは逆になっています。）

Γ が乗法に関する正の実数の部分群である場合 、最後の条件は超距離不等式、つまり三角不等式| a+b | _v ≤ | a | _v + | b | _vのより強い形式であり、| ⋅ | _vは絶対値です。この場合、値群を持つ加法表記に移行できます。${\displaystyle \Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)}$v ₊ ( a ) = − log | a | _vとすることで。

K上の各評価は、対応する線形前順序を定義します。a ≼ b ⇔ | a | _v ≤ | b | _v 。逆に、必要な性質を満たす" ≼ " が与えられた場合、評価| a | _v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }を定義できます。乗算と順序はKと≼に基づいています。

本稿では、上記で定義した用語を加法表記で用いる。ただし、著者によっては別の用語を用いる場合もある。

• 私たちの「評価」（超距離不等式を満たすもの）は、「指数評価」または「非アルキメデス絶対値」または「超距離絶対値」と呼ばれます。
• （三角不等式を満たす）我々の「絶対値」は、「評価値」または「アルキメデスの絶対値」と呼ばれます。

評価群がそれぞれΓ ₁と Γ _2であるKの2 つの評価v ₁とv ₂は、すべてのa ∈ K ^{×に対して}v ₂ ( a ) = φ( v ₁ ( a ))となるような順序保存群同型φ : Γ ₁ → Γ ₂が存在する場合に同値であると言われる。これは同値関係である。   

Kの 2 つの評価は、評価環が同じである場合に限り同値である。一方、Kの任意の評価環Oは、標準評価v : K → Γ ∪ {∞}の評価環である。ここで、Γ = K ^× / O ^×は、 y / x ∈ OのときxO ^× ≤ yO ^×で線形に順序付けられたアーベル群であり、vは商写像v ( x ) = xO ^×である。 

体の評価値の同値類を「場所」と呼ぶ。オストロフスキーの定理は、有理数体の場所の完全な分類を与える。${\displaystyle \mathbb {Q}$ :} これらはまさに、 p進完了の評価の同値類です。${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Kの評価をvとし、Kの体拡大をLとする。vのLへの拡大とは、 Lの評価wであって、 wのKへの制限がvとなるようなものを指す。このような拡大の集合は、評価の分岐理論において研究される。

L / K を有限拡大とし、w をvからLへの拡大とする。Γ _wにおけるΓ _vの指数、e( w / v ) = [Γ _w : Γ _v ] は、 v上のwの縮約分岐指数と呼ばれる。これは、 e( w / v ) ≤ [ L : K ] (拡大L / Kの次数) を満たす。v上のwの相対次数は、 f ( w / v ) = [ R _w / m _w : R _v / m _v ] (剰余体の拡大の次数) と定義される。これも L / K の次数以下である。L / Kが分離可能な場合、v上のwの分岐指数は、e( w / v ) p ⁱと定義される。ここで、p ⁱはR _v / m _v上の拡大R _w / m _wの非分離次数である。            

順序付きアーベル群Γが整数の加法群である場合、関連する付値は絶対値と等価であり、したがって体K上に距離を誘導します。Kがこの距離に関して完備である場合、完備付値体と呼ばれます。Kが完備でない場合、この距離を使用してコーシー完備化を構成し、以下の例のようにK上の付値を拡張する一意の付値を得ることができます。異なる付値は異なる完備化体を定義できます。

一般に、付値はK上に一様構造を誘導し、 K が一様空間として完備である場合、 Kは完備付値体と呼ばれます。球面完備性と呼ばれる関連性質があり、それは完備性と同等です。${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ,}$しかし、全体的にはより強くなっている。

基本的な例として、有理数上の素数pに関連付けられたp進評価ν _{pが挙げられる。}${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$評価リング付き${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{(p)},}$どこ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$は、${\displaystyle \mathbb {Z} }$最高の理想において${\displaystyle (p)}$評価群は加法整数です${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z}$ ;} 剰余場は${\displaystyle k=\mathbb {Z} _{(p)}/p\mathbb {Z} _{(p)}\cong \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$整数の場合${\displaystyle a\in R=\mathbb {Z} ,}$評価値 ν _p ( a ) は、 aがpのべき乗で割り切れるかどうかを測定する。

${\displaystyle \nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divides }}a\};}$

分数の場合は、ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) − ν _p ( b ) となります。

これを乗法的に書くと、p進絶対値が得られ、慣例として底は となります。${\displaystyle 1/p=p^{-1}}$、 それで${\displaystyle |a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}}$。

完成${\displaystyle \mathbb {Q} }$_{ν p}に関して、場は${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$p進数の。

p進評価${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$代数的閉包にのみ拡張される${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$評価グループを持つ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Q} }$そして、​${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$その評価リングとして。したがって、${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$の完了${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$（これもまた代数的に閉じている）評価群も持っている${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{3 ]​}

リーマン面が与えられた場合${\displaystyle X}$我々は、その分野を考察することができる。${\displaystyle K=M(X)}$有理型関数の${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$固定点の場合${\displaystyle p\in X}$離散評価を定義する${\displaystyle K}$次のように：${\displaystyle \nu (f)=j}$かつその場合に限り${\displaystyle j}$は、関数が${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$は、正則関数に拡張できます。${\displaystyle p}$これはつまり、もし${\displaystyle \nu (f)=j>0}$それから${\displaystyle f}$順序の根を持つ${\displaystyle j}$その時点で${\displaystyle p}$; もし${\displaystyle \nu (f)=j<0}$それから${\displaystyle f}$秩序の極を持つ${\displaystyle -j}$で${\displaystyle p}$同様に、代数曲線の関数体上のすべての正則点に対して離散的な評価値を定義することもできる。${\displaystyle p}$曲線に沿って。

K = F (x) をアフィン直線X = F ¹上の有理関数とし、点a ∈ X を取る。多項式の場合${\displaystyle f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}}$と${\displaystyle a_{k}\neq 0}$、v _a ( f ) = k をx = aで消滅する次数と定義し、v a ₍ f / g ) = v _a ( f ) − v _a ( g ) とします。すると、評価環Rはx = aに極を持たない有理関数からなり、完備化は形式的なローラン級数環F (( x − a )) になります。これは、プイズー級数K {{ t }} (分数べき乗) の体、レヴィ・チヴィタ体(そのコーシー完備化)、およびハーン級数の体に一般化でき、いずれの場合も評価は級数に現れるtの最小指数を返します。

前述の例を一般化して、R を主イデアル整域、Kをその分数体、π をRの既約元とする。すべての主イデアル整域は一意分解整域であるため、 Rの非零元a は（実質的に）一意に次のように表すことができる。

${\displaystyle a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$

ここで、e _iは非負整数であり、p _iはπの関連元ではないRの既約元である。特に、整数e _aはaによって一意に決定される。

Kのπ進評価は次のように与えられる。

• ${\displaystyle v_{\pi }(0)=\infty }$
• ${\displaystyle v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ for }}a,b\in R,a,b\neq 0.}$

π' がRの別の既約元で、(π')  =  (π) (つまり、Rにおいて同じイデアルを生成する) である場合、π 進付値と π' 進付値は等しい。したがって、π 進付値はP進付値と呼ばれることができ、ここでP  =  (π) である。その付値環はR _Pである。

前述の例はデデキント整域に一般化できる。Rをデデキント整域、Kをその分数体、P をRの零でない素イデアルとする。このとき、PにおけるRの局所化( R _Pと表記) は、分数体がKである主イデアル整域である。前の節の構成をR _Pの素イデアルPR _{Pに適用すると、} KのP進付値が得られる。

例えば、R が代数体Kの整数環である場合、P進付値に関するKの完備化は、${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$素数pに対して${\displaystyle P\cap \mathbb {Q} =(p)}$（アルキメデス的ではない）局所体。