循環モジュール

数学、より具体的には環論において、巡回加群または単元加群^{[1]は、1つの元によって生成される}環上の加群である。この概念は巡回群の概念、つまり1つの元によって生成される アーベル群 （つまりZ加群）の一般化である。

左R加群Mは、 M が単一の要素によって生成できる場合、つまりM = ( x ) = Rx = { rx | r ∈ R } ( M内の何らかのxに対して) である場合に巡回的と呼ばれます。同様に、右R加群N は、 N = yR ( y ∈ Nに対して) である場合に巡回的です。

• 2 Z はZ加群として巡回加群です。
• 実際、すべての巡回群は巡回Zモジュールです。
• あらゆる単純な R加群M は巡回加群である。なぜなら、Mの任意の非ゼロ元xによって生成されるサブ加群は、必然的に加群M全体となるからである。一般に、加群が単純であるためには、加群が非ゼロであり、その非ゼロ元それぞれによって生成される必要がある。^[2]
• 環R をそれ自身の左加群とみなすと、その巡回部分加群は環としての左主イデアルとまったく同じである。Rを右R加群として考える場合も、必要な変更を加えれば同じことが当てはまる。
• R が体F上の多項式環F [ x ]であり、VがR加群でF上の有限次元ベクトル空間でもある場合、Vに作用するxのジョルダンブロックは巡回部分加群である。 (ジョルダンブロックはすべてF [ x ] / ( x − λ ) ⁿに同型である。異なる消滅子を持つ他の巡回部分加群が存在する場合もある。以下を参照。)

• xによって生成される巡回R加群Mが与えられた場合、 MとR / Ann _R xの間には標準同型性が存在する。ここで、Ann _R x はRにおけるxの消滅を表す。

• 有限生成モジュール

• アンダーソン、フランク W.; フラー、ケント R. (1992)、「環と加群のカテゴリ」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 13 (2 ed.)、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. x+376、doi :10.1007/978-1-4612-4418-9、ISBN 0-387-97845-3、MR  1245487
• B. ハートレー、TO ホークス (1970)。環、モジュール、線形代数。チャップマンとホール。pp. 77、152。ISBN 0-412-09810-5。
• ラング、セルジュ（1993）、代数学（第3版）、マサチューセッツ州レディング：アディソンウェスレー、pp. 147-149、ISBN 978-0-201-55540-0、ZBL  0848.13001