半単純モジュール

数学、特にモジュール理論として知られる抽象代数学の分野では、半単純モジュールまたは完全可約モジュールは、その構成要素から容易に理解できるタイプのモジュールです。自身上で半単純モジュールである環は、アルティン半単純環として知られています。標数ゼロの体上の有限群の群環など、いくつかの重要な環は半単純環です。アルティン環は、まずその最大の半単純商環を通して理解されます。アルティン半単純環の構造は、これらの環を行列環の有限直積として示すアルティン・ウェダーバーン定理によってよく理解されています。

同じ概念の群論における類似例については、「半単純表現」を参照してください。

（必ずしも可換ではない）環上の加群は、単純（既約）部分加群の直和である場合、半単純（または完全既約）であると言われる。

モジュールMの場合、以下は同等である。

1. Mは半単純である。すなわち、既約加群の直和である。
2. Mは、その既約部分加群の和である。
3. Mのすべての部分加群は直和因子である。Mのすべての部分加群Nに対して、 M = N ⊕ Pとなる補加群Pが存在する。

同値性の証明については、「半単純表現 § 同値な特徴付け」を参照してください。

半単純加群の最も基本的な例は、体上の加群、すなわちベクトル空間である。一方、整数環Zは、部分加群2Zが直和因子ではないため、それ自身上の半単純加群ではない。

半単純は完全分解可能よりも強い。完全分解可能は、分解不可能な部分加群の直和である。

Kを体とする。このとき、 A上の左加群Mは、 Kの任意の体拡大Fに対して、F ⊗ _K MがF ⊗ _K A上の半単純加群であるとき、絶対半単純であるという。

• Mが半単純であり、Nが部分加群である場合、NとM / Nも半単純である。
• （無限に存在する可能性のある）半単純加群の直和は半単純加群である。
• 加群Mが有限生成かつ半単純であるのは、それがアルティン加群であり、かつその根基がゼロである場合に限る。

• 環R上の半単純加群M は、 RからMのアーベル群自己準同型の環への環準同型と考えることもできます。この準同型の像は半原始環であり、すべての半原始環はこのような像と同型です。
• 半単純加群の自己準同型環は半原始的であるだけでなく、フォン・ノイマン正則でもある。^{[ 1 ]}

環は、それ自身に対する左加群として半単純である場合、 （左）半単純であると言われる。 ^{[ 2 ]}驚くべきことに、左半単純環は右半単純でもあり、その逆もまた然りである。したがって、左/右の区別は不要であり、半単純環について曖昧さなく語ることができる。

半単純環はホモロジー代数の観点から特徴づけられる。すなわち、環Rが半単純であるのは、左 (または右) R加群の任意の短完全列がを分割する場合に限る。つまり、短完全列に対して が成り立つ。

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$

s  : C → Bが存在し、合成g ∘ s  : C → Cは恒等写像となる。写像sは切断として知られている。これから次のことが導かれる。

${\displaystyle B\cong A\oplus C}$

より正確に言うと

${\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C).}$

特に、半単純環上の任意の加群は単射かつ射影的である。「射影的」は「平坦」を意味するので、半単純環はフォン・ノイマン正則環である。

半単純環は代数学者にとって特に興味深いものです。例えば、基底環Rが半単純環であれば、すべてのR加群は自動的に半単純環になります。さらに、すべての単純（左）R加群はRの最小左イデアルと同型であり、つまりRは左カッシュ環です。

半単純環はアルティン環かつネーター環である。上記の性質から、環が半単純環であるのは、それがアルティン環であり、かつヤコブソン根基がゼロである場合に限る。

アルティン半単純環が中心部分環として体を含む場合、それは半単純代数と呼ばれる。

• ソクル
• 半単純代数