加法的アイデンティティ

数学において、加法の演算を備えた集合の加法単位元とは、その集合内の任意の要素xに加えるとxになる要素のことです。最もよく知られている加法単位元の 1 つは初等数学の数値0ですが、加法単位元は群や環など、加算が定義されている他の数学構造にも存在します。

• 初等数学でおなじみの加法恒等式はゼロであり、0と表記される。例えば、

  ${\displaystyle 5+0=5=0+5.}$

• 自然数 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$ (0 が含まれる場合)、整数 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$有理数⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$実数⁠ ⁠複素数 ⁠ ⁠では、加法単位元は0 です。これは、これらの集合のいずれかに属する 数nについて、${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

  ${\displaystyle n+0=n=0+n.}$

N を加法演算+の下で閉じた群とする。Nの加法単位元eは、Nの任意の元nに対して、

${\displaystyle e+n=n=n+e.}$

• 群において、加法単位元は群の単位元であり、0 と表記されることが多く、一意です (証明については下記を参照)。
• 環または体は加法演算による群であるため、これらも一意の加法単位元 0 を持ちます。環 (または体) に複数の元がある場合、これは乗法単位元 1 とは異なると定義されます。加法単位元と乗法単位元が同じ場合、環は自明です(以下で証明)。
• 環R上のm行n列の行列の環M _{m × n} ( R )において、加法単位元は零行列^[1] Oまたは0で表され、R内の単位元 0 のみで構成されるm行n列の行列である。例えば、整数⁠ ⁠上の 2×2 行列では、加法単位元は次のようになる 。 ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$

  ${\displaystyle 0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• 四元数では、0 は加法単位元です。
• ⁠ ⁠からの関数の環において、すべての数を 0 に写像する関数は加法恒等関数です。${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$
• ⁠ ⁠のベクトルの加法群では、原点またはゼロベクトルが加法単位元です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

( G , +)を群とし、Gの0と0 ' はともに加法単位元を表すものとする。したがって、 Gの任意のgに対して、

${\displaystyle 0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.}$

以上のことから、

${\displaystyle {\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.}$

乗算演算が加算に分配されるシステムでは、加法単位元は乗法吸収要素であり、 S内の任意のsに対してs · 0 = 0であることを意味します。これは次の理由によります。

${\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}}$

R を環とし、加法単位元 0 と乗法単位元 1 が等しい、つまり 0 = 1 であるとする。rをRの任意の元とする。すると

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}$

Rが自明であること、つまりR = {0}であることを証明します。したがって、Rが自明でない場合は 0 は 1 に等しくないという逆説が示され ます。

• 0 (数字)
• 加法逆数
• アイデンティティ要素
• 乗法的な恒等式

• David S. Dummit、Richard M. Foote、「Abstract Algebra」、Wiley（第3版）：2003年、ISBN 0-471-43334-9。 

• PlanetMathにおける環の加法単位元の一意性。