代数のハッセ不変量

数学において、代数のハッセ不変量（はせふいんか、英: Hasse invariant）は、体上の代数のブラウアー類に付随する不変量である。この概念はヘルムート・ハッセにちなんで名付けられた。この不変量は局所類体理論において役割を果たす。

K を付値v を持つ局所体とし、DをK代数とする。DはKの中心がn次である除算代数であると仮定できる。付値v は、例えばDの各可換部分体に互換的に拡張することによってDに拡張できる。この付値の値群は (1/ n ) Zである。^[1]

Dの可換部分体Lが存在し、これはK上不分岐であり、D はL上で分裂する。^[2] Lは一意ではないが、そのような拡張はすべてスコーレム・ノイマン定理によって共役であり、さらにLの任意の自己同型はDの共役によって誘導されることが示されている。 γ による共役がL / Kのフロベニウス自己同型を誘導するようなγ をDに取り、v (γ) = k / nとする。すると、k / nを法として 1 はDのハッセ不変量となる。これはDのブラウアー類にのみ依存する。^[3]

ハッセ不変量は、局所体KのBrauer 群から可分群Q / Zへの写像として定義される。^{[3] [4]} Brauer 群のあらゆるクラスは、次数 nのL / Kの非分岐拡大の Brauer 群のクラスによって表される。^[5] Grunwald–Wang の定理とAlbert–Brauer–Hasse–Noether の定理により、これをあるk mod nに対する巡回代数( L ,φ,π ^k )と見なすことができる。ここで、 φ はフロベニウス写像、 π は一様化写像である。^[6] 不変写像は、クラスに元k / n mod 1 を付加する。これは、不変写像を準同型写像として示す。

${\displaystyle {\underset {L/K}{\operatorname {inv} }}:\operatorname {Br} (L/K)\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

不変写像は、各クラスを上記のようにBr( L / K )の何らかの要素で表すことによってBr( K )に拡張される。^{[3] [4]}

非アルキメデス局所体の場合、不変写像は群同型である。^{[3] [7]}

実数体Rの場合、代数R自身と四元数代数Hで表される2つのブラウアー類が存在する。^[8] R の類に不変量ゼロを割り当て、四元数類に1を法とする不変量1/2を割り当てると便利である。

複素数体Cの場合、ブラウアー類は不変零点を持つ自明な類のみである。^[9]

大域体Kに対して、 K上の中心単純代数Dが与えられたとき、 Kの各付値vに対して、スカラーの拡大D _v = D ⊗ K _vを考えることができる。 拡大D _{v は}有限個を除くすべてのvに対して分解するため、D _vの局所不変量はほぼ常にゼロである。ブラウアー群 Br( K ) は正確な数列に適合する^{[8] [9]}

${\displaystyle 0\rightarrow {\textrm {Br}}(K)\rightarrow \bigoplus _{v\in S}{\textrm {Br}}(K_{v})\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

ここで、S はKのすべての値の集合であり、右矢印は局所不変量の合計です。左矢印の単射性は、アルバート・ブラウアー・ハッセ・ノイマン定理の内容です。中間項の正確性は、大域類体理論からの深い事実です。

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• ロレンツ、ファルコ (2008)。代数学。第2巻：構造を持つ体、代数、および高度なトピック。シュプリンガー。pp. 231–238。ISBN 978-0-387-72487-4.ZBL1130.12001  。​
• Serre, Jean-Pierre (1967)。「VI. 局所類体理論」。Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (編)。代数的数論。国際数学連合の支援を受けてロンドン数学協会 (NATO 先端研究機関) が主催した教育会議の議事録。ロンドン: Academic Press。pp. 128–161。Zbl 0153.07403  。
• セール、ジャン＝ピエール（1979）。局所場。数学大学院テキスト。第67巻。グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ訳。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-90424-7.Zbl 0423.12016  .

• シャッツ、スティーブン・S（1972）。 「プロフィニット群、算術、幾何学」。数学研究年報。第67巻。プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08017-8. MR  0347778. Zbl  0236.12002.