正方行列

主対角線以外のすべての要素がゼロの場合、${\displaystyle A}$は対角行列と呼ばれます。主対角線より下（または上）のすべての要素がゼロの場合、${\displaystyle A}$これは上三角​​行列（または下三角行列）と呼ばれます。

単位行列${\displaystyle I_{n}}$サイズの${\displaystyle n}$は${\displaystyle n\times n}$主対角線上のすべての要素が 1 であり、その他のすべての要素が 0 である行列。例: $${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$ これは次数 の正方行列です${\displaystyle n}$また、特殊な対角行列でもある。単位行列という用語は、行列の乗算の性質を指し、 $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A}$$いかなる場合でも${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$。

正方行列${\displaystyle A}$行列が存在する場合、それは可逆または非特異であると呼ばれます。${\displaystyle B}$^{[ 1 ] [ 2 ]}​$${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$$ もし${\displaystyle B}$が存在する場合、それは一意であり、逆行列と呼ばれます。${\displaystyle A}$、と表記される${\displaystyle A^{-1}}$。

正方行列${\displaystyle A}$それはその転置と等しい、つまり、${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$は対称行列です。代わりに${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$、それから${\displaystyle A}$これは歪対称行列と呼ばれます。

複素正方行列の場合${\displaystyle A}$多くの場合、転置の適切な類似物は共役転置である。${\displaystyle A^{*}}$は、の複素共役の転置として定義される。${\displaystyle A}$複素 正方行列${\displaystyle A}$満足${\displaystyle A^{*}=A}$はエルミート行列と呼ばれます。${\displaystyle A^{*}=-A}$、それから${\displaystyle A}$これは歪エルミート行列と呼ばれます。

スペクトル定理によれば、実対称行列（または複素エルミート行列）は直交（またはユニタリ）固有基底を持ちます。つまり、すべてのベクトルは固有ベクトルの線形結合として表現できます。どちらの場合も、すべての固有値は実数です。^{[ 3 ]}

対称なn × n行列は、すべての非ゼロベクトルに対して、正定値（それぞれ負定値、不定値）であると言われます。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$関連する二次形式は次のように与えられる。 $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }$$ 正の値のみを取る（それぞれ負の値のみ、負の値と正の値の両方を取る）。^{[ 4 ]}二次形式が非負の値のみを取る（それぞれ非正の値のみを取る）場合、対称行列は正半定値（それぞれ負半定値）と呼ばれます。したがって、行列が正半定値でも負半定値でもない場合に限り、行列は不定値となります。

対称行列は、そのすべての固有値が正である場合に限り、正定値行列である。^{[ 5 ]}右の表は、2×2行列の2つの可能性を示している。

入力として 2 つの異なるベクトルを許可すると、Aに関連付けられた双線形形式が得られます。^{[ 6 ]}$${\displaystyle B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .}$$

直交行列とは、列と行が直交単位ベクトル（すなわち正規直交ベクトル）である実数成分を持つ正方行列のことである。言い換えれば、行列Aの転置行列が逆行列と等しい場合、その行列は直交行列である。 $${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$ それは、 $${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$ ここで、Iは単位行列である。

直交行列Aは必ず可逆（逆行列A ⁻¹ = A ^T）、ユニタリ（A ⁻¹ = A *）、正規（A * A = AA *）である。任意の直交行列の行列式は +1 または −1 のいずれかである。${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$行列式が+1のn × n直交行列から構成される。

直交行列の複素数版はユニタリ行列である。

実数または複素数の正方行列${\displaystyle A}$正常と呼ばれるのは${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$ 実数正方行列が対称行列、歪対称行列、または直交行列である場合、それは正規行列である。複素正方行列がエルミート行列、歪エルミート行列、またはユニタリ行列である場合、それは正規行列である。正規行列が興味深いのは、主に、先に挙げたタイプの行列を含み、スペクトル定理が成り立つ最も広いクラスの行列を形成するためである。^{[ 7 ]}

正方行列Aのトレースtr( A ) は、その対角成分の和です。行列の乗算は可換ではありませんが、2 つの行列の積のトレースは、因数の順序に依存しません 。$${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$ これは行列乗算の定義からすぐにわかる。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$ また、行列のトレースは転置行列のトレースと等しい。つまり、 $$\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

決定要因${\displaystyle \det(A)}$または${\displaystyle |A|}$正方行列の${\displaystyle A}$は、行列の特定の特性を表す数値です。行列は、行列式がゼロでない場合に限り、可逆です。その絶対値は面積（インチ）に等しくなります。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$）または体積（$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$）は単位正方形（または立方体）の像を表し、その符号は対応する線形マップの向きに対応します。行列式は、向きが保持されている場合に限り正になります。

2×2行列の行列式は次のように表されます。 $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$ 3×3行列の行列式は6項から構成される（サラスの法則）。より長いライプニッツの公式は、これら2つの公式をすべての次元に一般化したものである。^{[ 8 ]}

正方行列の積の行列式は、それらの行列式の積に等しい。^{[ 9 ]}$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$ 任意の行の倍数を別の行に加えたり、任意の列の倍数を別の列に加えたりしても、行列式は変わりません。 2 つの行または 2 つの列を入れ替えると、行列式に −1 を掛けることで影響します。^{[ 10 ]}これらの操作を使用すると、任意の行列を下三角行列 (または上三角行列) に変換でき、そのような行列の場合、行列式は主対角の要素の積に等しくなります。これにより、任意の行列の行列式を計算する方法が提供されます。最後に、ラプラス展開は、行列式を小行列式、つまりより小さな行列の行列式で表します。^{[ 11 ]}この展開は、行列式の再帰的な定義に使用できます (開始ケースとして、1×1 行列の行列式 (これは唯一の要素です)、または 0×0 行列の行列式 (これは 1 です) を取ります)。これは、ライプニッツの公式と同等であることがわかります。行列式は、クラメルの公式を用いて線形システムを解くために使用できます。クラメルの公式では、関連する2つの正方行列の行列式の割り算が、システムの各変数の値に等しくなります。^{[ 12 ]}

数値λとゼロでないベクトル${\displaystyle \mathbf {v} }$満足 $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$は、固有値と固有ベクトル と呼ばれます。${\displaystyle A}$それぞれ。[ ^{13 ] [ 14 ]数}λはn × n行列Aの固有値であるのは、 A − λ I _nが可逆でない場合に限る。これは^{[ 15 ]}と同等である。$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$行列式det( XI _n − A )の評価によって得られる不定行列Xの 多項式p _Aは、 Aの特性多項式と呼ばれます。これは次数nの単項式です。したがって、多項式方程式p _A (λ) = 0は、最大でn 個の異なる解、つまり行列の固有値を持ちます。^{[ 16 ]} Aの要素が実数であっても、それらは複素数になることがあります。ケイリー・ハミルトンの定理によれば、p _A ( A ) = 0、つまり、行列自体をその特性多項式に代入した結果はゼロ行列になります。