通常のローカルリング

可換代数において、正則局所環は、その最大イデアルの生成元の最小数がそのクルル次元に等しいという性質を持つネーター 局所環である。^[1]記号で、A を唯一の最大イデアル m を持つ任意のネーター局所環とし、a ₁ , ..., a _{n を}m の生成元の最小集合とする。すると、クルルの主イデアル定理から、 n ≥ dim Aとなり、n = dim Aのときは常にAが正則となる。

この概念は幾何学的な意味から生まれた。代数多様体X上の点xが非特異点(滑らかな点) となるのは、 xにおける芽の局所環が正則である場合に限る。(正則スキームも参照。) 正則局所環はフォン・ノイマン正則環とは関係がない。^[a] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

ネーター局所環の場合、次の包含連鎖が存在する。

普遍カテナリー環⊃ コーエン・マコーレー環⊃ゴレンシュタイン環⊃完全交差環⊃正則局所環

正則局所環には有用な定義が数多くあり、そのうちの 1 つは上で述べたとおりです。特に、 が最大イデアル を持つネーター局所環である場合、次の定義は同値です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

• をできるだけ小さく選ぶとします。すると、は正則になります。${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim A=n\,}$、

ここで、次元はクルル次元です。 の生成元の最小集合は、パラメータの正規システムと呼ばれます。${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

• を の留数体とする。 が正則な場合、${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$、

ここで、2 番目の次元はKrull 次元です。

• を の大域次元（すなわち、すべての - モジュールの射影次元の上限）とします。 が正則である場合、${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$、

その場合、.${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$

重複度 1 の基準は、次のように述べています。^[2]ノイザン局所環Aの完備化が単混合 (零イデアルの埋め込まれた素因数が存在せず、各極小素数pに対して)であり、Aの重複度が 1 である場合、Aは正則です。 (逆は常に真です。正則局所環の重複度は 1 です。) この基準は、交差の局所環が正則であるための必要条件は、交差が横断交差である場合のみであるという、代数幾何学における幾何学的直観に対応します。 ${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}}$

正特性の場合、クンツによる次の重要な結果が得られます。正特性pのネーター局所環が正則であるための必要条件は、フロベニウス射が平坦で簡約される場合のみです。特性 0 では同様の結果は知られていません (フロベニウス射をどのように置き換えるべきか不明です)。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\to R,r\mapsto r^{p}}$${\displaystyle R}$

1. すべての体は正則な局所環です。これらは (Krull) 次元 0 を持ちます。実際、体はまさに次元 0 の正則な局所環です。
2. 任意の離散評価環は次元 1 の正則局所環であり、次元 1 の正則局所環はまさに離散評価環です。具体的には、kが体でX が不定値である場合、形式冪級数 k [[ X ]]の環は(Krull) 次元 1 の正則局所環です。
3. p が通常の素数である場合、 p 進整数の環は離散評価環の例であり、したがって、体を含まない正則局所環です。
4. より一般的には、kが体でX ₁、X ₂、 ...、X _dが不定値である場合、形式冪級数k [[ X ₁、X ₂、 ...、X _d ]] の環は (Krull) 次元d を持つ正則局所環です。
5. Aが正則局所環である場合、形式冪級数環A [[ x ]] は正則局所環であることがわかります。
6. Z が整数環で、X が不定値である場合、環Z [ X ] _{(2, X )} (つまり、素イデアル (2, X ) に局在する環Z [ X ] ) は、体を含まない 2 次元正則局所環の例です。
7. アーヴィン・コーエンの構造定理によれば、体k を含むクルル次元dの完全正則局所環は、 kの拡大体上のd変数の冪級数環である。

この環は有限次元であるが有限の全体次元を持たないため、正規の局所環ではない。例えば、無限の解像度がある。 ${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

別の特徴付けを用いると、にはちょうど 1 つの素イデアル があるため、環は Krull 次元 を持ちますが、 は零イデアルであるため、の次元は少なくとも になります。(実際、 は基底である ため、 はに等しくなります。)${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$

アウスランダー・ブックスバウムの定理は、すべての正則局所環は一意の因数分解領域であることを述べています。

正則局所環の あらゆる局所化と完備化は正則である。

が体を含む完全な正則局所環である 場合、${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$、

ここで、は留数体、 はクルル次元 です。${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle d=\dim A}$

参照:セールの高さに関する不等式とセールの多重度予想。

正則局所環はもともと1937 年にWolfgang Krullによって定義されましたが^[3] 、数年後のOscar Zariskiの研究で初めて有名になりました^{[4] [5] 。Zariski は、幾何学的には正則局所環は}代数多様体上の滑らかな点に対応することを示しました。Yを完全体上のアフィンn空間に含まれる代数多様体とし、Y を多項式f ₁ ,..., f _mの消失点とします。Y がPで非特異であるためには、Yはヤコビ条件を満たします。M = (∂ f _i /∂ x _j ) が多様体の定義方程式の偏微分行列である場合、 MをPで評価することによって求められる行列の階数はn − dim Yです。Zariski は、 YのPでの局所環が正則である場合に限り、YがPで非特異であることを証明しました。 (ザリスキは、これは非完全な体ではうまくいかないことがあると観察した。) これは、滑らかさが多様体の本質的な性質であることを意味する。言い換えれば、滑らかさは多様体がアフィン空間のどこにどのように埋め込まれているかには依存しない。また、正則局所環は良い性質を持つはずであることを示唆しているが、ホモロジー代数の手法が導入される前は、この方向についてはほとんど知られていなかった。1950 年代にそのような手法が導入されると、アウスランダーとブックスバウムは、すべての正則局所環が一意の因数分解領域であることを証明した。

幾何学的直観によって示唆されるもう 1 つの特性は、正則局所環の局所化はやはり正則でなければならないということです。これもまた、ホモロジー手法が導入されるまでは未解決でした。正則局所環のホモロジー的特徴付けを発見したのは、ジャン=ピエール・セールでした。局所環Aが正則であるためには、 A が有限の大域次元を持つ必要があります。つまり、すべてのA加群が有限の長さの射影分解を持つ必要があります。有限の大域次元を持つという特性が局所化によっても維持されること、したがって、正則局所環の素イデアルでの局所化がやはり正則であることを示すのは簡単です。

これは、次のセクションで与えられる非局所可換環の 正則性の定義を正当化します。

可換代数において、正則環は可換ノイザン環であり、あらゆる素イデアルにおける局所化は正則局所環である。つまり、あらゆるそのような局所化は、その最大イデアルの生成元の最小数がそのクルル次元に等しいという性質を持つ。

正則環という用語の由来は、アフィン多様体が非特異である（つまり、すべての点が正則である）のは、その正則関数の環が正則である場合に限るという事実にあります。

正則環の場合、クルル次元は大域ホモロジー次元と一致します。

ジャン＝ピエール・セールは、正則環を有限大域ホモロジー次元の可換ネーター環として定義しました。彼の定義は、無限クルル次元の正則環を許容する上記の定義よりも強力です。

正則環の例には、体（次元 0）とデデキント領域が含まれます。Aが正則であれば、 A [ X ] も正則であり、次元はAより 1 大きくなります。

特に、k が体、整数環、または主イデアル領域である場合、多項式環 は正則です。体の場合、これはヒルベルトの syzygy 定理です。 ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

正則環の任意の局所化も正則です。

正則環は縮約される^[b]が、整域である必要はない。例えば、2つの正則整域の積は正則だが、整域ではない。^[6]

• 幾何学的に規則的なリング
• 準自由リング

• アティヤ、マイケル F. ;マクドナルド、イアン G. (1969)、可換代数入門、アディソン・ウェズレー、MR  0242802
• Kunz, 特性 p の正則局所環の特徴付け Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784。
• Tsit-Yuen Lam、Lectures on Modules and Rings、Springer-Verlag、1999 年、ISBN 978-1-4612-0525-8。第 5 章 G. 
• Jean-Pierre Serre、局所代数、Springer-Verlag、2000、ISBN 3-540-66641-9。第 IV.D 章 
• スタックスプロジェクトの通常のリング