ブールリング

数学において、ブール環Rは、Rのすべてのxに対してx ² = xとなる環、すなわち冪等元のみからなる環である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}例としては、法 2の整数環がある。

すべてのブール環はブール代数を生成し、環の乗算は論理積または交会∧に対応し、環の加算は排他的論理和または対称差（半環を構成する論理 和∨ ^{[ 4 ]}ではない）に対応する。逆に、すべてのブール代数はブール環を生成する。ブール環は、ブール代数の創始者であるジョージ・ブールにちなんで名付けられている。

ブール環とブール代数には、少なくとも4つの異なる、互換性のない表記体系が存在する。

• 可換代数では、標準的な表記法として、xとyの環和にはx + y = ( x ∧ ¬ y ) ∨ (¬ x ∧ y )を用い、それらの積にはxy = x ∧ yを用います。
• 論理学では、共通表記法として、交わりにはx ∧ y (環積と同じ) を使用し、結合にはx ∨ yを使用します。環表記法 (すぐ上に示しました) では、 x + y + xyと表されます。
• 集合論や論理学では、交わりを表すのにx · y を、結合を表すのにx + yを使うのが一般的です。^{[ 5 ]} この+の使い方は、環論での使い方とは異なります。
• まれな慣習として、積にはxy を、環和にはx ⊕ yを使用し、 +の曖昧さを避けるようにしています。

歴史的に、「ブール環」という用語は「単位元を持たない可能性のあるブール環」を意味し、「ブール代数」は単位元を持つブール環を意味するために用いられてきた。単位元の存在は、環を2元体上の代数とみなすために必要である。そうでなければ、2元体からブール環への（単位元を持つ）環準同型は存在しない。（これは、測度論における「環」と「代数」という用語の古い用法と同じである。^{[ a ]}）

ブール環の一例として、任意の集合Xの冪集合が挙げられます。この環では、加算は対称差、乗算は共通部分です。別の例として、 Xのすべての有限部分集合または余有限部分集合の集合も考えることができます。ここでも、演算は対称差と共通部分です。より一般的には、これらの演算を用いると、任意の集合体はブール環になります。ストーンの表現定理によれば、すべてのブール環は集合体（これらの演算を用いる環として扱われる）と同型です。

ブール代数における結合演算∨は加法的に記述されることが多いため、この文脈では、排他的論理和を表すためによく使われる記号⊕で環の加算を表すのが理にかなっています。

ブール環Rが与えられたとき、Rのxとyに対して、次のように定義できます。

x ∧ y = xy、

x ∨ y = x ⊕ y ⊕ xy、

¬ x = 1 ⊕ x。

これらの演算は、ブール代数における交わり、結合、補集合に関するすべての公理を満たします。したがって、すべてのブール環はブール代数になります。同様に、すべてのブール代数は次のようにブール環になります。

xy = x ∧ y、

x ⊕ y = ( x ∨ y ) ∧ з( x ∧ y )。

このようにブール環をブール代数に変換し、さらにそのブール代数を環に変換すると、結果は元の環になる。同様の結果は、ブール代数から始める場合にも成り立つ。

2つのブール環間の写像は、対応するブール代数の準同型写像である場合に限り、環準同型写像である。さらに、ブール環の部分集合は、そのブール代数の順序イデアル（素順序イデアル、極大順序イデアル）である場合に限り、環イデアル（素環イデアル、極大環イデアル）である。ブール環を環イデアルで割った商環は、対応するブール代数を対応する順序イデアルで割った因子環に対応する。

すべてのブール環R は、すべてのx ∈ Rに対してx ⊕ x = 0を満たす。なぜなら、

x ⊕ x = ( x ⊕ x ) ² = x ² ⊕ x ² ⊕ x ² ⊕ x ² = x ⊕ x ⊕ x ⊕ x

また、 ( R , ⊕)はアーベル群であるため、この等式の両辺からx ⊕ xを引くと、 x ⊕ x = 0となります。同様の証明により、すべてのブール環が可換であることが示されます。

x ⊕ y = ( x ⊕ y ) ² = x ² ⊕ xy ⊕ yx ⊕ y ² = x ⊕ xy ⊕ yx ⊕ yとなり、これによりxy ⊕ yx = 0が得られ、これはxy = yxを意味します(上記の最初の性質を使用)。

性質x ⊕ x = 0は、任意のブール環が、2 つの要素を持つ体F ₂上の結合代数であることを、ただ 1 つの方法で示している。特に、任意の有限ブール環の濃度は2 のべき乗である。F ₂上のすべての単位的結合代数がブール環であるとは限らない。例えば、多項式環F ₂ [ X ]を考えてみよう。

任意のブール環Rを任意のイデアルIで割った商環R / Iもまたブール環である。同様に、ブール環の任意の部分環もブール環である。

集合S ⊆ Rによるブール環Rの任意の局所化RS ⁻¹はブール環である。なぜなら、局所化内のすべての要素は冪等だからである。

ブール環Rの商環Q ( R )の最大環(Utumi とLambekの意味で)は、すべての部分自己準同型が冪等であるため、ブール環である。^{[ 6 ]}

ブール環Rにおけるすべての素イデアルP は極大イデアルです。商環R / Pは整域であり、かつブール環でもあるため、体F _{2と同型であり、} Pの極大性を示しています。極大イデアルは常に素イデアルであるため、ブール環では素イデアルと極大イデアルは一致します。

ブール環の有限生成イデアルはすべて主イデアルです（実際、( x , y ) = ( x + y + xy )) 。さらに、すべての要素が冪等元であるため、ブール環は可換フォン・ノイマン正則環であり、したがって絶対平坦です。つまり、ブール環上のすべての加群は平坦です。

ブール環における単一化は決定可能である^{[ 7 ]。}すなわち、ブール環上の任意の方程式を解くアルゴリズムが存在する。有限生成自由ブール環における単一化とマッチングはどちらもNP完全であり、有限表示ブール環ではどちらもNP困難である^{[ 8 ]} 。 （実際、ブール環における任意の単一化問題f ( X ) = g ( X )はマッチング問題f ( X ) + g ( X ) = 0に書き換えることができるため、これらの問題は等価である。）

ブール環における単一化は、解釈されない関数記号がすべてヌルである場合は単一化であり、そうでない場合は有限化である（つまり、ブール環のシグネチャに現れない関数記号がすべて定数である場合は最も一般的な単一化子が存在し、そうでない場合は最小の完全な単一化子の集合は有限である）。^{[ 9 ]}

• 環和の正規形

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• ジョン・アームストロング著『ブール環』