代数表現

抽象代数学において、結合代数の表現とは、その代数に対する加群のことです。ここでいう結合代数とは、（必ずしも単位元を持つとは限らない）環のことです。代数が単位元を持たない場合、標準的な方法で単位元を持つようにすることができます（随伴関手のページを参照）。結果として得られる単位元を持つ環に対する加群（単位元は恒等写像によって作用する）と、代数の表現との間に本質的な違いはありません。

固有値と固有ベクトルは、代数表現に一般化することができる。

代数表現の固有値の一般化は、単一のスカラーではなく、一次元表現である。${\displaystyle \lambda \colon A\to R}$（つまり、代数からその基礎となる環への代数準同型写像：乗法的でもある線形汎関数）。 ^{[注1 ]}これは重みとして知られており、固有ベクトルと固有空間の類似物は重みベクトルと重み空間と呼ばれます。

単一演算子の固有値のケースは、代数に対応する。${\displaystyle R[T],}$そして代数の地図${\displaystyle R[T]\to R}$は、生成元Tをどのスカラーにマッピングするかによって決定されます。代数表現の重みベクトルは、代数の任意の要素がこのベクトルをそれ自身の倍数、つまり 1 次元部分モジュール (部分表現) にマッピングするようなベクトルです。ペアリングとして${\displaystyle A\times M\to M}$は双線形であり、「どの倍数」はAのA線形関数(代数写像A → R )、すなわち重みです。記号では、重みベクトルはベクトルです。${\displaystyle m\in M}$そのため${\displaystyle am=\lambda (a)m}$すべての要素について${\displaystyle a\in A,}$ある線形関数に対して${\displaystyle \lambda }$―左側では乗算は代数演算であり、右側では乗算はスカラー乗算であることに注意してください。

重みは可換環への写像であるため、写像は代数のアーベル化を通して因数分解される。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$― 同等に、導出された代数上で消滅する ― 行列の観点から言えば、${\displaystyle v}$は演算子の共通固有ベクトルである${\displaystyle T}$そして${\displaystyle U}$、 それから${\displaystyle TUv=UTv}$（どちらの場合もスカラーによる乗算に過ぎないため）代数の共通固有ベクトルは、代数が可換に作用する集合（導出代数によって消滅する集合）に含まれていなければならない。したがって、中心的な関心事は自由可換代数、すなわち多項式代数である。この多項式代数の特に単純で重要なケースでは、${\displaystyle \mathbf {F} [T_{1},\dots ,T_{k}]}$可換行列の集合において、この代数の重みベクトルは行列の同時固有ベクトルであり、この代数の重みは単に${\displaystyle k}$スカラー値のタプル${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$各行列の固有値に対応し、したがって幾何学的には点となる。${\displaystyle k}$-空間。これらの重み、特にその幾何学は、リー代数の表現論、特に半単純リー代数の有限次元表現を理解する上で中心的な重要性を持つ。

この幾何学の応用として、多項式代数の商である代数が与えられた場合、${\displaystyle k}$生成子は、幾何学的には代数多様体に対応する。${\displaystyle k}$n次元空間であり、重みは多様体上に置かなければならない。つまり、多様体の定義方程式を満たす必要がある。これは、固有値が1変数行列の特性多項式を満たすという事実を一般化したものである。

• 表現論
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• ホップ代数の表現論
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• ヤコブソン密度定理
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