サブリング

数学において、環Rの部分環とは、R上の加算と乗算の二項演算がその部分集合に制限されているときにそれ自体が環となるRの部分集合であり、Rと同じ乗法単位元を共有する。^[a]

環( R , +, *, 0, 1)の部分環は、環の構造を保存するRの部分集合S 、つまりS ⊆ Rを満たす環( S , +, *, 0, 1)です。これは、( R , +, 0)の部分群であり、( R , *, 1)のサブモノイドでもあります。

同様に、Sが部分環であるためには、Rの乗法単位元を含み、乗算と減算に関して閉じている必要がある。これは部分環テストと呼ばれることもある。^[1]

数学者の中には、乗法単位元の存在を必要とせずに環を定義する人もいます (環 (数学) § 歴史 を参照)。この場合、Rの部分環は、 Rの演算に対する環であるRの部分集合です(これは、 Rの加法単位元を含むことを意味します)。この別の定義は、乗法単位元を持つ環であっても、すべてのイデアルが部分環になり、 Rとは異なる乗法単位元を持つことができるという、厳密に弱い条件を与えます。この記事の残りの部分で使用されている、乗法単位元を必要とする定義では、Rの部分環であるRのイデアルはR自体のみです。

• 整数環は 実数体と多項式環の両方の部分環である。^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$そしてその商は完全環以外に部分環（乗法単位元を持つ）を持たない。^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

• 任意の環には、 nが非負の整数である環と同型な、一意の最小の部分環が存在する（特性 を参照）。 はと同型なので、この文の整数はn = 0に対応する。^[2]${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} }$

• 環 Rの中心はRの部分環であり、R はその中心上の結合的代数である。

• 分割四元数環には、双対数環、分割複素数環、および複素数体と同型な部分環が存在する。^[要出典]これらの環も正方行列で表される実代数であるため、部分環は部分代数として識別できる。

環Rの特別な種類の部分環は、部分集合Xによって生成される部分環であり、これはX を含むRのすべての部分環の共通部分として定義されます。^[3] Xによって生成される部分環は、加法単位元 (「空の組み合わせ」) と乗法単位元 (「空積」) を含む、Xの要素の整数係数を持つすべての線形結合の集合でもあります。 ^[要出典]

Rの部分環の交差は、それ自体がRの部分環です。したがって、 Xによって生成される部分環(ここではSと表記) は、確かにRの部分環です。この部分環S は、 X を含むRの最小の部分環です。つまり、T がXを含むRの任意の他の部分環である場合、S ⊆ T です。

R自体はRの部分環なので、RがXによって生成される場合、環RはXによって生成される と言われます。

部分環は体拡大のいくつかの側面を一般化します。Sが環 R の部分環である場合、それと同値としてR はSの環拡大^[b]であると言われます。

Aが環で、TがR ∪ Sによって生成されるAの部分環である場合（Rは部分環）、T は環拡大であり、 Rに付加されたSと呼ばれ、R [ S ]と表記される。個々の要素も部分環に付加され、R [ a ₁ , a ₂ , ..., a _n ]と表記される。^{[4] [3]}

例えば、ガウス整数 環はによって生成されるの部分環であり、したがってへの虚数単位iの付加物である。^[3]${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

環Rのすべての部分環の共通部分は、素体との類推によりRの素部分環と呼ばれる部分環です。

環Rの素部分環は、Rの中心の部分環であり、整数環または n を法とする整数環と同型である。ここで、 nは1のn個の合計が0となるような最小の正の整数である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• 積分拡張
• グループ拡張
• 代数拡張
• 鉱石拡張

• アダムソン、イアン・T. (1972)。「初等環と加群」大学数学テキスト。オリバーとボイド。pp. 14–16。ISBN 0-05-002192-3。
• シャープ、デイヴィッド（1987年）。環と因数分解。ケンブリッジ大学出版局。pp.15-17。ISBN 0-521-33718-6。