マトリックスリング

抽象代数学において、行列環とは、環R を要素とする行列の集合で、行列の加算および行列の乗算によって環を形成するものである。^[1] Rを要素とするすべてのn × n行列の集合は、行列環であり、M _n ( R ) ^{[2] [3] [4] [5]}と表記される（別名 Mat _n ( R ) ^[3]およびR ^{n × n [6]}）。無限行列の集合の中には、無限行列環を形成するものがある。行列環の部分環もまた行列環である。rng 上では、行列 rng を形成できる。

Rが可換環のとき、行列環 M _n ( R ) はR上の結合代数であり、行列代数と呼ばれることもあります。この設定では、Mが行列でr がRに含まれる場合、行列rMは行列Mの各要素にrを乗じたものです。

• R上のすべてのn × n 正方行列の集合。M _n ( R )と表記されます。これは「 n行n列の行列の完全環」と呼ばれることもあります。
• R上のすべての上三角行列の集合。
• R上のすべての下三角行列の集合。
• R上のすべての対角行列の集合。このM _n ( R )の部分代数は、 Rのn 個のコピーの直積に同型です。
• 任意の添字集合Iに対して、右R加群の自己準同型環は、要素がI × Iで添字付けされ、各列に有限個の非ゼロ要素のみが含まれる列有限行列の環^[要出典]と同型です。左R加群として考えられたMの自己準同型環は、行有限行列の環と同型です。${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$
• R がバナッハ代数であれば、前の点の行または列の有限性の条件を緩和できます。ノルムが設定されていれば、有限和の代わりに絶対収束する級数を使用することができます。たとえば、列の和が絶対収束するシーケンスである行列はリングを形成します。^{[疑わしい–議論する]} もちろん同様に、行の和が絶対収束する級数である行列もリングを形成します。^{[疑わしい–議論する]}この考え方は、たとえばヒルベルト空間上の演算子 を表すために使用できます。
• 行有限行列環と列有限行列環の交差は環を形成します。${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$
• Rが可換である場合、 M _n ( R ) はR上の*-代数の構造を持ち、M _n ( R )上の反転* は行列の転置です。
• A がC*-代数であれば、 M _n ( A ) は別の C*-代数である。A が非ユニタルであれば、 M _n ( A ) も非ユニタルである。ゲルファント・ナイマークの定理により、ヒルベルト空間 Hと、 Aから連続作用素の代数B ( H )のノルム閉部分代数への等長 *-同型が存在する。これにより、 M _n ( A ) はB ( H ^{⊕ n} )の部分代数と同一視される。簡単にするために、さらにHが可分でA B ( H ) がユニタル C*-代数であると仮定すると、 A をより小さな C*-代数上の行列環に分解できる。これは、射影p を固定し、したがってその直交射影 1 −  p を固定することによって行うことができる。 Aを と同一視することができ、ここで行列の乗算は射影の直交性により意図したとおりに動作する。A をC*-代数上の行列環と同一視するためには、 pと 1 −  p が同じ「階数」を持つことが必要です。より正確には、pと 1 −  pがマレー・フォン・ノイマン同値であること、つまりp = uu *かつ1 − p = u * uとなるような部分等長写像u が存在することが必要です。これをより大きなサイズの行列に簡単に一般化できます。${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$
• 複素行列代数 M _n ( C ) は、同型性を除き、複素数体C上の唯一の有限次元単純結合代数です。行列代数の発明に先立ち、ハミルトンは1853 年に環を導入しました。この環の要素は彼が双四元数^{[7]と呼び、現代の著者は}C ⊗ _R Hのテンソルと呼んでいますが、これは後に M ₂ ( C )と同型であることが示されました。M ₂ ( C )の1 つの基底は、4 つの行列単位 (1 つの要素が 1 で、他のすべての要素が 0 である行列) で構成されます。もう 1 つの基底は、単位行列と 3 つのパウリ行列によって与えられます。
• 体上の行列環はフロベニウス代数であり、フロベニウス形式は積のトレースσ ( A , B ) = tr( AB )によって与えられます。

• 行列環 M _n ( R ) は、階数nの自由右R加群の自己準同型環と同一視できる。つまり、M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ )である。 行列の乗算は自己準同型の合成に対応する。
• 分割環D上の環 M _n ( D )は、半単純環の特殊なタイプであるアルティン単純環です。集合Iが無限の場合、環と環は単純でもアルティン環でもありませんが、それでも完全線型環です。 ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$
• アルティン・ウェダーバーンの定理は、任意の半単純環は、ある非負整数r、正の整数n _i、および分割環D _iに対して、有限直積 に同型であることを述べています。${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
• _{M n} ( C ) をC ⁿの線型自己準同型環と見なすと、与えられた部分空間V上で消える行列は左イデアルを形成します。逆に、 M _n ( C ) の与えられた左イデアルIに対して、 I内のすべての行列の零空間の共通部分はC ⁿの部分空間を与えます。この構成では、 M _n ( C )の左イデアルはC ⁿの部分空間と一対一です。
• M _n ( R ) の両側イデアルとRの両側イデアルの間には一対一の関係があります。つまり、Rの各イデアルIに対して、 Iに要素を持つすべてのn × n行列の集合はM _n ( R )のイデアルであり、 M _n ( R ) の各イデアルはこのようにして生じます。これは、 M _n ( R ) が単純である場合に限り、Rが単純であることを意味します。 n ≥ 2の場合、 M _n ( R )のすべての左イデアルまたは右イデアルが、Rの左イデアルまたは右イデアルからの以前の構成によって生じるわけではありません。たとえば、インデックス 2 からnまでの列がすべて 0 である行列の集合は、 M _n ( R )の左イデアルを形成します。
• 前述のイデアル対応は、実際には環Rと M _n ( R ) がMorita 同値であるという事実から生じます。大まかに言えば、これは左R加群のカテゴリと左 M _n ( R ) 加群のカテゴリが非常に類似していることを意味します。このため、左 R 加群と左 M n ( R ) 加群の同型類の間、および R の左イデアルと M n ( R )の左イデアルの_同型類の間には、_自然な全単射対応があります。右加群と右イデアルについても、同様のことが言えます。Morita 同値性により、 M _n ( R ) は、単純、アルティン、ネーター、素数など、RのMorita 不変なプロパティをすべて継承します。

• S がRの部分環である場合、 M _n ( S ) は M _n ( R ) の部分環です。たとえば、 M _n ( Z ) は M _n ( Q )の部分環です。
• 行列環 M _n ( R ) が可換となるのは、 n = 0、R = 0、またはRが可換でn = 1の場合のみです。実際、これは上三角​​行列の部分環についても当てはまります。以下は、 Rで1 ≠ 0と仮定して、可換でない2 つの上三角2 × 2行列を示す例です。

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  そして

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• n ≥ 2の場合、非零環上の行列環 M _n ( R ) には零因子と冪零元が存在する。上三角行列の環についても同様である。2 × 2行列の例は次のようになる。

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• M _n ( R )の中心は、単位行列I _nのスカラー倍数で構成され、そのスカラーはRの中心に属します。
• 乗算に関して可逆な行列からなるM _n ( R )の単位群はGL _n ( R )と表記される。
• Fが体である場合、 M _n ( F ) の任意の 2 つの行列AとBについて、等式AB = I _{n は}BA = I _nを意味します。ただし、これはすべての環Rに当てはまるわけではありません。すべての行列環が前述の特性を持つ環R は、安定有限環として知られています(Lam 1999、p. 5)。

実際、M _n ( R ) を定義するには、 R が半環であるだけでよい。この場合、M _n ( R ) は半環であり、行列半環と呼ばれる。同様に、R が可換半環である場合、M _n ( R ) は行列半代数。

例えば、Rがブール半環（1 + 1 = 1となる2元ブール代数 R = {0, 1} ）である場合、^[8] Mn ( R )は、和集合を加算、関係の合成を乗算、空関係（ゼロ行列）をゼロ、恒等関係（恒等行列）を単位_とするn元集合上の二項関係の半環である。[ 9 ^]

• 中心となる単純代数
• クリフォード代数
• ハーヴィッツの定理（ノルム除算代数）
• 汎用マトリックスリング
• シルベスターの慣性の法則