指輪のカテゴリー

圏Ring は完全かつ余完全であり、つまりRingにはすべての小さな極限と余極限が存在します。他の多くの代数圏と同様に、忘却関手U : Ring → Set は極限とフィルター付き余極限を生成（および保存）しますが、余積や余等化子は保存しません。AbおよびMonへの忘却関手も極限を生成および保存します。 

環における極限と余極限の例としては、以下のようなものがあります。

• 整数環 Z はRingの初期オブジェクトです。
• ゼロリングは、 Ringにおける終端オブジェクトです。
• Ringにおける積は、リングの直積によって与えられます。これは、基となる集合の直積であり、加算と乗算は要素ごとに定義されます。
• 環族の余積は存在し、群の自由積に類似した構成によって与えられます。非零環の余積は零環になることがあります。特に、因子の標数が互いに素である場合（( R _i ) _{i ∈ I}の余積の標数が各環R _iの標数を割り切る必要があるため）に、このことが起こります。
• Ringにおけるイコライザーは、集合論的なイコライザーと同じです (2 つの環準同型のイコライザーは常に部分環になります)。
• RからSへの2 つの環準同型fとgの共等化子は、 r ∈ Rのf ( r ) − g ( r )の形のすべての要素によって生成されるイデアルによるSの商です。
• 環準同型f  : R → Sが与えられたとき、 fの核ペア(これはf とf自身との引き戻しに他ならない) はR上の合同関係である。この合同関係によって決定されるイデアルは、まさにfの(環論的な)核である。環論的な核は零射が存在しないため(下記参照)、意味をなさないことに注意されたい。

数学で研究される多くの圏とは異なり、環では対象のペア間に射が常に存在するとは限りません。これは、環準同型写像は恒等写像を保存しなければならないという事実の結果です。たとえば、零環0から零でない環への射は存在しません。R からSへの射が存在するための必要条件は、Sの標数がRの標数を割り切ることです。

一部のhom集合が空であっても、Ringという圏は初期対象を持つため、依然として連結であることに注意してください。

Ringにおける射の特殊なクラスには以下のようなものがある。

• 環における同型写像とは、全単射な環準同型写像のことである。
• 環における単射準同型とは、単射準同型のことである。ただし、すべての単射準同型が正則であるとは限らない。
• 環 Rにおいては、全射準同型写像はすべて全射準同型写像であるが、その逆は成り立たない。包含写像Z → Qは非全射全射準同型写像である。可換環Rからその局所化のいずれかへの自然な環準同型写像は全射準同型写像であるが、必ずしも全射とは限らない。
• 全射準同型写像は、環における正則または極値全射準同型写像として特徴づけることができる（これら2つのクラスは一致する）。
• 環における双同型写像は、単射全射写像である。包含写像Z → Qは、同型写像ではない双同型写像の一例である。

• 同型を除いて環の中で唯一の単射対象は零環（すなわち終対象）である。
• ゼロ射が存在しないため、環の圏は前加法圏にはなり得ない。（ただし、単一の対象を持つ圏として考えると、すべての環は前加法圏である。）
• 環の圏は、環のテンソル積⊗ _Zをモノイド積とし、整数環Zを単位対象とする対称モノイド圏である。エックマン・ヒルトンの定理から、環 Ringのモノイドは可換環であることが導かれる。モノイド (= 可換環) RがRingの対象 (= 環) Aに作用すると、R代数となる。

可換環の圏（CRingと表記）は、 Ringの完全部分圏であり、その対象はすべて可換環である。この圏は、可換代数学における中心的な研究対象の一つである。

任意の環は、 ( xy − yx )の形のすべての要素によって生成されるイデアルで商をとることによって可換にすることができる。これにより、包含関手に左随伴する関手Ring → CRingが定義され、 CRing はRingの反射的部分圏となる。生成元集合E上の自由可換環は、変数がEから取られる多項式環Z [ E ]である。これにより、 CRingからSetへの忘却関手に左随伴する関手が得られる。

CRing はRingにおいて極限閉じているので、 CRingの極限はRingの極限と同じです。ただし、余極限は一般に異なります。余極限はRingの余極限の可換商を取ることによって形成できます。2 つの可換環の余積は、環のテンソル積によって与えられます。繰り返しますが、2 つの非零可換環の余積はゼロになることがあります。

CRingの反対のカテゴリーは、アフィン スキームのカテゴリーと等価である。この等価性は、可換環をそのスペクトルであるアフィンスキームに写像する反変関手Specによって与えられる。

体群の圏（Fieldと表記）は、 CRingの完全部分圏であり、その対象は体群である。体群の圏は、他の代数的圏ほど性質が良いとは言えない。特に、自由体は存在しない（すなわち、忘却関手Field → Setの左随伴関手は存在しない）。したがって、Field はCRingの反射的部分圏ではない。

体の圏は有限完備でも有限余完備でもない。特に、体には積も余積も存在しない。

体の圏のもう一つの興味深い点は、すべての射が単射であるということです。これは、体Fにおけるイデアルは零イデアルとF自身のみであるという事実から導かれます。したがって、体における射は体の拡大と見なすことができます。

体の圏は連結ではありません。異なる標数の体の間に射はありません。Field の連結成分は、標数pの完全部分圏です。ここで、p = 0 または p は素数です。このような部分圏はそれぞれ、標数pの素体( p = 0の場合はQ 、それ以外の場合は有限体F _p ) という初期対象を持ちます。

環 Rから群の圏Grpへの自然な関手が存在し、各環Rをその単位群U ( R ) に、各環準同型をU ( R )への制限に写像する。この関手には左随伴関手があり、各群Gを整群環Z [ G ]に写像する。

これらのカテゴリー間の別のファンクターは、各環Rを、環P( R ) 上の射影線に作用する行列環M ₂ ( R )の単位群に送ります。

可換環Rが与えられたとき、対象がすべてR -代数であり、射がR -代数の準同型である圏R -Alg を定義できる。

環の圏は、特殊なケースと考えることができます。すべての環は、一意的な方法でZ代数と考えることができます。環の準同型は、まさにZ代数の準同型です。したがって、環の圏は、Z-Algの圏と同型です。^{[ 2 ]}環の圏に関する多くの記述は、 R代数の圏に関する記述に一般化できます。

各可換環Rに対して、 R加群構造を忘れるR -Alg → Ringという関手が存在する。この関手は、各環Aをテンソル積R ⊗ _Z Aに送る左随伴関手を持つ。これは、 r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ aと設定することでR代数として考えることができる。

多くの著者は、環が乗法的な単位元を持つことを要求せず、したがって、環準同型が単位元（存在する場合）を保持することも要求しない。これは、かなり異なる圏につながる。区別するために、このような代数構造をrng、それらの射をrng 準同型と呼ぶ。すべての rng の圏はRngと表記する。

環の圏Ringは、 Rngの非完全部分圏です。非完全である理由は、恒等写像を保存しない rng 準同型環が存在するため、それらはRingの射ではないからです。包含関手Ring → Rng は、任意の rng に恒等写像を形式的に付加する左随伴関手を持ちます。包含関手Ring → Rng は極限を尊重しますが、余極限は尊重しません。

ゼロ環はRngにおいて始対象と終対象の両方の役割を果たします(つまり、ゼロ対象です)。したがって、Rng はGrpと同様ですがRing とは異なり、ゼロ射を持ちます。これらは、すべてを 0 に写像する Rng 準同型です。ゼロ射が存在するにもかかわらず、Rng は依然として前加法圏ではありません。2 つの Rng 準同型の点ごとの和は、一般に Rng 準同型ではありません。

アーベル群の圏からRngへの完全忠実関手が存在し、アーベル群を対応する平方ゼロの rngに送ります。

Rngにおける自由構成はRingにおける自由構成ほど自然ではありません。例えば、集合 { x } によって生成される自由 Rng は定数項を持たないx上のすべての整数多項式の環ですが、{ x }によって生成される自由環は単なる多項式環Z [ x ] です。