させて（ H 、 ∇ 、 η 、 Δ 、 ε ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )} 体 上の（結合的かつ余結合的な）双代数である K 。 {\displaystyle K.} ホーム K （ H 、 H ） {\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(H,H)} 積が次式で与えられるK 線形（ f ⋆ g ） （ h ） = ∇ ∘ （ f ⊗ g ） ∘ Δ （ h ） 。 {\displaystyle (f\star g)(h)=\nabla \circ (f\otimes g)\circ \Delta (h).} η ∘ ε 。 {\displaystyle \eta \circ \varepsilon .}
双代数H {\displaystyle H} H 、 {\displaystyle H,} ID H ∈ ホーム K （ H 、 H ） {\displaystyle \operatorname {id} _{H}\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)} S ∈ ホーム K （ H 、 H ） {\displaystyle S\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)} 対蹠地 と呼ばれる）。S {\displaystyle S} ID H {\displaystyle \operatorname {id} _{H}} 可換性 と同等である 。
合計のないスウィードラー記法 では、この性質は次のように表現することもできます。
S （ c （ 1 ） ） c （ 2 ） = c （ 1 ） S （ c （ 2 ） ） = ε （ c ） 1 すべての人々のために c ∈ H 。 {\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ for all }}c\in H.} 代数 に関しては、上記の定義において基礎となる体K を 可換環 R に置き換えることができる。 [ 4 ]
ホップ代数の定義は自己双対である（上記の図の対称性に反映されているように）。したがって、 H の双対を 定義できる場合（ H が有限次元であれば常に可能である）、それは自動的にホップ代数となる。[ 5 ]
構造定数 基礎を固める{ e k } {\displaystyle \{e_{k}\}} の構造定数 を用いて代数を定義することができる。
e 私 ∇ e j = ∑ k μ 私 j k e k {\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}} 余乗算の場合：
Δ e 私 = ∑ j 、 k ν 私 j k e j ⊗ e k {\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}} そしてその対極：
S e 私 = ∑ j τ 私 j e j {\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}} 結合法則は、
μ 私 j k μ k n m = μ j n k μ 私 k m {\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}} 共連想性には以下が必要である
ν k 私 j ν 私 m n = ν k m 私 ν 私 n j {\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}} 接続公理は以下を要求する。
ν k 私 j τ j m μ 私 m n = ν k j m τ j 私 μ 私 m n {\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;im}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;im}^{n}}
対蹠地の性質 対蹠S は、有限次元の場合[ 6 ] H が可換 または余可換 （またはより一般的には準三角 ）の場合に自動的にK 線形逆を持つことが要求されることがある。
一般に、Sは 反準同型写像 であり、[ 7 ] S 2は 準同型写像 であり、したがってS が 可逆であれば（必要に応じて）自己同型写像となる。
S 2 = id H 対合的 であると言われます（そして、対合を持つ基礎となる代数は*-代数です）。H が 標数ゼロ、可換、または余可換の体上の有限次元半単純である場合、それは対合的です。
双代数B が 対蹠点S を持つ場合、S は一意である (「双代数は最大で 1 つのホップ代数構造を持つ」)。[ 8 ]
対蹠点は、群上の反転写像で、gを g −1 に写すものに相当する。[ 9 ]
ホップ部分代数 ホップ代数H の部分代数Aは、それが H の部分共代数であり、かつ対蹠S が A を A に写像する場合に、ホップ部分代数である。言い換えれば、ホップ部分代数 A は、Hの乗法、余乗法、余単位、および対蹠が A に制限されている場合（さらに、Hの恒等式 1 が A に含まれている必要がある場合）、それ自体でホップ代数である。Warren Nichols と Bettina Zoeller (1989)の Nichols–Zoeller 自由性定理は、 H が有限次元である場合、自然なA 加群H は有限ランクを持たず、部分群に対する Lagrange の定理 の一般化であることを確立した。[ 10 ]
ホップ部分代数A が ホップ代数H において右正規であるとは、すべてのh ∈ H に対して、安定条件ad r ( h )( A ) ⊆ A を満たす場合をいう。ここで、右随伴写像ad r a ∈ A 、h ∈ Hに対して ad r h )( a ) = S ( h (1) ) ah (2) で定義される。同様に、ホップ部分代数Aが H において左正規であるとは、左随伴写像ad l h )( a ) = h (1) aS ( h (2) ) の下で安定である場合をいう。対蹠写像 S が全単射である場合、2 つの正規条件は同値であり、この場合、A は正規ホップ部分代数であると言われる。
H の正規ホップ部分代数A は、(H の部分集合の等価性の) 条件HA + = A + H を満たす。ここでA +は A 上のコユニットの核を表す。この正規性条件は、HA +が H のホップイデアル(すなわち、コユニットの核における代数イデアル、コイデアルであり、対蹠の下で安定なコ代数) であることを意味する。結果として、商ホップ代数H / HA + と全射H → H / A + Hが存在し、これは 群論 における正規部分群と商群の理論に類似している。[ 11 ]
ホップ命令 分数体 K を持つ整域 R 上のホップ順序 Oは、代数演算と余代数演算に関して閉じている K 上のホップ代数Hの 順序 です。特に、余乗法 Δ はOを O ⊗ O に写像します。[ 12 ]
グループのような要素 群のような要素 とは、 Δ( x ) = x ⊗ x を満たす非ゼロ要素x のことである。群のような要素は、対蹠点によって与えられる逆元を持つ群を形成する。[ 13 ] 原始要素 は Δ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x を満たす。[ 14 ] [ 15 ]
例 有限群上の関数は群環と同一視できることに注意してください。ただし、これらは双対として考える方がより自然です。群環は有限 個の要素の和で構成されており、したがって、和の要素上で関数を評価することによって、群上の関数と対応付けられます。
リー群のコホモロジー コホモロジー代数（体上）K {\displaystyle K} G {\displaystyle G} カップ積 によって提供され、余乗法は
H * （ G 、 K ） → H * （ G × G 、 K ） ≅ H * （ G 、 K ） ⊗ H * （ G 、 K ） {\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)} 群の乗法によってG × G → G {\displaystyle G\times G\to G}
（ホップ） [ 19 ] A {\displaystyle A} 付き可換次数付き余可換ホップ代数とする。 A {\displaystyle A}
量子群と非可換幾何学 上記の例のほとんどは、可換（つまり乗法が可換 ）または共可換（つまり[ 20 ] T ∘ Δ、ここでツイスト写像 [ 21 ] T : H ⊗ H → H ⊗ H はT ( x ⊗ y ) = y ⊗ x で定義される）のいずれかです。その他の興味深いホップ代数は、例 3 のホップ代数の特定の「変形」または「量子化 」であり、これらは可換でも共可換でもありません。これらのホップ代数は、量子群 非可 換幾何学において重要であり、その考え方は次のとおりです。標準的な代数群は、その標準的な正則関数のホップ代数によってよく記述されます。すると、このホップ代数の変形版は、ある種の「非標準」あるいは「量子化された」代数群（実際には代数群ではない）を表していると考えることができる。これらの非標準オブジェクトを直接定義したり操作したりする方法はないようだが、それでもホップ代数を扱うことは可能であり、実際、それらをホップ代数と同一視すること ができる。これが「量子群」という名称の由来である。
表現論 A を ホップ代数とし、Mと Nを A 加群とする。このとき、M ⊗ N もA 加群であり、
1 （ m ⊗ n ） := Δ （ 1 ） （ m ⊗ n ） = （ 1 1 ⊗ 1 2 ） （ m ⊗ n ） = （ 1 1 m ⊗ 1 2 n ） {\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)} m ∈ M 、n ∈ N 、Δ( a ) = ( a 1 、a 2 )の場合。さらに、自明な表現を、基底体K として定義できます。
1 （ m ） := ϵ （ 1 ） m {\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m} m ∈ K の場合。最後に、 A の双対表現を定義できます。Mが A 加群であり、M* がその双対空間である場合、
（ 1 f ） （ m ） := f （ S （ 1 ） m ） {\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)} ここで、f ∈ M* およびm ∈ M である。
Δ、ε、 S の関係により、ベクトル空間の特定の自然準同型写像がA 加群の準同型写像であることが保証されます。例えば、ベクトル空間の自然同型写像M → M ⊗ K とM → K ⊗ Mは、 A 加群の同型写像でもあります。また、ベクトル空間の写像M* ⊗ M → K とf ⊗ m → f ( m ) も A 加群の準同型写像です。ただし、写像M ⊗ M* → Kは必ずしも A 加群の準同型写像ではありません。
次数付き ホップ代数は代数トポロジーでよく用いられます。これは 、H空間 のすべてのホモロジー 群またはコホモロジー 群の直和上の自然な代数構造です。
局所コンパクト量子群は ホップ代数を一般化したものであり、位相構造を持つ。 リー群 上のすべての連続関数 からなる代数は、局所コンパクト量子群である。
準ホップ代数はホップ代数の一般化であり、結合法則はねじれを除いてのみ成り立つ。これらは クニジニク・ザモロドチコフ方程式 の研究に用いられてきた。[ 22 ]
乗数ホップ代数 [ 23 ] 積 代数の乗数代数への余乗法です。
2000年にVG Turaevによって導入されたホップ群（共）代数 もまた、ホップ代数の一般化である。
弱ホップ代数 弱ホップ代数 、または量子群は、ホップ代数の一般化です。ホップ代数と同様に、弱ホップ代数は自己双対代数のクラスを形成します。つまり、H が（弱）ホップ代数であれば、H 上の線形形式の双対空間であるH * も（ H とその余代数-代数構造との自然なペアリングから得られる代数-余代数構造に関して）ホップ代数です。弱ホップ代数H は通常、
有限次元代数および余積 Δ: H → H ⊗ H および余単位 ε: H → k を持つ余代数で、ホップ代数のすべての公理を満たすが、Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 またはH のあるa,bに対して ε( ab ) ≠ ε( a )ε( b )となる可能性はある。代わりに、次のことを要求する。 （ Δ （ 1 ） ⊗ 1 ） （ 1 ⊗ Δ （ 1 ） ） = （ 1 ⊗ Δ （ 1 ） ） （ Δ （ 1 ） ⊗ 1 ） = （ Δ ⊗ ID ） Δ （ 1 ） {\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)} ϵ （ 1 b c ） = ∑ ϵ （ 1 b （ 1 ） ） ϵ （ b （ 2 ） c ） = ∑ ϵ （ 1 b （ 2 ） ） ϵ （ b （ 1 ） c ） {\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)} H のすべてのa 、b 、c について。H には、以下の公理を満たす弱化対蹠S : H → Hが存在する。 S （ 1 （ 1 ） ） 1 （ 2 ） = 1 （ 1 ） ϵ （ 1 1 （ 2 ） ） {\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})} H のすべてのa に対して(右辺は興味深い射影であり、通常は Π R a ) または ε s a ) で表され、像 a は H R H s 1 （ 1 ） S （ 1 （ 2 ） ） = ϵ （ 1 （ 1 ） 1 ） 1 （ 2 ） {\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}} H のすべてのa に対して(通常 Π R a ) または ε t a ) で表される別の興味深い射影で、像は分離代数H L H t であり、 S を介してH L S （ 1 （ 1 ） ） 1 （ 2 ） S （ 1 （ 3 ） ） = S （ 1 ） {\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)} H のすべてのa について。Δ(1) = 1 ⊗ 1 の場合、これらの条件はホップ代数の対蹠点における通常の 2 つの条件に帰着することに注意してください。 公理は、 H 加群の圏が厳密なモノイド圏 となるように部分的に選択されている。単位H 加群は、上述の分離代数HLである。
例えば、有限群 環は弱ホップ環である。特に、[n] 上の群環で、i とj の 間に可逆な矢印e ij とe ji のペアが 1 つあるものは、 n x n 行列の環Hと 同型である。この特定の H 上の弱ホップ環構造は、余積 Δ( e ij e ij e ij e ij S ( e ij e ji H L H R は
弱いホップ代数に関する初期の理論的貢献は、 [ 24 ] [ 25 ]
グループとの類推 群は、ホップ代数と同じ図式（あるいは演算）によって公理化することができる。ただし、G は加群ではなく集合とみなす。この場合：
フィールドK は1点集合に置き換えられる 自然な共同単位が存在する（1点にマッピング） 自然な余乗法（対角線写像）が存在する 単位はグループの同一要素である 乗算はグループ内の乗算です 対蹠は逆である この哲学では、群は「 1つの要素を持つ体 」上のホップ代数と考えることができる。[ 26 ]
編み込みモノイド圏におけるホップ代数 ホップ代数の定義は、任意のブレイドモノイド圏 に自然に拡張される。このような圏におけるホップ代数は、（ C 、 ⊗ 、 私 、 α 、 λ 、 ρ 、 γ ） {\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )} （ H 、 ∇ 、 η 、 Δ 、 ε 、 S ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)} H {\displaystyle H} C {\displaystyle C}
∇ : H ⊗ H → H {\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H} η : 私 → H {\displaystyle \eta :I\to H} Δ : H → H ⊗ H {\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H} ε : H → 私 {\displaystyle \varepsilon :H\to I} S : H → H {\displaystyle S:H\to H} — は射であるC {\displaystyle C}
1) トリプル（ H 、 ∇ 、 η ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta )} モノイド である。（ C 、 ⊗ 、 私 、 α 、 λ 、 ρ 、 γ ） {\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )} [ b ] 2) トリプル（ H 、 Δ 、 ε ） {\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )} コモノイド である（ C 、 ⊗ 、 私 、 α 、 λ 、 ρ 、 γ ） {\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )} [ b ] 3) モノイドとコモノイドの構造H {\displaystyle H} ∇ {\displaystyle \nabla } η {\displaystyle \eta } Δ {\displaystyle \Delta } ε {\displaystyle \varepsilon } どこλ 私 : 私 ⊗ 私 → 私 {\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I} C {\displaystyle C} θ {\displaystyle \theta } （ A ⊗ B ） ⊗ （ C ⊗ D ） ↣ θ （ A ⊗ C ） ⊗ （ B ⊗ D ） {\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)} C {\displaystyle C} 五つ組（ H 、 ∇ 、 η 、 Δ 、 ε ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )} 双代数と呼ばれる。 （ C 、 ⊗ 、 私 、 α 、 λ 、 ρ 、 γ ） {\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}
4) 対蹠点の図は可換である。 典型的な例は以下のとおりです。
群 。モノイド圏において（ セット 、 × 、 1 ） {\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)} 集合 の（デカルト積付き） × {\displaystyle \times } 1 = { ∅ } {\displaystyle 1=\{\varnothing \}} （ H 、 ∇ 、 η ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta )} が圏論的な意味でモノイド であるのは、それが通常の代数的な意味でモノイド である場合、すなわち演算が∇ （ x 、 y ） = x ⋅ y {\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y} η （ 1 ） {\displaystyle \eta (1)} H {\displaystyle H} x ∈ H {\displaystyle x\in H} （ H 、 Δ 、 ε ） {\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )} Δ {\displaystyle \Delta } Δ （ x ） = （ x 、 x ） {\displaystyle \Delta (x)=(x,x)} ε {\displaystyle \varepsilon } ε （ x ） = ∅ {\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing } （ H 、 Δ 、 ε ） {\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )} （ H 、 ∇ 、 η ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta )} （ H 、 ∇ 、 η ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta )} （ セット 、 × 、 1 ） {\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)} （ H 、 ∇ 、 η 、 Δ 、 ε ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )} （ セット 、 × 、 1 ） {\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)} S : H → H {\displaystyle S:H\to H} （ H 、 ∇ 、 η 、 Δ 、 ε ） {\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )} x ∈ H {\displaystyle x\in H} x − 1 ∈ H {\displaystyle x^{-1}\in H} ∇ （ x 、 y ） = x ⋅ y {\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y} （ セット 、 × 、 1 ） {\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)} 群と全く同じである。 古典的なホップ代数 。特別な場合、（ C 、 ⊗ 、 s 、 私 ） {\displaystyle (C,\otimes ,s,I)} K {\displaystyle K} （ C 、 ⊗ 、 s 、 私 ） {\displaystyle (C,\otimes ,s,I)} これらはまさに上述の 古典的なホップ代数である。群上の関数代数 。標準的な関数代数 C （ G ） {\displaystyle {\mathcal {C}}(G)} E （ G ） {\displaystyle {\mathcal {E}}(G)} O （ G ） {\displaystyle {\mathcal {O}}(G)} P （ G ） {\displaystyle {\mathcal {P}}(G)} Ste 、⊙ {\displaystyle \odot } ステレオタイプ空間 の ) 、群代数 。ステレオタイプ群代数 C ⋆ （ G ） {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)} E ⋆ （ G ） {\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)} O ⋆ （ G ） {\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)} P ⋆ （ G ） {\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)} Ste 、⊛ {\displaystyle \circledast } ステレオタイプ空間 の ) 。これらのホップ代数は、非可換群の双対性理論 で使用されます。
注釈と参考文献
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