体上の代数学

数学において、体上の代数（単に代数と呼ばれることが多い）は、双線形積を備えたベクトル空間である。したがって、代数は、集合と、乗算、加算、および体の要素によるスカラー乗算の演算から構成される代数構造であり、「ベクトル空間」および「双線形」によって示される公理を満たすものである。^[¹^]

代数における乗算演算は結合的である場合とそうでない場合があり、その結果、乗算の結合性を仮定する結合代数と、結合性を仮定しない（ただし排除しない）非結合代数の概念が生じる。整数 $n$ が与えられたとき、 $n$ 次実数正方行列の環は、行列の加算と行列の乗算に関して、実数体上の結合代数の例である。これは、行列の乗算が結合的であるためである。ベクトル外積によって乗算が与えられる3 次元ユークリッド空間は、ベクトル外積が非結合的であり、代わりにヤコビ恒等式を満たすため、実数体上の非結合代数の例である。

代数が乗法に関して単位元を持つ場合、その代数は単位元を持つ、またはユニタリであると言います。n次の実数正方行列の環は $、n$ $次$ の単位行列が行列乗法に関して単位元であるため、単位元を持つ代数を形成します。これは、単位元を持つ結合代数、すなわちベクトル空間でもある（単位元を持つ）環の一例です。

多くの著者は、代数という用語を結合代数、単位結合代数、あるいは代数幾何学などの分野では単位結合可換代数という意味で使用しています。

スカラーの体を可換環に置き換えることで、環上の代数というより一般的な概念が得られます。代数は、内積空間のように双線形形式を備えたベクトル空間と混同してはなりません。なぜなら、そのような空間では、積の結果は空間内ではなく、係数の体内に存在するからです。

Definition and motivation

Motivating examples

Definition

Let $K$ be a field, and let $A$ be a vector space over $K$ equipped with an additional binary operation from $A \times A$ to $A$ , denoted here by $\cdot$ (that is, if $x$ and $y$ are any two elements of $A$ , then $x \cdot y$ is an element of $A$ that is called the product of $x$ and $y$ ). Then $A$ is an algebra over $K$ if the following identities hold for all elements $x, y, z$ in $A$ , and all elements (often called scalars) $a$ and $b$ in $K$ :

Right distributivity: $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
Left distributivity: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
Compatibility with scalars: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

These three conditions are another way of saying that the binary operation is bilinear. An algebra over $K$ is sometimes also called a $K$ -algebra, and $K$ is called the base field of $A$ . The binary operation is often referred to as multiplication in $A$ . The convention adopted in this article is that multiplication of elements of an algebra is not necessarily associative, although some authors use the term algebra to refer to an associative algebra.

ベクトル空間上の二項演算が可換である場合、左分配法則と右分配法則は等価であり、この場合、証明が必要なのは一方の分配法則のみです。一般に、非可換演算の場合、左分配法則と右分配法則は等価ではなく、それぞれ別の証明が必要です。

基本概念

代数学の準同型写像

$K$ 代数 $A$ と $B$ が与えられたとき、 $K$ 代数の準同型または $K$ 代数準同型とは、 $A$ のすべての $x$ $、$ $yに対して$ $f$ $($ $xy$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ $f$ $($ $y$ $)$ となるような $K$ 線形写像 $f$ $:$ $A$ $\to$ $B$ のことである。AとBが単位元を持つ場合 $、$ $f$ ( $1$ $A$ $)$ $= 1$ $B$ を満たす準同型は単位元を持つ準同型と呼ばれる。A $と$ $B$ の間のすべての $K$ 代数準同型の空間は、しばしば次のように表記される。

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

$K$ 代数同型写像とは、 $K$ 代数における全単射準同型写像のことである。

部分代数とイデアル

体 $K$ 上の代数の部分代数とは、その要素の任意の 2 つの積が再びその部分空間に含まれるという性質を持つ線形部分空間のことです。言い換えれば、代数の部分代数とは、加算、乗算、およびスカラー乗算に関して閉じている、空でない要素の部分集合のことです。記号で表すと、 $K$ 代数 $A$ の部分集合 $L$ が部分代数であるとは、 $L$ の任意の $x$ 、 $y$ と $K$ の任意の $c$ に対して、 $x$ $\cdot$ $y$ 、 $x$ $+$ $y$ 、および $cx が$ すべて $L$ に含まれる場合をいいます。

上記の例では、複素数を実数上の2次元代数として捉えた場合、1次元の実数直線は部分代数である。

$K$ 代数の左イデアルとは、線形部分空間の任意の要素を K 代数の任意の要素で左から乗算すると、その部分空間の要素が得られるという性質を持つ線形部分空間のことです。記号で表すと、 $K$ 代数 $A$ の部分集合 $L$ が左イデアルであるとは、 $L$ の任意の $x$ と $y$ 、 $A$ の任意の $z$ 、 $K$ の任意の $c$ に対して、次の 3 つの条件が満たされる場合をいいます。

$x + yは$ $L$ に含まれる( $L$ は加法に関して閉じている)、
$cxは$ $L$ に含まれる( $L$ はスカラー乗法に関して閉じている)、
$z \cdot xは$ $L$ に含まれる( $L$ は任意の要素による左乗算に関して閉じている)。

$(3) をx \cdot zは$ $L$ に含まれる、に置き換えると、右イデアルが定義されます。両側イデアルとは、左イデアルと右イデアルの両方である部分集合のことです。イデアルという用語は、通常、両側イデアルを意味するものと解釈されます。もちろん、代数が可換である場合、これらのイデアルの概念はすべて同値です。条件 (1) と (2) を合わせると、 $L が$ $A$ の線形部分空間であることと同値です。条件 (3) から、すべての左イデアルまたは右イデアルは部分代数であることがわかります。

この定義は、環のイデアルの定義とは異なり、ここでは条件（2）を要求します。もちろん、代数が単位的であれば、条件（3）は条件（2）を意味します。

スカラーの拡張

体拡大 $F / K$ 、つまり $K$ を含むより大きな体 $F$ がある場合、 $K$ 上の任意の代数から $F$ 上の代数を構成する自然な方法があります。これは、より大きな体上のベクトル空間を構成する際に使用する構成と同じで、テンソル積 $V$ $F$ $:=$ $V$ $\otimes$ $K$ $F$ です。したがって、 $Aが$ $K$ 上の代数であれば、 $A$ $F$ $はF$ 上の代数になります。

代数の種類と例

体上の代数には様々な種類がある。これらの種類は、代数の広義の定義では必要とされない、乗法演算の可換性や結合性といった追加の公理を規定することによって特定される。異なる種類の代数に対応する理論は、しばしば大きく異なる。

単位代数

代数が単位元または単位元I を持ち、その代数内のすべての $x$ に対して $Ix$ $=$ $x$ $=$ $xI$ が成り立つ場合、その代数は単位元または単位元 $Iを持つという。$

ゼロ代数

代数がゼロ代数と呼ばれるのは、代数内のすべての $u$ 、 $vに対して$ $uv = 0 で$ ある場合である。 ^[²^] 1 つの要素を持つ代数と混同してはならない。ゼロ代数は本質的に単位元を持たない（要素が 1 つしかない場合を除く）、結合法則と交換法則を満たす。

単位元ゼロ代数とは、体 $K$ と $K$ ベクトル空間 $V$ の直和 $K \oplus V$ であり、ベクトル空間 (またはモジュール) 上でゼロとなる唯一の乗法を備え、単位元代数となるものである。

より正確には、代数のすべての要素は、k ∈ K および v ∈ V として k + v と一意に記述でき $、$ $積$ $は$ 、 $V$ $の$ $すべて$ の $v および w$ に対して vw = 0 となる唯一の双線形演算です $。$ したがって、 $k$ 1 $、$ $k$ $2$ ∈ Kおよび $v$ $1$ $、$ $v$ $2$ $\in$ $V$ の $場合$ $、$ $次$ $の$ $よう$ $に$ $なり$ ます。 $(k_{1}+v_{1})(k_{2}+v_{2})=k_{1}k_{2}+(k_{1}v_{2}+k_{2}v_{1})。$

単位元を持つ零代数の古典的な例としては、双対数の代数、すなわち一次元実ベクトル空間から構築される単位元を持つ零 $R代数が挙げられる。$

この定義は、可換環上の単位元ゼロ代数の定義にそのまま拡張され、「体」と「ベクトル空間」を「可換環」と「加群」に置き換えるだけです。

単位元を持つ零代数を用いることで、与えられた加群の部分加群の理論と単位元を持つ代数のイデアルの理論を統一することができる。実際、加群 $Vの部分加群は、$ $V$ に含まれる $K \oplus V$ のイデアルと完全に一致する。

例えば、ブルーノ・ブッフベルガーは、体上の多項式環 $R$ $=$ $K$ $[$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $]における$ イデアルに対して、グレブナー基底の理論を導入しました。自由 $R$ 加群上の単位元ゼロ代数の構成により、この理論を自由加群の部分加群に対するグレブナー基底理論として拡張することが可能になります。この拡張により、部分加群のグレブナー基底を計算する際に、イデアルのグレブナー基底を計算するためのあらゆるアルゴリズムやソフトウェアを、一切変更することなく使用できます。

同様に、単位元を持つ零代数を用いることで、イデアルに関する元のラスカー・ネーターの定理から、（可換環上の）加群に関するラスカー・ネーターの定理を直接的に導出することができる。

結合代数

結合代数の例としては、

体（または可換環） $K上のすべての$ $n$ × $n$ 行列の代数。ここで乗算は通常の行列乗算です。
群代数では、群がベクトル空間の基底として機能し、代数の乗法は群の乗法を拡張したものである。
$K$ 上のすべての多項式の可換代数 $K [x]$ (多項式環を参照)。
関数の代数、例えば区間 $[0, 1]$ 上で定義されたすべての実数値連続関数からなる $R$ 代数や、複素平面上の固定された開集合上で定義されたすべての正則関数からなる $C$ 代数などが挙げられる。これらも可換である。
関連性代数は、特定の半順序集合に基づいて構築される。
例えばヒルベルト空間上の線形作用素の代数。ここでは、代数の乗法は作用素の合成によって与えられる。これらの代数は位相も持ち、その多くは基礎となるバナッハ空間上で定義され、それによってバナッハ代数となる。対合も与えられると、B*-代数とC*-代数が得られる。これらは関数解析で研究される。

非結合代数

体 $K$ 上の非結合代数[ ^{3 ] (}または分配代数) は、 $K$ 双線形写像 $A$ $\times$ $A$ $\to$ $A$ を備えた $K$ ベクトル空間Aです。ここで「非結合的」という言葉を使うのは、結合性が仮定されていないことを伝えるためですが、結合性が禁止されているという意味ではありません。つまり、「必ずしも結合的ではない」という意味です。

メイン記事で詳しく説明されている例には、以下のようなものがあります。

代数と環

$単位元を持つ結合的K$ 代数の定義は、別の方法でもよく与えられる。この場合、体 $K$ 上の代数は、環 $A$ と環準同型からなる。

\eta \colon K\to Z(A),

ここで、 $Z (A)は$ $A$ の中心である。ηは環準同型であるため $、$ Aが零環であるか、ηが単射であるかのいずれかでなければならない $。$ この定義は $、$ スカラー乗法を用いた上記の定義と同等である。

K\times A\to A

によって与えられた

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

このような結合的な単位元を持つ $K$ 代数 $A$ と $B$ が与えられたとき、単位元を持つ $K$ 代数準同型 $f : A \to Bは、$ $η$ で定義されるスカラー乗法と可換な環準同型であり、次のように書くことができる。

f(ka)=kf(a)

$すべてのk \in K$ および $a \in A$ に対して。言い換えれば、次の図式は可換である。

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

構造係数

$体上の代数において、 A \times Aから$ $A$ への双線形乗算は、 $A$ の基底要素の乗算によって完全に決定されます。逆に、 $A$ の基底が選択されると、基底要素の積は任意に設定でき、その後、一意の方法で $A$ 上の双線形演算子に拡張できます。つまり、結果として得られる乗算は代数の法則を満たします。

したがって、体 $K$ が与えられた場合、任意の有限次元代数は、その次元( $n$ とします)を与え、 $n$ $個の$ 構造係数 $c$ $i$ $,$ $j$ $,$ $k$ (スカラー) を指定することで、同型を除いて指定できます。これらの構造係数は、次の規則によって $A$ における乗法を決定します。

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

ここで $、e 1$ 、 ...、 $e n は$ $A$ の基底を形成する。

ただし、構造係数の異なるセットによって同型代数が生じる場合があることに注意してください。

数理物理学では、構造係数は一般的に上付き添え字と下付き添え字を用いて表記され、座標変換における変換特性を区別します。具体的には、下付き添え字は共変添え字であり、プルバックによって変換されます。一方、上付き添え字は反変添え字であり、プッシュフォワードによって変換されます。したがって、構造係数はしばしば $c i, j k$ と表記され、その定義規則はアインシュタイン記法を用いて次のように表されます。

e i e j = c i 、 j k e k

。

これをインデックス表記で書かれたベクトルに適用すると、次のようになります。

(xy) k = c i, j k x i y j

。

$K$ が可換環であって体でない場合、 $A$ が $K$ 上の自由加群であれば同じ手順が成り立ちます。そうでない場合、乗法は $A$ を張る集合に対する作用によって完全に決定されます。ただし、この場合、構造定数を任意に指定することはできず、構造定数だけを知っていても同型を除いて代数を特定することはできません。

複素数上の低次元単位的結合代数の分類

複素数体上の2次元、3次元、4次元の単位的結合代数は、エドゥアルト・スタディによって同型を除いて完全に分類された。^{[ 4 ]}

このような2次元代数は2つ存在する。各代数は、2つの基底要素、 $1$ （単位元）と $a$ の線形結合（複素係数付き）から構成される。単位元の定義によれば、

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

具体的に説明する必要がある

\textstyle aa=1

最初の代数では、

\textstyle aa=0

2番目の代数について。

このような3次元代数は5つ存在する。各代数は、3つの基底要素、 $1$ （単位元）、 $a$ 、 $b$ の線形結合から構成される。単位元の定義を考慮すると、指定するだけで十分である。

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

最初の代数では、

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

2番目の代数では、

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

3番目の代数では、

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

第4代数では、

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

5番目の代数について。

これらの代数のうち4つ目は非可換であり、他の代数は可換である。

一般化：環上の代数

可換代数などの数学の分野では、体 $K$ の代わりに可換環 $R$ を用いた、より一般的な環上の代数の概念を考えるのが一般的です。定義の中で唯一変わるのは、 $A が（$ $K$ ベクトル空間ではなく） $R$ 加群であると仮定される点です。

環上の結合代数

環 $A$ は常にその中心と整数上の結合代数です。中心上の代数の古典的な例は、 2 つの四元数代数の直積である $H$ $\times$ $H$ と同型な分割二元数代数です。この環の中心は $R$ $\times$ $R$ であり、したがって中心上の代数の構造を持ち、体ではありません。分割二元数代数は自然に 8 次元の $R$ 代数でもあることに注意してください。

可換代数では、 $A$ が可換環である場合、任意の単位元を持つ環準同型 $R \to A は$ $A$ 上に $R$ 加群構造を定義し、これが $R$ 代数構造として知られています。^[⁵^]したがって、環には自然な $Z$ 加群構造が伴います。なぜなら、唯一の準同型 $Z$ $\to$ $A$ を取ることができるからです。^[⁶^]一方、すべての環に体上の代数の構造を与えることができるわけではありません (例えば整数環)。すべての環に体上の代数のように振る舞う構造を与えようとする試みの説明については、「1 つの要素を持つ体」を参照してください。

注記

↑ Hazewinkel、Gubareni 、 Kirichenko 2004 、p.も参照。 3命題 1.1.1
↑ Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10" . Approximation of Vector Valued Functions . Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3。
↑シェーファー、リチャード D. (1996).非結合代数入門. クーリエ・コーポレーション. ISBN 0-486-68813-5。
↑研究、E. (1890)、「Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen」、Monatshefte für Mathematik、1 (1): 283–354、doi : 10.1007/BF01692479、S2CID 121426669
↑松村博之 (1989).可換環論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Reid, M. 訳 (第 2版). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6。
↑クンツ、エルンスト (1985).可換代数と代数幾何学入門. ビルクハウザー. ISBN 0-8176-3065-1。

参考文献

Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)。代数、環、加群。 Vol. 1.スプリンガー。ISBN 1-4020-2690-0。

[1] Hazewinkel、Gubareni 、 Kirichenko 2004 、p.も参照。 3命題 1.1.1

[2] Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10" . Approximation of Vector Valued Functions . Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3。

[Schafer-3] シェーファー、リチャード D. (1996).非結合代数入門. クーリエ・コーポレーション. ISBN 0-486-68813-5。

[4] 研究、E. (1890)、「Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen」、Monatshefte für Mathematik、1 (1): 283–354、doi : 10.1007/BF01692479、S2CID 121426669

[5] 松村博之 (1989).可換環論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Reid, M. 訳 (第 2版). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6。

[6] クンツ、エルンスト (1985).可換代数と代数幾何学入門. ビルクハウザー. ISBN 0-8176-3065-1。

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3 ] (

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